2012年高考理科数学新课标全国卷 逐题解析

绝密*启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素
的个数为（ ）
()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10
【解析】选D
5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种
【解析】选A
甲地由1名教师和2名学生：12
2412C C =种
（3）下面是关于复数2
1z i
=
-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34
【解析】选C 22(1)
11(1)(1)
i z i i i i --=
==---+-+--
1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-
（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a
x =上一点，
∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则
E 的离心率为（ ）
()A 12 ()B 23 ()C 3
4
()D 45
【解析】选C
∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()22
4
c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}
n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）
()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7
【解析】选D
472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-
（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和
实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）
()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()
B 2
A B
+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数
【解析】选C
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18
【解析】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11
633932
V =⨯⨯⨯⨯=
（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B
两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）
()A ()B ()C 4 ()D 8
【解析】选C
设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --
得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=
（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
π
π上单调递减。

则ω的取值范围是（ ）
()A 15[,]24 ()B 13[,]24
()C 1
(0,]2 ()D (0,2] 【解析】选A
592()[,]444x πππ
ωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D
351()[,]444
x πππ
ωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C
另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,
]424422x ππππππ
ωωπω+∈++⊂ 得：315
,2424224
πππππωπωω+≥+≤
⇔≤≤
（10） 已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-；则()y f x =的图像大致为（ ）
【解析】选B
()l n (1)()1()010,()00()(0)
x
g x x x g x x
g x x g x x g x g '=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D
（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A 6 ()B
6 ()C
3 ()
D 2
【解析】选A
ABC ∆
的外接圆的半径r =
O 到面ABC
的距离d == SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC
的距离为23
d =
此棱锥的体积为11233436
ABC V S d ∆=
⨯=⨯=
另：123ABC V S R ∆<
⨯=排除,,B C D
（12）设点P 在曲线12
x
y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）
()A 1ln 2- ()B
ln 2)- ()C 1ln 2+ ()
D ln 2)+
【解析】选A 函数12
x
y e =
与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =
的距离为d =
设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=
-⇒=-⇒=-⇒= 由图象关于y x =对称得：PQ
最小值为min 2ln 2)d =-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b 夹角为45︒
，且1,210a a b =-=；则_____b =
【解析】_____b =2
2
210(2)1044cos 451032a b a b b b b ︒-=⇔-=⇔+-=⇔=
(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
；则2z x y =-的取值范围为
【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-
约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C
则2[3,3]z x y =-∈-
（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从
正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为
【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
38
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12
p =
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2
13
1(1)4
P p =--= 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138
p p p =⨯=
（16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 【解析】{}n a 的前60项和为 1830
可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+
11234151514
1
010********
2
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+
⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC
∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,
b c 。

【解析】（
1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C
A A A A A ︒︒︒︒
⇔+=++⇔
-=⇔-=
⇔-=⇔=
（2）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2
2
2
2cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=
解得：2b c ==（l fx lby ）
18.（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，
数学期望及方差；
（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由。

【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-
得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩
（2）（i ）X 可取60，70，80
(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X 的分布列为
2
2
2
160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯= （ii ）购进17枝时，当天的利润为
(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=
76.476> 得：应购进17枝
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==
， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1
（1）证明：BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小。

【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒
∠=
同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=
得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥
取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 111111
A C
B
C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A B
D 1C O ⇒⊥面1A BD 1O H B D C H B D
⊥⇒⊥
得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角
设AC a =，则12
C O =
，111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒
（20）（本小题满分12分）
设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =
点A 到准线l
的距离d FA FB ===
1
22
ABD S BD d p ∆=⇔
⨯⨯=⇔= 圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2
00(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3,
)2p
A
，直线3:022p p p m y x x -
=+⇔-+=
22
2233
x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点)6p P
直线:06p n y x x p -
=⇔= 坐标原点到,m n
3=。

（lfx lby ）
（21）（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足满足1
2
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+
； （1）求()f x 的解析式及单调区间；
（2）若2
1()2
f x x ax b ≥
++，求(1)a b +的最大值。

【解析】（1）121
1()(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+
令1x =得：(0)1f = 1
2
11()(1)(0)(1)1(1)2
x f x f e
x x f f e f e --'''=-+
⇒==⇔= 得：2
1()()()12
x
x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+
()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔< 得：()f x 的解析式为21()2
x
f x e x x =-+
且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2
1()()(1)02
x f x x ax b h x e a x b ≥
++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾
②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ 得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-
()00()0F x x F x x ''>⇔<<⇔>
当x =
max ()2
e F x =
当1,a b ==(1)a b +的最大值为
2
e 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，,D E 分别为ABC ∆边,AB AC 的中点，直线DE 交
ABC ∆的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：
（1）CD BC =； （2）BCD GBD ∆∆
【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ⇒⇒= //CF AB AF BC BC CD ⇒=⇔= （2）//BC GF BG FC BD ⇒==
//BC GF GDE BGD DBC BDC ⇒∠=∠=∠=∠⇒BCD GBD ∆∆
（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕ
ϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,
)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636
π
πππ 点,,,A B C D
的直角坐标为(11,1)--
（2）设00(,)P x y ；则00
2cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数 2222
224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈
（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲
已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥
2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323
x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩
1x ⇔≤或4x ≥
（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立
24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立
22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立
30a ⇔-≤≤。