椭圆各类题型分类汇总

椭圆经典例题分类汇总1. 椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值． 例3 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围．例 5 已知动圆P 过定点()03，-A ,且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程．2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项若存在,则求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积用a 、b 、α表示．3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31，A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标．例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离．例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点．1 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；2 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．例2 1写出椭圆14922=+y x 的参数方程；2求椭圆内接矩形的最大面积．例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥O 为坐标原点,求其离心率e 的取值范围． 5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． 1当m 为何值时,直线与椭圆有公共点 2若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程． 例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M 为AB 中点,OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程．例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．例3 已知椭圆1222=+y x ,1求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；2求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；3过()12，A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程； 4椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例4 已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程．椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置．解：1当()02，A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为：11422=+y x ；2当()02，A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为：116422=+y x ；说明：椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ,求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c ．由21=e ,得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12．由21=e ,得4191=-k ,即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例5 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ,故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆．例6 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：1由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方．2由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,αsin 12=b ． 3求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0例 5 已知动圆P 过定点()03，-A ,且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意,列出点P 满足的关系式．解：如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点,即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径, 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例 1 已知椭圆13422=+yx ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项若存在,则求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．件得解：假设M 存在,设()11y x M ，,由已知条2=a ,3=b ,∴1=c ,21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x , ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=,112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ． 解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾,所以满足条件的点M 不存在．例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积用a 、b 、α表示．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边,从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图,设()y x P ，,由椭圆的对称性,不妨设()y x P ，,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF=α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②,则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PFF ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ,过点()31，A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ,把MF 2转化为M 到右准线的距离,从而得最小值．一般地,求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ,2=c ．所以21=e ,右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥,垂足为Q ,交椭圆于M ,故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ,即M 为所求点,因此3=M y ,且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上,如图,21=e ,即MF 是M 到右准线的距离的一半,即图中的MQ ,问题转化为求椭圆上一点M ,使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ,得b a 2=,b c 3=,23=e ．由椭圆定义,b a PF PF 4221==+,得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义,e d PF =11,1d 为P 到左准线的距离,∴b ePF d 3211==,即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22,2d 为P 到右准线的距离,23==a c e , ∴b e PF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如．一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义．例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点．1 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；2 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当,即代数方法．二是数形结合,即几何方法．本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决；若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解．解：1如上图,62=a ,)0,2(2F ,22=AF ,设P 是椭圆上任一点,由6221==+a PF PF ,22AF PF PA -≥,∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA -=时成立,此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤,∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ,等号仅当22AF PF PA +=时成立,此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ,解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述,P 点与1P 重合时,1PF PA +取最小值26-,P 点与2P 重合时,2PF PA +取最大值26+．2如下图,设P 是椭圆上任一点,作PQ 垂直椭圆右准线,Q 为垂足,由3=a ,2=c ,∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQPF ,∴223PF PQ =,∴PQ PA PF PA +=+223,要使其和最小需有A 、P 、Q 共线,即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值,就是用第二定义转化后,过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，,则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时,22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程．例2 1写出椭圆14922=+y x 的参数方程；2求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题．解：1 ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．2设椭圆内接矩形面积为S ,由对称性知,矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴,设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点,)20(π<θ<,则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便．例3 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使AP OP ⊥O 为坐标原点,求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点,P 为动点,可以P 点坐标作为参数,把AP OP ⊥,转化为P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式,转化为关于e 的不等式．为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ,则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ,)0,(a A , ∵AP OP ⊥,∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ, 即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ,解得1cos =θ或222cos ba b -=θ,∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ舍去,11222<-<-ba b ,又222c a b -=∴2022<<ca ,∴22>e ,又10<<e ,∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(,求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． 1当m 为何值时,直线与椭圆有公共点 2若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程． 解：1把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x , 即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m ． 2设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x ,由1得5221mx x -=+,51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆；解决弦长问题,一般应用弦长公式．用弦长公式,若能合理运用韦达定理即根与系数的关系,可大大简化运算过程．例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求．解：法1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ,3=b ,所以33=c ．因为焦点在x 轴上,所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ,从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ,2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k , 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ． 法2利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ,设m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122．在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中,用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB ．法3利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是A ,B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF+=,从而求出11BF AF AB += 6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点,M为AB 中点,OM 的斜率为,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程．解：由题意,设椭圆方程为1222=+y ax ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ,得()021222=-+x a x a , ∴222112a a x x x M +=+=,2111a x y M M +=-=, 4112===ax y k M M OM ,∴42=a , ∴1422=+y x 为所求． 说明：1此题求椭圆方程采用的是待定系数法；2直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2 已知椭圆1222=+y x ,求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为k ,利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ,则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程,并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122kkk x x +-=+． ∵P 是弦中点,∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，,列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组,从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，,则由题意得①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ,即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ． 说明：1有关弦中点的问题,主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．2解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率． 3有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3 已知椭圆1222=+y x ,1求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；2求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；3过()12，A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程； 4椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为()11y x M ，,()22y x N ，,线段MN 的中点()y x R ，,则①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤ 1将21=x ,21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意,0342=-+y x 为所求． 2将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．椭圆内部分 3将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．椭圆内部分4由①＋②得 ： ()2222212221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+, ⑧, 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x , ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x , 即12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决．例4 已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于：1直线l AB ⊥；2弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．解：法1设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点．∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得481681322=-+-n nx x ①;∴13821n x x =+．于是1342210n x x x =+=,13124100nn x y =+-=, 即点M 的坐标为)1312,134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上,∴m nn +⨯=1344．解得m n 413-=． ②将式②代入式①得048169261322=-++m mx x ③∵A ,B 是椭圆上的两点,∴0)48169(134)26(22>-⨯-=∆m m ．解得1313213132<<-m ． 法2同解法1得出m n 413-=,∴m m x -=-=)413(1340, m m m m x y 3413)(414134100-=--⨯-=--=,即M 点坐标为)3,(m m --．∵A ,B 为椭圆上的两点,∴M 点在椭圆的内部,∴13)3(4)(22<-+-m m ．解得1313213132<<-m ． 法3设),(11y x A ,),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点,直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．∵A ,B 在椭圆上,∴1342121=+yx ,1342222=+y x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ,即0)(24)(23210210=-⋅+-⋅y y y x x x ．∴)(4321002121x x y x x x y y ≠-=--． 又∵直线l AB ⊥,∴1-=⋅l AB k k ,∴14430-=⋅-y x ,即003x y = ①; 又M 点在直线l 上,∴m x y +=004 ②;由①,②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A ,B 关于直线l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式：1利用直线AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式0>∆,建立参数方程．2利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部,满足12020<+bya x ,将0x ,0y 利用参数表示,建立参数不等式．例5 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y 或x ,得到关于x 或y 的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出21x x +,21x x 或21y y +,21y y 的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的．解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程,整理得036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根,∴14)24(8221+-=+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点,∴14)24(424221+-=+=k k k x x ,21-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ．方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y ．又∵A ,B 在椭圆上,∴3642121=+y x ,3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ,即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴21)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --． ∵A 、B 在椭圆上,∴36422=+y x ①; 36)4(4)8(22=-+-y x ② 从而A ,B 在方程①－②的图形082=-+y x 上,而过A 、B 的直线只有一条,∴直线方程为082=-+y x ．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4,则如何求椭圆方程。