2.4 二项分布 课件(北师大选修2-3) - 副本 (2)

[一点通]
要判断n次试验中A发生的次数X是否服从
二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复
试验的特点为： (1)每次试验是在相同的条件下进行的； (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次 试验是相互独立的；
(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；
(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生． 返回
理解教材 新知
第 1 部 分
第 二 章
§4
把握热点 考向
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应用创新 演练
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某篮球运动员进行了 3 次投篮， 假设每次投中的概率都 4 为 ，且各次投中与否是相互独立的，用 X 表示这 3 次投篮 5 投中的次数，思考下列问题． 问题 1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共 进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？
其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必
居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三 是各次试验相互独立．
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[例1]
在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保
人的死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试 问3个投保人中： (1)全部活到70岁的概率； (2)有2个活到70岁的概率；
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因此，次品数X的分布列如下：
X＝k
P(X＝k)
0
0.9025
1
2
0.095 0.0025
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5．射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪， 击中两个飞靶得 2 分，击中一个飞靶得 1 分，不击中飞靶 得 0 分．某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一 2 1 枪命中率为 ， 第二枪命中率为 ， 该运动员进行 2 轮比赛． 3 3 (1)求该运动员得 4 分的概率为多少？ (2)若该运动员所得分数为 X，求 X 的分布列．
解： (1)甲恰好击中目标 2 次的概率为 (2)乙至少击中目标 2 次的概率为 20 2221 323 C3 ＋C3 ＝ .
3 3 3
3 213 C3 ＝ .
2

8
27
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(3)设乙恰好比甲多击中目标 2 次为事件 A， 乙恰好击中 目标 2 次且甲恰好击中目标 0 次为事件 B1，乙恰好击中目 标 3 次且甲恰好击中目标 1 次为事件 B2，则 A＝B1＋B2， B1，B2 为互斥事件． P(A)＝P(B1)＋P(B2)
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(3)各次试验是 相互独立 的． 用X表示这n次试验中成功的次数，则 k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) C p P(X＝k)＝ ． 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数 为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p) ．
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1．P(X＝k)＝C· pk(1－p)n－k.这里n为试验次数，p为 每次试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数． 2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：
33 33
81
1 2 2 1 33 4 4 2 2 P(X＝2)＝ 3 ＋ 3 ＋4 3 3 ＝ . 81
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∴X的分布列为
X＝k P(X＝k)
0 4 81
1 20 81
2 33 81
2

2
4
答案：D
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2．甲每次投资获利的概率是p＝0.8，对他进行的6次相互
独立的投资，计算：
(1)有5次获利的概率； (2)6次都获利的概率．
解：用 X 表示甲在 6 次投资中获利的次数，则 X 服从 二项分布 B(6,0.8)，且
5 (1)P(X＝5)＝C5 60.8 (1－0.8)≈0.39，
12132 P(X＝1)＝C3 ＝
5 5 5 5 5 5
54 ， 125 36 ， 125 8 . 125
22231 P(X＝2)＝C3 ＝ 32330 P(X＝3)＝C3 ＝
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∴X的分布列为
X＝ k P(X＝k)
222 1 013 323 113 ＝C3 ·C3 ＋C3 · C3
3
2
3
2
3
1 1 1 ＝ ＋ ＝ . 18 9 6
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[例 2]
(12 分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通
岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并 2 且概率都是 ，设 X 为途中遇到红灯的次数．求 5 (1)随机变量 X 的分布列； (2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
4 1 每种情况发生的可能性为52·. 5
从而
242 1 P(X＝2)＝C3 ·.
5
5
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二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有 两个相互对立 的结果，可以分别称 为“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为 1－p ；

0 27 125
1 54 125
2 36 125
3 8 125
(8 分)
(2)由题意知， “至少遇到一次红灯”的对立事件是“一 次红灯都没有遇到”．因此有 27 98 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－ ＝ . 125 125 (12 分)
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[一点通]
解决这类问题一般步骤：
(1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项
他 5 次获利的概率约等于 0.39.
6 (2)P(X＝6)＝C6 60.8 ≈0.26.
他 6 次都获利的概率约等于 0.26.
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3．甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概 1 2 率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，求： 2 3 (1)甲恰好击中目标 2 次的概率； (2)乙至少击中目标 2 次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率．
3 20 81
4 4 81
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1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两 个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次 试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的 三个条件． 2．二项式[(1－p)＋p]n 的展开式中，第 k＋1 项 Tk＋1
n k k k k n k ＝Ck (1 － p ) p ， 可见 P ( X ＝ k ) ＝ C p (1 － p ) 就是二项式 n n
解： (1)记“运动员得 4 分”为事件 A， 2 1 2 1 4 则 P(A)＝ × × × ＝ . 3 3 3 3 81
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(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 4 P(X＝0)＝P(X＝4)＝ ， 81 P(X＝1)＝P(X＝3) 20 1213 1123 ＝C2 ＋C2 ＝ ，
(3)有1个活到70岁的概率．
[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的，利用
二项分布公式可求． 返回
[精解详析]
设 3 个投保人中活到 70 岁的人数为 X，
k 则 X～B(3,0.6)， 故 P(X＝k)＝Ck (1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)． 30.6 · 3 0 (1)P(X＝3)＝C3 · 0.6 · (1 － 0.6) ＝0.216； 3
提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成
功)，未投中(失败)．
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问题2：X＝0表示何意义？求其概率．
提示： X＝0 表示 3 次都没投中， 只有 C0 3＝1 种情况，
013 P(X＝0)＝C3 .
5
问题3：X＝2呢？
提示：X＝2 表示 3 次中有 2 次投中，有 C2 3＝3 种情况，
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[思路点拨]
求随机变量的分布列，首先应根据题目
中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变
量取各个值的概率．
返回[精解详析] 则 Nhomakorabea(1)由题意
5 5
2 X～B3，5，
02033 P(X＝0)＝C3 ＝
27 ， 125
(3 分) (4 分) (5 分) (6 分)
－ －
[(1－p)＋p]n 的展开式中的第 k＋1 项．
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点击 下图
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即全部活到 70 岁的概率为 0.216. (2)P(X＝2)＝C2 0.62· (1－0.6)＝0.432. 3· 即有 2 个活到 70 岁的概率为 0.432.
2 (3)P(X＝1)＝C1 · 0.6· (1 － 0.6) ＝0.288. 3
即有 1 个活到 70 岁的概率为 0.288.
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1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 4 次，出现“3 个 正面，1 个反面”的概率是 1 A. 2 2 C. 5 3 B. 8 1 D. 4 ( )
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解析：由题意，出现正面的次数
1 X～B4，2，
∴出现 3 个正面 1 个反面的概率为
13 1 1 3 P(X＝3)＝C4× × ＝ .
分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列．
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4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批 产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布
列．
解：由题意，得到的次品数 X～B(2,0.05)，
0 P(X＝0)＝C2 ×0.952＝0.902 5； 1 P(X＝1)＝C2 ×0.05×0.95＝0.095； 2 P(X＝2)＝C2 ×0.052＝0.002 5.