大学微积分第一章 函数

X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射;
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】 设
f :X Y
是单射
记作
1
定义
称映射
g
g : f (X ) X
为映射
f
的逆映射
周期为
【注】 周期函数不一定存在最小正周期 . 【例如】 常量函数 f ( x ) C
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
五、复合函数
1【定义】 设有函数链
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
① ②
则 称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
y 与之对应则称这个对应 D 上的一个一元函数，简
因变量
y f ( x ) , x D, 函数值
定义域
函数
自变量
x 0 处的
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值 值域
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D } 称为函数的
2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
第一章
函数
一. 区间和邻域 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 复合函数 六. 基本初等函数
七. 初等函数
八. 经济学中常用的函数
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R ,且 a b.
开区间 ( a , b ) x a x b
y
o -1
x
或
x sgn x x
(4) 【取整函数 】y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 -4 -3 -2 -1
y 4 3 2 1 o
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
该函数是数论中一个 极为重要的函数
阶梯曲线
(5) 【 狄利克雷函数】
1 y D(x) 0 当 x 是有理数时 当 x 是无理数时
定义域： , ), 值域： , ] ( [0

y arccot x
o
【定义1】 幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数.
七、初等函数
1.【初等函数】
【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数. 否则称为非初等函数.
2 2 2
y
y
W
o
( x , y )
x
例如， x y a ．
x
D
【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。 3.【函数图形】 【定义】 点集 C {( x , y ) y f ( x ), x D } 称为
函数 y f ( x )的图形 .
4.【几个特殊的函数举例】
(1)【常数函数】
x x
【例如】
y f ( x) e e
x x
2
偶函数
e
x
y x e
y ch x
记
ch x
双曲余弦
o
x
y
又如,
y f ( x)
e e
x
x
奇函数
e
x
e
x
y sh x
x
2
记
sh x
双曲正弦
e e
x x x
o
再如,
y
sh x ch x

e e
x
奇函数
y
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数
y csc x
y csc x
5.【反三角函数】
反正弦函数 y arcsin x 定义域： 1,1], 值域： [ [
【注意的问题】
①映射具备三要素
a . 定义域 D X
f
f
b . 值域 f ( X ) R Y
c . 对应法则 f
②映射的特点
① 任一 x X 在 Y 中都有像
② x 的像 y 必须唯一
③ y 的原像 x 不一定唯一
④ 值域 R Y
f
( 不一定 R f Y )
对映射 (2)【定义】
恒有 ( 1 ) f ( x ) f ( x ),
则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的 .
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数
f ( x )的定义域为
D , 区间 I D ,
如果对于区间
I 上任意两点
x 1 及 x 2 , 当 x 1 x 2时 ,
恒有 ( 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ),
o a
闭区间 [ a , b ] x a x b
o a
b
x
b
x
半开区间
有限区间 无限区间 无限区间
o a o
x
b
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
⑵【邻域】
【定义】以点 a 为中心的

a
(

a a
)
x
任何开区间称为点 a 的邻域。记作 U ( a )
称 f 为从X 到Y 的映射, 记作
X
f : X Y
Y
f
元素y 称为元素x 在映射f 下的像 , 记作 y f ( x ). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合X 称为映射 f 的定义域 ;记作Df =X Y 的子集 R f f ( X ) f ( x ) x X 称为 f 的值域 .
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(6) 【取最值函数】
y max{ f ( x ), g( x )}
y min{ f ( x ), g( x )}
y
y
f (x)
f (x)
g( x)
g( x)
o
x
o
x
(7)【分段函数】
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
f
【注】 ①只有 f 是单射才存在逆映射.
X f (X )
1
满且单，故而是双射
f ( X )到 X 的映射
② 逆映射 f 是指从值域
从 Y 到 X 不一定是映射
②【复合映射】
设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z
且 Y1 Y2
定义
f g : X Z
称 f g 为映射
2.【非初等函数举例】
①［符号函数］
1 y sgn x 0 1 当x 0 当x 0 当x 0
y 1
o
y
x
-1
②［取整函数］
当
③［狄里克雷函数］
1, y D(x) 0, xQ xQ
C
2 1o
1
2 3
4
x
y
1
• x o 无理数点 有理数点
例如 y cot x 2 ,
y
u,
u cot v , v
x 2
.
三重复合函数
六、基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数

1.【幂函数】
y x
( 是常数)
y x
y
( 1 ,1 )
y
y x
2
1
x
o
y 1 x
1
x
2.【指数函数】 y a
1
x
(a 0, a 1)
则称函数 f (x)在区间I上是单调减少的 .
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．【函数的奇偶性】
设 D 关于原点对称 , 对于 x D , 有
f ( x ) f ( x )
称 f (x)为偶函数
y
y f (x)
f ( x )
f (x)
-x
o
x
x
偶函数 图象关于 y 轴对称
2【注意】 1）构成复合函数的条件 g( D ) D 1 不可少. （即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
例如 y arcsin u ,
u 2 x ;
2
y arcsin( 2 x )
2
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.
八、经济学中的常用函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
例如, 2 x 1, f ( x) 2 x 1, x0 x0
y x
2
1
y 2x 1
四、函数的特性
1.【函数的有界性】 (1)【定义】 若数集 X D , K 1 , x X , 有