系统最优控制

2、系统状态的始端和终端条件。 始端和终端条件给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约 束条件。 • 端点条件一般有三种类型：固定端、自由端和可变端。 • 固定端就是时间和状态值都是固定的端点。例如初始时间t0及其初 始状态X(t0)都固定就称始端固定条件，而终端时间t1及其终端状态 X(t1)都固定就称终端固定条件。一般来说，两端固定是最简单的情 况。 • 自由端是指端点时间固定，但端点状态值不受任何限制的端点。有 始端自由和终端自由两种。 • 可变端就是端点时间及其状态值都可变的端点。但一般它满足一定 条件，如满足C(t1)=0，或N[X(t1), t1]=0。
1、F和 f不显含t，t1不固定。
选控制函数u1、u2、u3、u4使船分别沿正东、正南、正西、正北，且单位时 间分别到达A1、A2、A3、A4。 x2 B 其损耗分别为Fi=F（Xi，ui，t）（i=1,2,3,4） 当然也可选其它的控制函数，使船沿其它方 u4 A4 向，现不考虑。 u3 u1 再假设从t0+1到t1这段时间分别从上述四地到 E A3 A A1 B的最优控制已定，且其最小损耗分别为V1、 u2 A2 V2、V3、V4 。 x1 0 全程最小损耗的航行应使：Wi=Fi+Vi （i=1,2,3,4）最小，即： 最优控制函数u*(t)应满足： （Fi+Vi） min Wi= min u u 将 Wi视为u的函数，求u使Wi最小即可求出最优控制函数u*(t) 。 全程不易求，按时间分段求最优控制函数。
minF ( x1 , x2 , u, t )t V ( x1 x1 , x2 x2 , t 0 t ) V ( x1 , x2 , t 0 ) 0
u
Δ V=Vi-V0=Vi=V(x1+Δ x1，x2+Δ x2，t0+Δ t)-V(x1,x2，t)。
V V V V V x1 x2 t t X x1 x2 t t X T V V t f ( X , u, t )t t X
2、F和f不显含t，最小损耗为点坐标的二次连续可微函数。
设最小损耗函数V(x1，x2)为二次连续可微函数。 A的坐标为(x1,x2)，则最小损耗为V0=V(x1,x2)。 船从A行驶Δ t时后到达Ai=(x1+Δ x1，x2+Δ x2) 其最小损耗为Vi=V(x1+Δ x1，x2+Δ x2) 则最小损耗的增量为： Δ V=Vi-V0=V(x1+Δ x1，x2+Δ x2)-V(x1,x2) x2 Ai A x1

T V V f ( X , u, t ) min F ( X , u, t ) t X u
或
T max p0 F ( X , u, t ) P ( t ) f ( X , u, t )
u
V t
最大值不为0，为
V ！ t
学号
引言
理论形成阶段：
自动控制联合会(IFAC)第一届世界大会于1960年召开,卡尔曼 （Kalman）、贝尔曼（R.Bellman）和庞特里亚金（Pontryagin）分 别在会上作了“控制系统的一般理论”、“动态规划”和“最优控制 理论”的报告,宣告了最优控制理论的诞生,人们也称这三个工作是现 代控制理论的三个里程碑。
1953 － 1957 年，贝尔曼 (R.E.Bellman) 创立“动态规划”原理。
为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本 的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最优控 制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。
1956－1958年，庞特里亚金创立“极小值原理”。
•
3、系统控制域。 • 在实际控制系统中，控制输入u(t)往往是受限制地任意取值的，例 如作为作为汽车控制的发动机，其输出功率就有最大功率的限制。 所以在许多最优控制问题中，需要规定一个允许的控制域，即控制 允许取值的范围，在此范围取值的控制称为允许控制。
• • • •
如果系统目标泛函只取式中的第一项，即：
上式等价：
T V f ( X , u ) 0 max F ( X , u) X u
V 记： x 1 p0 1、P ( t ) V x 则上式为： 2
T max p0 F ( X , u) P ( t ) f ( X , u) 0 即为最大值原理的形式
J ( X (t1 ))
或
J ( X ( l ))
则称为终端型或迈耶（Mayer）型。 如果系统目标泛函只取式中的第二部分，即：
J F ( X ( t ), u( t ), t )dt 或 J
t0

t1
F ( X (k ), u(k ), k )
k h
l 1
• •
•
则称为积分型或拉格朗日(Lagrange)型。 最优控制问题就是在满足上述1、2、3点的条件下，找到一个控制u(t)，使得 系统目标泛函J达到最大或最小。这样的控制u(t)就称系统的最优控制u*(t)，将 u*(t)代入系统状态方程就可解得系统的状态轨迹X(t)，称之为最优状态轨迹 X*(t)。 一个最优控制问题的复杂程度，或者说其求解和实现的难易程度是由上述四 方面的具体规定，特别是系统的性能指标的具体形式来决定的。一般来说， 两端固定的线性系统，其控制不受限制，且系统性能指标为积分型时，最优 控制问题是比较简单的。
王范 学号1350410038
引
速度向量为：
例
x2 B
条件：一船要从时间t0到t1，由A地开往B地。
f ( X (t ), u(t ), t ) X x1 其中： X 为位置向量； x 2 u(t)为控制函数。
船在航行时，单位时间的损耗
A
0
x1
（性能指标）为：w=F(X，u，t)——与X、u、t有关！ 控制函数既改变速度，也改变损耗。 问题：求最优控制函数u*(t)，或最优状态轨迹（航道）X*(t)，使船 由A地 开往B地时损耗最小。
看具体数据：
设：F1=10、F2=9、F3=7、F4=12；V1=90、V2=92、V3=97、V4=95 。 则：全程最小其损耗为V0= F1+V1=10+90=100 即：从A出发沿正东方向u1为最优控制函数。 min 这里，V0= u Wi= min （Fi+Vi） u 所以， V0≤ Fi+Vi （i=1,2,3,4） 即：Fi≥V0-Vi （i=1,2,3,4） 含义：从A行驶到Ai的损耗Fi必须不小于A到B的最小损耗V0与Ai到B的最小 损耗Vi之差。否则，选其它方向为最优控制函数。 且仅当控制函数为最优控制函数时，等号才成立。 即最优控制函数u*(t)应满足： （1—1） min [Fi+（Vi-V0）]=0 u 沿最优航道行驶的损耗Fi*与最小损耗增量Vi*-V0的和等于0。 再将A1作为起点，递推，理论上可求出最优控制函数和最优航道。
它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程 碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典 变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以 它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特 里亚金在《最优过程的数学理论》著作中已经把最优控制理论初 步形成了一个完整的体系。
X f ( X , u)t
Δt时大于0且与u 无关！
最优控制u*应满足关系式(1—1)，即：
T T V V f ( X , u)t 0 min F ( X , u) f ( X , u) 0 min F ( X , u)t X X u u
最优控制问题的描述
1、系统的状态方程。 对连续系统，其状态方程为：
f ( X (t ), u(t ), t ) X
对离散系统，其状态方程为： X(k+1)=f( X(k), u(k), k ) 系统状态方程给出了系统内部状态随系统控制输入的变化关系，或者说是 内部状态的一种约束关系，或者说是系统状态在整个控制过程的转移约束 关系。
• 此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工
作， 还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩— 图克定理)以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。
简述
• 控制系统的分析(System Analysis)和综合设计 •
•
• • •
(System Synthesis)是系统研究的两大课题。 系统的分析是在建立控制系统的数学模型的基础上， 分析系统的各种性能，如系统稳定性、能观性、能控 性等，这在前面的章节已经做过介绍。 系统综合或系统设计的任务是设计系统控制器，以改 善原系统的性能，达到系统要求的各种性能指标。 系统综合可分为常规综合(Conventional Synthesis ) 和最优综合(Optimal Synthesis)。 常规综合只满足系统的某些笼统的指标要求，如稳定 性、快速性及稳态误差。 最优综合（控制）是确保系统某种指标最优的综合， 如最短时间、最低能耗等。
B

V V V x1 x2 X x1 x2 X
T
其中：
V V x1 X V x 2
x1 、 X x 2
0 等式中忽略高阶 无穷小。
由速度(状态)方程得：
• 最优控制理论(The Optimal Control Theory)是现代控制 理论中的重要内容，近几十年的研究与应用使最优控制理论 成为现代控制论中的一大分支。 • 由于计算机的发展已使过去认为不能实现的计算成为很容易 的事，所以最优控制的思想和方法已在工程技术实践中得到 越来越广泛的应用。 • 应用最优控制理论和方法可以在严密的数学基础上找出满足 一定性能优化要求的系统最优控制律，这种控制律可以是时 间t的显式函数，也可以是系统状态反馈或系统输出反馈的 反馈律。 • 常用的最优化求解方法有变分法、最大值原理以及动态规划 法等。 • 控制系统的最优控制问题一般提法为：对于用动态方程描述 的系统，在某初始和终端状态条件下，从系统所允许的某控 制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统的性能目标函 数达到最优。
T
最优控制u*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足：
T V V F ( X , u , t ) t f ( X , u , t ) t t 0 min t X u
V与u无关！

T V V F ( X , u , t ) f ( X , u , t ) min 0 t X u
u
3、F和f显含t，最小损耗为二次连续可微函数。
设最小损耗函数V(X，t)= V(x1,x2,t)。为二次连续可微函数。 t0时船从A(x1,x2)出发，其最小损耗为V0=V(x1,x2,t)。 行驶Δ t时后到达Ai=(x1+Δ x1，x2+Δ x2)， 其最小损耗为：V(x1+Δ x1,x2+Δ x2,t+Δ t) 最优控制u*应满足的关系式(1—1)为：