椭圆典型题型归纳

椭圆典型题型归纳

题型一． 定义及其应用

例1.已知一个动圆与圆2

2

:(4)100C x y ++=相内切,且过点(4,0)A ,求这个动圆圆心M 的轨迹方程；

例２. 方程2x =+所表示的曲线是

练习:

1.6=对应的图形是( ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆

210=对应的图形是( ）

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆

10=成立的充要条件是( )

A.

2212516x y += Ｂ.221259x y += C. 22

11625x y += D. 22

1925

x y +=

4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是

5．过椭圆2

2

941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；

6.设圆2

2

(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段

AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为 ；

题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线

例 1.方程

22

11625

x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹;

（二)分情况求椭圆的方程

例2．已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点(3,0)P ,求椭圆的方程; (三）用待定系数法求方程

例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴,且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程;

例４.求经过点(2,3)-且与椭圆2

2

9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；

注:一般地,与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22

22

21()x y k b a k b k

+=>-++； （四）定义法求轨迹方程;

例５.在ABC ∆中,,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ,且(1,0),(1,0)B C -,求满足b a c >>且

,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹;

(五）相关点法求轨迹方程；

例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ,Q 为椭圆2

214

x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程;

（六）直接法求轨迹方程;

例7.设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2

2

24x y +=交于,A B 两点,点P 是直线l 上满足

1PA PB =的点,求点P 的轨迹方程；

(七）列方程组求方程

例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为

1

2

，求此椭圆的方程;

题型三．焦点三角形问题

例1.已知椭圆

2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53

，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，

求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠； 题型四.椭圆的几何性质

例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为5

3

，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，

椭圆的半焦距为c ,则12PF PF 的最大值与最小值之差为

例２．椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰

好过焦点,则椭圆的离心率为 ；

例3.若椭圆

22114x y k +=+的离心率为1

2

，则k = ; 例4．若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点,且

01215PF F ∠=,02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为

题型五.求范围

例1.方程22

22

1(1)x y m m +

=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围;

题型六.椭圆的第二定义的应用

例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例２.求经过点(1,2)M ,以y 轴为准线，离心率为

1

2

的椭圆的左顶点的轨迹方程; 例３.椭圆

221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52

,那么P 到右焦点的距离为

例 4.已知椭圆13

42

2=+y x ,能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ,使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标,若不能找到，请说明理由。

例5．已知椭圆15

92

2=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点.求22

3

PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．

题型七.求离心率

例1. 椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -,(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点,

如果

1F 到直线AB 则椭圆的离心率e = 例２.若P 为椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，

212PF F α∠=，则椭圆的离心率为

例3． 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点,1PF PQ ⊥,且

1PF PQ =,则椭圆的离心率为 ；

题型八．椭圆参数方程的应用

例1. 椭圆22

143

x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标

例2.方程2

2

sin cos 1x y αα-=(0απ<<）表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围；

题型九.直线与椭圆的关系 （1)直线与椭圆的位置关系

例1. 当m 为何值时,直线:l y x m =+与椭圆2

2

916144x y +=相切、相交、相离？