最新高三数学(理科二轮复习教案专题四第二讲数列的通项公式与数列求和名师精编资料汇编

第二讲 数列的通项公式与数列求和

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类型一 数列的通项问题

1．累加法求通项：形如a n ＋1－a n ＝f (n )．

2．累乘法求通项：形如a n ＋1a n

＝f (n )． 3．构造法：形如：a n ＋1＝pa n ＋q .

4．已知S n 求a n ，即a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.

[例1] (2012年高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.

(1)求a 1的值；

(2)求数列{a n }的通项公式．

[解析] (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.

因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.

(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，

所以S n ＝2S n －1＋2n －1，①

所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②

②－①得a n ＋1＝2a n ＋2.

所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2

＝2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2

＝2，所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.

跟踪训练

数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，数列{a n }的通项公式为________． 解析：由题意，当n ≥2时，

a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，①

故当n ＝2时，有a 1·a 2＝22＝4，

又因为a 1＝1，所以a 2＝4.

故当n ≥3时，

有a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，②

由①②，得a n ＝n 2（n －1）2

. 而当n ＝1时，a 1＝1，不满足上式，n ＝2时，满足上式．

所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧1（n ＝

1），n 2（n －1）2（n ≥2）. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧1 （n ＝1）n 2

（n －1）2 （n ≥2） 类型二 数列求和

数列求和的方法技巧

(1)转化法

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并；

(2)错位相减法

这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n

项和，其中{a

n }，{b

n

}分别是等差数列和等比数列；

(3)裂项相消法

利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．

[例2](2012年高考浙江卷)已知数列{a

n }的前n项和为S

n

，且S

n

＝2n2＋n，n∈N*，数列{b

n

}

满足a

n ＝4log

2

b

n

＋3，n∈N*.

(1)求a

n ，b

n

；

(2)求数列{a

n ·b

n

}的前n项和T

n

.

[解析](1) 由S

n

＝2n2＋n，得

当n＝1时，a

1＝S

1

＝3；

当n≥2时，a

n ＝S

n

－S

n－1

＝4n－1.

所以a

n

＝4n－1，n∈N*.

由4n－1＝a

n ＝4log

2

b

n

＋3，得b

n

＝2n－1，n∈N*.

(2)由(1)知a

n b

n

＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，

所以T

n

＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，

2T

n

＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，

所以2T

n －T

n

＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]

＝(4n－5)2n＋5.

故T

n

＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.

跟踪训练

(2012年高考课标全国卷)数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为() A．3 690 B．3 660

C．1 845 D．1 830

解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．

∵a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，

∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10

＋26＋42＋…＋234＝15×（10＋234）

2

＝1 830.

答案：D

类型三数列的综合应用

1．数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识．2．数列的单调性的判断方法：

(1)作差：a n＋1－a n与0的关系；