(微积分)第一章

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《微积分》讲义

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。

例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。

即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。

⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。

⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。

⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。

例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。

2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。

3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。

《微积分(第四版)》第一章函数

分配律： A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
对偶律： ABA B
A BAB
.
17
例1 证明对偶律 ABA B.
证明设xAB，则xAB，
即 x A 且 x B ，于是 x A 且 x B ，
因此xA B，所以 A B A B；
xA B
所以 A BA B。
.
19
例2 证明 ABA B.
U
证明对任意的 x A B
A
x A 且 x B B
x A 且 x B
xA B
所以 A BA B 。
.
20
例3 证明吸收律 A (AB )A.
证明 A(A B) (A U ) (A B ) A(UB) A U
A.
反之，若 x A B，即 xA且 xB，也即 x A 且 x B ，于是 x A B，
从而xAB，所以 A B A B。
综上所述， A B A B 。
.
18
例1 证明对偶律 ABA B.
或证对任意的 xAB
xAB x A 且 x B
x A 且 x B
1、并集 A B {x |x A 或 x B }
U
A
B
例如，A{1,2,3}, B{3,4,5}, 则 A B {1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
基本性质： A A B ,B A B
A A ,A U U ,A A A
.
13
2、交集 A B {x |x A 且 x B }
.
4
第一章函数
.
5
第一节集合

大学微积分第一章函数

X
f
Y f (X )
①满射若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射;
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; ③双射若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】设
f :X Y
是单射
记作
1
定义
称映射
g
g : f (X ) X
为映射
f
的逆映射
周期为
【注】周期函数不一定存在最小正周期 . 【例如】常量函数 f ( x ) C
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
五、复合函数
1【定义】设有函数链
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
① ②
则称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
y 与之对应则称这个对应 D 上的一个一元函数，简
因变量
y f ( x ) , x D, 函数值
定义域
函数
自变量
x 0 处的
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值值域
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D } 称为函数的
2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
第一章
函数
一. 区间和邻域二. 映射三. 函数概念四. 函数的特性五. 复合函数六. 基本初等函数
七. 初等函数
八. 经济学中常用的函数
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.

微积分知识点总结(期末考研笔记)

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

微积分第一章详细答案

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。

微积分第一章

高等数学教案、第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

具体的要求如下：1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。

2．掌握极限四则运算法则。

3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。

5。

理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。

6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。

7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。

第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。

4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。

4两个重要极限无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时第一章习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。

张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。

……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。

经济数学基础微积分第一篇第一章--函数

关键是对函数f 记 x的号理解 : (1)f x0表示函f数 x在xx0处的值 ;
(2)自变量可以取一，个还数可值以取一个表达式。
例 31： . 给定 fx 函 x2数 x2,试计 f0,f(x2),f1x.
解： f(0)02022
f(x 2 ) (x 2 )2 (x 2 ) 2 x 4 x 2 2
给定 r2, 就有 S4;
给定 r3, 就有 S9;
例 y 如 fx x 2 ： x 1
给定 x1, 就y有 f11;
给定 x1, 就y 有 f1 3 ;
【注y 意 f】 x
二. 求定义域
函数的定义域：是使函数有意义的自变量x取值的全体。也就是自变量x允许取值的范围。
确定函数定义域的三条基本要求： (1) 分式的分母不能为零。即若 y 1
【公 ln x式 kkln 】 x， lo ： ax g kkloax g
【解】 1 fx lx n 2 2 lx n(x 0 ) g x 2 ln x(x 0 )
表达式不同，定义域不同所以它们是不同的函数。
2 fx lx n 3 3 lx n ( x 0 )
g x 3 ln x(x 0 )
－3 －2
2
x
【练习1】
求函 f(x数 )lo2g (x1)
1 的定.义 x21
【解】要使f(x) 有意义，必须有
x 1 0
x
2
1
0
xx11x10
xx
1 1
或
x
1
即： x1
公共部分
写成区间 (1, ： )
【练习2】
求函f(x数 ) 1 3x的定.义 lnx(3)
【解】要使f(x) 有意义，必须有

微积分(第一章)

f ( x) g ( x) h( x)
函数的积 f g ： ( f g )(x) f ( x) g ( x), x D f f f ( x) , x D, g ( x) 0 函数的商： ( )(x) g g ( x) g 例设函数 f ( x) 的定义域为 (l , l )，证明必存在 (l , l ) 上的偶函数 g ( x) 和奇函数 h( x) ，使得
构成了 R f 到 X 上的一个映射，称为 f 的逆映射，记为 f 1 1 其定义域为 D ，值域为 R Rf X 。 f f
1
第一章函数
§2 映射与函数
设有如下两个映射
g : X U1 , x u g ( x) f : U 2 Y , u y f (u)

g f f g ( ，称 f g )(x) f [ g ( x)] 对复合函数为中间变量，其中
为自变量。 f g
u g ( x)
x Df g
第一章函数
§3 复合函数与反函数
初等函数
把函数 F ( x) 3arcsin 分成几个简单函数的复合。例2
例1
1 x 2
则称 f 为单射，如果映射 f 满足 R f Y ，则称 f 为满射；如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射(又称一一对应)。
第一章函数
§2 映射与函数
二、逆映射与复合映射
设 f : A B 是单射，对应关系 g : R f X y x( f ( x) y )
和 F ( x) lg sin tan x
设有函数 y f (u) u 和 u ( x) a x ，考察 a 1 ， a 1 时 y f [ ( x)] 是否为复合函数。

微积分第一章PDF

y
3 2

2

3
y [ x]
3 2
1
1 O 1 1
2 3
x

取整函数 [ x ] 的一个重要性质 :
对任何实数 x , 存在绝对不等式 [ x ] x [ x ] 1.
例如, [0.99] 0.99 [0.99] 1 为 0 0.99 1.
e x e x 解方程 y ( x 0) : 2 (e x ) 2 2 y e x 1 0, ex y x ln( y y 2 1, y 2 1)
O
y ln( x x 2 1)
y
x
y arch x ln( x x 2 1)
x x y u , u cot v , v 2 复合成函数 y cot 2 ; 函数 y arcsin u, u 2 x 2 不能复合 , 前者的定义域与
后者的值域的交集是空的, 即 arcsin(2 x 2 ) 无意义．
8. 初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所得到的有意义的函数, 称为初等函数.
1
y
x
O
1
x
y 1 x
(2) 指数函数:
y a (a 0, a 1)
x
y
1 y ( a )x
a1
y ax
1
x
O
(3) 对数函数: y log a x (a 0, a 1)
y
a1
y log a x
x
O
1
y log a 1 x
(4) 三角函数

微积分第一章第1节

D f D , R f f ( D ){ y | y f ( x ), xD} R.
函数记号：y g( x ), y( x ), yF ( x )， y y( x ).
函数的两要素:
定义域与对应法则.
约定: 定义域是使算式有意义的一切实数所组成的集合.
y
y
1 x2 , 1 , 2 1 x
x 3 y , y R.
习惯上, 通常将 x 3 y 写作 y 3 x , x R
一般地, y f ( x ), x D 的反函数记成
1
y f ( x ), x f ( D ).
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
y f 1 ( x )
规定空集为任何集合的子集.
2. 集合的运算
设A、B是二集合,
I是全集.
并集：A B { x | x A或x B }; 交集：A B { x | x A且x B }; 差集：A \ B { x | x A且x B };
余集：AC I \ A.
例如，
若I R, A { x | 0 x 1},
x—自变量, u—中间变量,
y—因变量 .
例
设 y f ( u)arcsin u, u g( x )2 1 x 2 , 求 f g，并指出其定义域.
解 f g( x ) arcsin 2 1 x 2 ; D [1,1], D [1,1] g f x Dg | x | 1 解即 , 得D{ x| 3 |x|1}. g ( x )D f |2 1 x 2 |1 2
D [1,1] ；
D (1,1) ；

微积分第一章1-2

若R f Y , 则称f 是X 到Y 上的映射或满射; 若对x1 , x2 X , x1 x2 , 有f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f

是X 到Y 的单射; 若f 既是单射,又是满射,则称f 为一一映射(或双射).
5
2. 逆映射与复合映射
设f 是X 到Y 的单射, 则对每个y R f , 有唯一的 x X , 适合f ( x ) y . 于是可定义一个新映射g , 即 g : Rf X
注 : (1) 构成映射必须具备三个要素 :
集合X ,即定义域; 集合Y ,即值域的范围; 对应法则f , 使对每个x X , 有唯一确定的y f ( x )与之对应.
(2) 对每个x X , 元素x的像 y是唯一的; 而对每个y R f , 元素 y的原像不一定是唯一的.
(3) 一般地Rf Y , 不一定Rf Y .
当x (1, )时, 对应的函数值f ( x ) 1 x.
O
y
y 1 x
y2 x
1
x
21
2. 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
设D是函数f ( x )的定义域 , 数集X D , 若存在数K 1 , 对任一x X , 有 f ( x ) K1 , 则称函数f ( x )在X 上有上界.而K 1 称为函数f ( x )在 X 上的一个上界. 若存在数K2 , 对任一x X , 有
8
注 : 对于映射g : X Y1 和映射f : Y2 Z , 只有当Rg D f 时, 才能构成复合映射f g.
一般地, 若f 使f
g有意义, 但g f 未必有意义.即 g与g f 也未必相同.
g与g f 都有意义,f

经济数学基础--微积分第一章

解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章第二节第 12 页
极限的概念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章第二节
极
限
1 数列的极限
的概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U（a,
）,
0
即 U（a,） x 0 x a ，如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章第二节极限的概念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,

高等数学(微积分学)教学课件

三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D

高数微积分第一章

U (a, ) { x a x a }.

a
a
a
x
点a的去心的邻域, 记作U 0 (a, ).
U 0 (a, ) { x 0 x a }.
a的右邻域U (a, ) { x | 0 x a };
a的左邻域U (a, ) { x | x a 0}.
x
o
x
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。
例如, 2 x 1, x 0 f ( x) 2 x 1, x 0
y x2 1
y 2x 1
1, 0 x 1 例5：设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2, 1 x 2
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点有理数点
x
(4) 取最值函数
y max{f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
例4：求函数y log ( x 1) (16 x 2 )的定义域.
解：16 x 2 0,
x 1 0, x 1 1,
x 4 x 1 x 2
1 x 2及2 x 4,
即定义域为 1,2) (2,4). (
2、函数表示法解析法(公式法)，表格法，图示法 3、几个特殊函数 (1) 符号函数
A
AB
B
(4)并集：A B x | x A或x B 。

第一章基础概念与练习 (《微积分》PPT课件)

A={3，4，5}，B={1，3，6},那么 AC BC _____
5. 下列给出的四个集合中，表示空集的是（）
A {0}
B {(x,y)|y2 =-x2 , x∈R，y∈R}
C {x|2x2+3x+2=0, x∈N}
D {x| sinx+cosx = 2 , x∈R}
6. 设全集I为R，函数f(x) = sinx , g(x) = cosx , M = {x | f(x) = 0}, N = {x | g(x) = 0}, 则：集合 {x | f(x) g(x) ≠ 0} =（）
y
f (x)
g( x)
x o
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
x o
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x
2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
例1
解当 x 800时，y 0
当800 x 1300时， y 0.05(x 800) 0.05x 40
4. 余集: 研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，用 I 表示；把差集 I \ A 特别称为余集或补集，记作Ac .
5. 运算规律:
①交换律: A B B A , A B B A ; ②结合律: A (B C ) ( A B) C
A(B C) (A B)C ③分配律: A (B C ) ( A B) ( A C )
f 1 ：B A x y arccos x
2.复合映射：
g ：X U1 x u g(x)