微积分第一章
《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念:f=A要点:⑴x 为变量;⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件:f=A f=A,f=A 例:判定是否存在?三、极限的四则运算法则⑴=f±g⑵=f·g⑶=……g≠0⑷k·f=k·f四、例:⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴=1 =1⑵=e =e ………型理论依据:⑴两边夹法则:若f≤g≤h,且limf=limh=A,则:limg=A⑵单调有界数列必有极限。
例题:⑴=⑵=⑶=⑷=⑸=六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义:在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义:在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小,低阶无穷小,同阶无穷小,等价无穷小。
4、定理:f=A f=A+a (a=0)七、函数的连续性1、定义:函数y=f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x:⑴x0时,y0。
即:y=0⑵f=f⑶左连续:f=f右连续:f=f2、函数y=f在区间上连续。
3、连续函数的性质:⑴若函数f和g都有在点处连续,则:f±g、f·g、(g()≠0)在点处连续。
⑵若函数u=j在点处连续,而函数y=f在点=j()处连续,则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例:===4、函数的间断点:⑴可去间断点:f=A,但f不存在。
⑵跳跃间断点:f=A ,f=B,但A≠B。
⑶无穷间断点:函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质:若函数f在闭区间上连续,则:⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号,则方程f=0 在内至少有一根。
例:证明方程式-4+1=0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y=f在点处导数的定义:x y=f-f=A f'=A ……y',,。
2、函数y=f在区间上可导的定义:f',y',,。
3、基本初等函数的导数公式:⑴=0⑵=n·⑶=,=⑷=·lnɑ,=⑸=cosx,=-sinx=x,=-=secx·tanx,=-cscx·cotx⑹=-=-4、导数的运算:⑴、四则运算法则:=±=·g(x)+f(x)·=例:求下列函数的导数y=2-5+3x-7f(x)=+4cosx-siny=⑵、复合函数的求导法则:y u,u v,v w,w x y x'=''''例:y=lntanxy=lny=arcsin⑶、隐函数的求导法则:把y看成是x的复合函数,即遇到含有y 的式子,先对y求导,然后y再对x求导。
《微积分(第四版)》第一章 函数
分配律: A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
对偶律: ABA B
A BAB
.
17
例1 证明对偶律 ABA B.
证明 设xAB,则xAB,
即 x A 且 x B , 于 是 x A 且 x B ,
因 此xA B,所 以 A B A B;
xA B
所 以 A BA B。
.
19
例2 证明 ABA B.
U
证明 对 任 意 的 x A B
A
x A 且 x B B
x A 且 x B
xA B
所 以 A BA B 。
.
20
例3 证明吸收律 A (AB )A.
证明 A(A B) (A U ) (A B ) A(UB) A U
A.
反 之 , 若 x A B, 即 xA且 xB, 也 即 x A 且 x B , 于 是 x A B,
从 而xAB,所 以 A B A B。
综 上 所 述 , A B A B 。
.
18
例1 证明对偶律 ABA B.
或证 对 任 意 的 xAB
xAB x A 且 x B
x A 且 x B
1、并集 A B {x |x A 或 x B }
U
A
B
例如,A{1,2,3}, B{3,4,5}, 则 A B {1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
基本性质: A A B ,B A B
A A ,A U U ,A A A
.
13
2、交集 A B {x |x A 且 x B }
.
4
第一章 函 数
.
5
第一节 集合
大学微积分第一章 函数
X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射;
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】 设
f :X Y
是单射
记作
1
定义
称映射
g
g : f (X ) X
为映射
f
的逆映射
周期为
【注】 周期函数不一定存在最小正周期 . 【例如】 常量函数 f ( x ) C
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
五、复合函数
1【定义】 设有函数链
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
① ②
则 称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数,g 称为内层函数.
y 与之对应则称这个对应 D 上的一个一元函数,简
因变量
y f ( x ) , x D, 函数值
定义域
函数
自变量
x 0 处的
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值 值域
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D } 称为函数的
2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
第一章
函数
一. 区间和邻域 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 复合函数 六. 基本初等函数
七. 初等函数
八. 经济学中常用的函数
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下:1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。
2. 掌握极限四则运算法则。
3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价:恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里.华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。
经济数学基础微积分第一篇第一章--函数
(2)自变量可以取一, 个还 数可 值以取 一个表达式。
例 31: . 给定 fx 函 x2数 x2,试计 f0,f(x2),f1x.
解: f(0)02022
f(x 2 ) (x 2 )2 (x 2 ) 2 x 4 x 2 2
给定 r2, 就有 S4;
给定 r3, 就有 S9;
例 y 如 fx x 2 : x 1
给定 x1, 就y有 f11;
给定 x1, 就y 有 f1 3 ;
【注y 意 f】 x
二. 求定义域
函数的定义域:是使函数有意义的 自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允 许取值的范围。
确定函数定义域的三条基本要求: (1) 分式的分母不能为零。即若 y 1
【公 ln x式 kkln 】 x, lo : ax g kkloax g
【解】 1 fx lx n 2 2 lx n(x 0 ) g x 2 ln x(x 0 )
表达式不同,定义域不同 所以它们是不同的函数。
2 fx lx n 3 3 lx n ( x 0 )
g x 3 ln x(x 0 )
-3 -2
2
x
【练习1】
求函 f(x数 )lo2g (x1)
1 的定.义 x21
【解】 要使f(x) 有意义,必须有
x 1 0
x
2
1
0
xx11x10
xx
1 1
或
x
1
即: x1
公共部分
写成区间 (1, : )
【练习2】
求函f(x数 ) 1 3x的定.义 lnx(3)
【解】 要使f(x) 有意义,必须有
微积分(第一章)
f ( x) g ( x) h( x)
函数的积 f g : ( f g )(x) f ( x) g ( x), x D f f f ( x) , x D, g ( x) 0 函数的商 : ( )(x) g g ( x) g 例 设函数 f ( x) 的定义域为 (l , l ),证明必存在 (l , l ) 上的偶函数 g ( x) 和奇函数 h( x) ,使得
构成了 R f 到 X 上的一个映射,称为 f 的逆映射,记为 f 1 1 其定义域为 D ,值域为 R Rf X 。 f f
1
第一章 函数
§2 映射与函数
设有如下两个映射
g : X U1 , x u g ( x) f : U 2 Y , u y f (u)
g f f g ( ,称 f g )(x) f [ g ( x)] 对复合函数 为中间变量,其中
为自变量。 f g
u g ( x)
x Df g
第一章 函数
§3 复合函数与反函数
初等函数
把函数 F ( x) 3arcsin 分成几个简单函数的复合。 例2
例1
1 x 2
则称 f 为单射 ,如果映射 f 满足 R f Y ,则称 f 为满 射;如果映射 f 既是单射,又是满射,则称 f 为双射(又 称一一对应)。
第一章 函数
§2 映射与函数
二 、 逆映射与复合映射
设 f : A B 是单射,对应关系 g : R f X y x( f ( x) y )
和 F ( x) lg sin tan x
设有函数 y f (u) u 和 u ( x) a x , 考察 a 1 , a 1 时 y f [ ( x)] 是否为复合函数。
微积分第一章PDF
3 2
2
3
y [ x]
3 2
1
1 O 1 1
2 3
x
取整函数 [ x ] 的一个重要性质 :
对任何实数 x , 存在绝对不等式 [ x ] x [ x ] 1.
例如, [0.99] 0.99 [0.99] 1 为 0 0.99 1.
e x e x 解方程 y ( x 0) : 2 (e x ) 2 2 y e x 1 0, ex y x ln( y y 2 1, y 2 1)
O
y ln( x x 2 1)
y
x
y arch x ln( x x 2 1)
x x y u , u cot v , v 2 复合成函数 y cot 2 ; 函数 y arcsin u, u 2 x 2 不能复合 , 前者的定义域与
后者的值域的交集是空的, 即 arcsin(2 x 2 ) 无意义.
8. 初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次复合所得到的有意义的函数, 称为 初等函数.
1
y
x
O
1
x
y 1 x
(2) 指数函数:
y a (a 0, a 1)
x
y
1 y ( a )x
a1
y ax
1
x
O
(3) 对数函数: y log a x (a 0, a 1)
y
a1
y log a x
x
O
1
y log a 1 x
(4) 三角函数
微积分第一章第1节
D f D , R f f ( D ){ y | y f ( x ), xD} R.
函数记号:y g( x ), y( x ), yF ( x ), y y( x ).
函数的两要素:
定义域与对应法则.
约定: 定义域是使算式有意义的一切实数 所组成的集合.
y
y
1 x2 , 1 , 2 1 x
x 3 y , y R.
习惯上, 通常将 x 3 y 写作 y 3 x , x R
一般地, y f ( x ), x D 的反函数记成
1
y f ( x ), x f ( D ).
直接函数与反函数的图形 关于 直线 y x 对称.
y f 1 ( x )
规定 空集为任何集合的子集.
2. 集合的运算
设A、B是二集合,
I是全集.
并集:A B { x | x A或x B }; 交集:A B { x | x A且x B }; 差集:A \ B { x | x A且x B };
余集:AC I \ A.
例如,
若I R, A { x | 0 x 1},
x—自变量, u—中间变量,
y—因变量 .
例
设 y f ( u)arcsin u, u g( x )2 1 x 2 , 求 f g,并指出其定义域.
解 f g( x ) arcsin 2 1 x 2 ; D [1,1], D [1,1] g f x Dg | x | 1 解 即 , 得D{ x| 3 |x|1}. g ( x )D f |2 1 x 2 |1 2
D [1,1] ;
D (1,1) ;
《微积分(应用型)》教学课件 第一章
1. 2. 2 函数的极限
解
(1)函数的图形如图
1-5
所示.从图形可知,当
x
时,y
1
1 x2
1;当
x
时,
y
1
1 x2
1.因此,当
|
x
|
无限增大时,函数
y
1
1 x2
无限地接近于常数
1,即
lxim
1
1 x2
1.
(2)函数的图形如图 1-6 所示.从图形可知,当 x 时, y 3x ;当 x
1. 1 初等函数回顾
【本节导引】
某软件公司开发出一种图书管理软件,前期投入的 研发及广告宣传费用为100000元,且 每售出一套软件, 软件公司还需支付安装调试费用300元.设总费用为 y 元,销售套数为 x 套, 请列出 y 与 x 之间的函数关系式.
1. 1. 1 函数的概念
定义1. 1. 1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的数集,如果对于每个 x ∈D ,变量 y 按 照确定的法则总有唯一的数值与其对应,则称 y 是 x的函数,记作 y = f ( x ).
(1)对于分式函数,规定:分母不能为零,例如, y = x -1/ x +1, x ≠-1; (2)对于偶次根号下的变量,规定:不能小于零,例如, y = x -1, x ≥1; (3)对于对数函数 y =log ax ,规定:底数 a >0且 a ≠1,真数 x >0; (4)对于正切函数 y =t an x ,规定: x ≠ k π+π /2, k ∈Z; (5)对于余切函数 y =c o t x ,规定: x ≠ k π, k ∈Z; (6)对于反正弦函数 y =a r c s i n x 和反余弦函数 y =a r c c o s x ,规定:-1≤ x≤1.
经济数学基础--微积分第一章
解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 第 12 页
极 限 的 概 念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节
极
限
1 数列的极限
的 概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U(a,
),
0
即 U(a,) x 0 x a , 如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 极 限 的 概 念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的 是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义 极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解 由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,
第一章 1.6 微积分基本定理
b (4) cos xdx=sin x a .
a
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1 b (5) xdx=ln x a (b>a>0).
b
a
x b x (6) e dx=e a .
b
a
x a b b x (a>0 且 a≠1). (7) a dx= a ln a a
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1.计算下列定积分.
1 3 (1) (x -2x)dx;
0
(2) (x+cos x)dx; (3)
2 0
1
2 0
x sin2 dx; 2
1 (4) dx. xx+1
2
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1 4 解析:(1)∵( x -x2)′=x3-2x, 4 1 4 3 1 2 ∴ (x -2x)dx=( x -x )0 =- . 4 4
3 (2)求 (|2x+3|+|3-2x|)dx.
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在区间[0,3]上的定积分;
-3
[解析]
3 1 2 3 (1) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx
0
0
1
2
1 3 2 3 x = x d x + x dx+ 2 dx
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求分段函数与绝对值函数定积分的方法: (1)由于分段函数在各区间上的函数式不同,所以被积函数是分段函数时,常 常利用定积分的性质(3),转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数的定积分 再计算.
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例:lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断:lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法(公式法):用解析表达式(或公式)表示函数关系.
y x 1
表格法:用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法:用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数;如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
最新微积分第1章函数、极限与连续3
lim
f [φ(x)]
过程代换 令u=φ ( x) :
=
lim f (u) = A.
u→a
前页
后页
结束
例13 求极限
1 (1) lim ln 2 x →∞ x
y= =
1 x2
y→0+0 +
lim lny
= −∞.
y
(2) lim e +
x→0
− x
y=- x =
lim e = 1. y →0−
x→0 x
lim (x - 1) ⋅ lim (x + 2)
0 +1 1 =− = (−1)⋅ 2 2
注
只要极限运算与四则运算交换顺序后的算式有意 义 (包括出现∞),就可交换顺序。
前页 后页 结束
sin
例2
π
求 lim
n→∞
n 。 1 +1 n
解
π limsin n→∞ n = 0 =0 原式= 。 1 0 +1 lim + 1 n→∞ n
x2 − 1 例4 求 lim 2 . x→1 x + 2x − 3
0 消去零因子法) 解 ( 型 ) (消去零因子法) 0
2
因子 先约去不为零的无穷小 x − 1后再求极限 。
x −1 ( x + 1)( x − 1) x +1 1 = . lim 2 = lim = lim x→1 x + 2x − 3 x→1 ( x + 3)( x − 1) x→1 x + 3 2
前页 后页 结束
• 思考:你能否根据函数的极限运算法则,写出数 思考:你能否根据函数的极限运算法则, 列的极限运算法则? 列的极限运算法则?
高数微积分第一章
U (a, ) { x a x a }.
a
a
a
x
点a的去心的邻域, 记作U 0 (a, ).
U 0 (a, ) { x 0 x a }.
a的右邻域U (a, ) { x | 0 x a };
a的左邻域U (a, ) { x | x a 0}.
x
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同 的式子来表示的函数,称为分段函数。
例如, 2 x 1, x 0 f ( x) 2 x 1, x 0
y x2 1
y 2x 1
1, 0 x 1 例5:设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2, 1 x 2
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
例4:求函数y log ( x 1) (16 x 2 )的定义域.
解:16 x 2 0,
x 1 0, x 1 1,
x 4 x 1 x 2
1 x 2及2 x 4,
即定义域为 1,2) (2,4). (
2、函数表示法 解析法(公式法),表格法,图示法 3、几个特殊函数 (1) 符号函数
A
AB
B
(4)并集:A B x | x A或x B 。
第一章 基础概念与练习 (《微积分》PPT课件)
5. 下列给出的四个集合中,表示空集的是( )
A {0}
B {(x,y)|y2 =-x2 , x∈R,y∈R}
C {x|2x2+3x+2=0, x∈N}
D {x| sinx+cosx = 2 , x∈R}
6. 设全集I为R,函数f(x) = sinx , g(x) = cosx , M = {x | f(x) = 0}, N = {x | g(x) = 0}, 则:集合 {x | f(x) g(x) ≠ 0} =( )
y
f (x)
g( x)
x o
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
x o
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
解 当 x 800时,y 0
当800 x 1300时, y 0.05(x 800) 0.05x 40
4. 余集: 研究某一问题时所考虑的对象的全体 称为全集,用 I 表示;把差集 I \ A 特别称为余 集或补集,记作Ac .
5. 运算规律:
①交换律: A B B A , A B B A ; ②结合律: A (B C ) ( A B) C
A(B C) (A B)C ③分配律: A (B C ) ( A B) ( A C )
f 1 :B A x y arccos x
2.复合映射:
g :X U1 x u g(x)
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高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下:1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。
2. 掌握极限四则运算法则。
3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。
能够正确运用等价无穷小求极限。
5. 理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。
第一章共12学时,课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。
数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价:恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里。
华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。
航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。
数学一下子到了前台。
数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了(《数学通报》数学与文化2001.1.封二)初等数学与高等数学的根本区别:用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究,有很多问题不能得到最终答案,甚至无法解决。
高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系,极限的方法是研究变量的一种基本方法,贯穿高等数学的始终。
用高等数学解决实际问题,计算往往比较简单,且能获得最终的结果。
本学期教学内容:第一章 函数、极限与连续第二章 导数与微分 第三章 导数学的应用 第四章 不定积分参考书:高等数学(同济大学应用数学系 主编第五版)《数学分析》武汉大学数学系编 电子阅览室(网络)高等数学 精品课程学习高等数学应注意的方法:上课认真听讲(最好能预习),积极参与课堂讨论、研究,课后及时复习;透彻理解概念,熟练掌握重要定理、公式、运算法则,做适量练习;应用所学知识解决实际问题;归纳总结,不断提高,建构起高等数学适应体系。
第一节 函数、第二节 初等函数1.掌握区间、邻域的概念。
2.了解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
4.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数的概念。
5.掌握基本初等函数的性质及其图形。
一.邻域 (,)(,)U a a a δδδ⇔-+,以a 为中心的δ邻域(,)(,)(,)U a a a a a δδδ⇔-+,以a 为中心的去心δ邻域二.函数:定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个数集。
如果对于D 中的每一个x ,按照某个对应法则f ,y 都有确定的值和它对应,那么称y 为定义在数集D 上的x 的函数,记作()y f x =。
x 叫做自变量,y 叫做因变量,,数集D 叫做函数的定义域。
y 为因变量的函数也可表示为)(x y ϕ=,()y F x =,)(x y y =,……函数的两个要素:对应法则、定义域。
三.分段函数 1.{3,0,()45,0.x x y f x x x +≥==-< 0=x 称为“分界点”。
2.符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y3.取整函数:不超过x 的最大整数,记做:][x y =,如:[3.1]3=,[ 3.1]4-=-。
四.反函数的定义:设有函数),(x f y =其定义域D ,值域为W ,如果对于W 中的每一个y值,都可以从关系式),(x f y =确定唯一的x 值(D x ∈)与之对应,这样所确定的以y 为自变量的函数)()(1y fx y x -==或ϕ叫做函数)(x f y =的反函数,它对定义域为W ,值域为D 。
习惯上,函数的自变量都用x 表示,所以反函数通常表示为).(1x f y -=五.函数的几种特性1.有界性:设)(x f y =,定义域为D ,∈∀x D ,0>∃M ,恒有M x f ≤)(。
则称函数在D 上有界。
否则称函数在D 上无界。
例如:函数xx f 1)(=,在[1,)+∞内有界;在(0,1)内无界。
2.单调性:设)(x f y =,定义域为D ,∈∀21,x x D ,当21x x <时⇒)()(21x f x f <,单调递增;当21x x >时⇒)()(21x f x f <,单调递减。
单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。
3. 奇偶性:偶函数 )()(x f x f =- ,奇函数 )()(x f x f -=-。
4.周期性:周期函数 ∈∀x D ,∈+T x D ,)()(x f T x f =+例1.狄里克莱函数⎩⎨⎧==为无理数为有理数x x x D y ,0,1)(。
狄里克莱函数是周期函数,但它没有最小正周期。
2.符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y六.复合函数定义 如果y 是u 的函数)(u f y =,而u 是x 的函数)(x u ϕ=,且()x ϕ的值全部或部分地落在()y f u =的定义域内,那么y 通过u 的联系也是x 发函数。
称这个函数是由()y f u =及()u x ϕ=复合而成的,称为复合函数,记作)]([x f y ϕ=,其中u 叫做中间变量。
注:设()y f u =、()u x ϕ=,如果()u x ϕ=的值部分地落在()y f u =的定义域内,则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域是()u x ϕ=的定义域的子集;如果()u x ϕ=的值全部落在()y f u =的定义域内,则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域与()u x ϕ=的定义域相同。
如果()u x ϕ=的值全部落在()y f u =的定义域外,则不能构成复合函数。
例3.将下列函数“分解”成“简单”的函数:2sin x y =,x y 2sin =,xey arctan =七.基本初等函数与初等函数: 1、 常数函数 )(为常数C C y =2、 幂函数 )(为实常数μμx y = 3、 指数函数 ),1,0(为常数a a a a y x≠>= 4、 对数函数 ),1,0(log 为常数a a a x y a ≠>=5、 三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======6、 反三角函数:x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成,并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。
八.双曲函数与反双曲函数sh 2x x e e y x --==,ch 2x x e e y x -+==,x xx xe e y thx e e ---==+。
作业P20~21 习题 2(3)、(4)、(6);5;7。
第四节数列的极限数列极限的定义数列的定义:数列实质上是整标函数)(n f x n =,∈n 正整数集N(i )n x n 1=:1,21,31,…,n1,…→0 (ii )n x n n 1)1(1+-+=:2,21,34,…,1+n n 1)1(+-,…→1确定nx n 11=-:要使1-n x <0.01,只要n >100; 要使1-n x <0.0001,只要n >10000;要使1-n x <ε,只要n >[ε1]。
(iii )1)1(--=n n x :1,-1,1,…, 1)1(--n ,…→不存在数列极限描述性定义(P27):如果当n 无限增大时,数列{}n x 无限接近于一个确定的常数a ,那么a 就叫做数列{}n x 的极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记作a x n n =∞→lim 或 当.,a x n n →∞→时数列极限的定义:如果存在常数a ,使得对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正整数N ,只要n N >,绝对值不等式a x n -<ε恒成立,则称数列{n x }以常数a 为极限, 记为n n x ∞→lim =a (或a x n →,∞→n )。
数列极限的分析(N -ε)定义:设R a ∈,0>∀ε,0>∃N ,当N n >时,ε<-a x n恒成立,则将数列{n x }以常数a 为极限,记为n n x ∞→lim =a (或a x n →,∞→n )。
例1. 证明数列2,21,34,43,…,n n n 1)1(+-+,…的极限是1。
证:[分析]令n x =n n n 1)1(+-+,记a =1,要使a x n -=1)1(1--++nn n =n 1=n 1<ε,只要n 1>ε,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε1。
[证明]0>∀ε,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃ε1N ,当n>N 时,恒有ε<--++1)1(1n n n ,故nn n n 1)1(lim +∞→-+=1。
例2. 若21)(n nin +=s x n ,证明:0lim =∞→n n x 。
证:[分析]a x n -=0)1(sin 2-+n n =2)1(sin +n n ≤2)1(1+n <11+n <n1,要使a x n -<ε,只要ε1>n ,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε1,再放大[证明]],1[,0εε=∃>∀N 当n>N 时,ε<-+01)(n nsin 2恒成立,故01)(n n sin lim 2=+∞→n 。