《微积分(第四版)》第一章 函数

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第一章 函 数
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第一节 集合
(一) 集合的概念
把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待
时，这个整体便称为是一个集合。
组成集合的那些个体称为集合的元素。 例如 全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均 是这个集合的元素。
通常用大写字母 A、B、C 等表示集合，用小写字母 a、 b、c 等表示集合的元素。
如果a是集合A的元素，则记作 aA，读作a属于A；
如果a不是集合A的元素，则记作 aA ，读作a不属于A。
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常见数集的记号：
自然数集 N {0 ,1 ,2 ,3 , ,n , }
整数集 Z {0 , 1 , 2 ,3 , , n , }
正整数集 Z{1,2,3,,n,}
有理数集 Q{p|pN,qZ,且p,q互}素 q
如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于
A ，则称 A 是 B 的真子集，记作 A B 或 B A .
B A
如果集合 A 和 B 互相包含，即A B 且 B A，则称
A 和 B 的相等 ，记作 A = B 。
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对任一集合 A ，有 AU. 常用数集： NZQR
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(五) 集合的运算
U
A
B
例如， A{x|x1}, B {x|0x2},则 A B {x |0 x 1 }.
基本性质： A B A ,A B B
A ,A U A ,A A A
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3、差集 A B {x |x A 但 x B }
U
A B
U源自文库A
B
例如， R - Q 表示全体无理数组成的集合。
例如 上述集合 B = { a | a N 且 4 a 8 }
又如 C{2i |iN} 即 C{20， 21， 22， 23， }
D {2 x |x N 且 x 5},0 即 D {0 ， 2 ， 4 ， ， 9,1 8} 0
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集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称 为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。
实数集 R{全体实}数
例如：2 N，2.5 N，-3 N，2.5 Q，-3 Z 。 由有限个元素构成的集合称为有限集，由无限多个 元素构成的集合称为无限集。
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(二) 集合的表示法
通常集合的表示有两种方法： (1) 列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花 括号内，元素之间用逗号隔开。
例如：A = { 2, a, b, 9 }, B = { 4, 5, 6, 7, 8 } (2) 描述法：给定一个条件 P(x)，当且仅当元素 a 使 P(a) 成立时，a A。其一般形式为 A = {a | P(a) }。
吸收律 A(AB)A证明留作练习。
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例4 证明 A (A B )A B
证明 A(AB)
ABA B
A (A B)
A (AB)(AA)(AB)
(AB)A B.
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例5 证明 A B A A B
证明 "" 设ABA,A BA,
A B (A B) BA (B B)
A .
"" 设AB ,
ABA B(A B)
(AB)(AB)A (BB)
A E A .
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集合元素的计数问题：
定义 集合 A 中所含元素的个数称为集合 A 的基数， 记作 | A |。
AB
U
A
B
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(三) 全集与空集
在研究某一问题时，如果所讨论的集合都是某一集 合的子集，则称此集合为全集，记作 U . 不含任何元素的集合称为空集，记为 Ø。
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(四) 子集
如果集合 A 的元素也是集合 B 的元素，则称 B 包含
A ，或称 A 是 B 的子集，记作： A B 或 B A .
基本性质： A B A B
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4、补集 A {x|x U 且 x A },其中 U为全集。
U A
例如， U{0,1,2,3,},A{0,2,4,6,},
则 A{1,3,5,7,}
基本性质： AAU, AA
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(六) 集合运算律
交换律： ABBA A BB A
结合律： (A B ) C A (B C ) (A B )C A (B C )
1、并集 A B {x |x A 或 x B }
U
A
B
例如，A{1,2,3}, B{3,4,5}, 则 A B {1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
基本性质： A A B ,B A B
A A ,A U U ,A A A
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2、交集 A B {x |x A 且 x B }
反 之 ， 若 x A B， 即 xA且 xB， 也 即 x A 且 x B ， 于 是 x A B，
从 而xAB，所 以 A B A B。
综 上 所 述 ， A B A B 。
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例1 证明对偶律 ABA B.
或证 对 任 意 的 xAB
xAB x A 且 x B
x A 且 x B
分配律： A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
对偶律： ABA B
A BAB
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例1 证明对偶律 ABA B.
证明 设xAB，则xAB，
即 x A 且 x B ， 于 是 x A 且 x B ，
因 此xA B，所 以 A B A B；
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在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
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2
教材：
《微积分》
主编 赵树嫄 （第四版）
中国人民大学出版社
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微积分(Calculus)是一门以变
量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科，应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题，就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 同时发 明了微积分，微积分研究的主要对 象就是函数。
xA B
所 以 A BA B。
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例2 证明 ABA B.
U
证明 对 任 意 的 x A B
A
x A 且 x B B
x A 且 x B
xA B
所 以 A BA B 。
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例3 证明吸收律 A (AB )A.
证明 A(A B) (A U ) (A B ) A(UB) A U
A.