勾股定理题型总结

勾股定理题型总结

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勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本

身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面

积之和等于斜边上的正方形的面积.

②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直

角边长度平方之和.

从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和

“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为的线段。（利用勾股定理探究长

度为……的无理数线段的几何作图方

法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步

反映了数与形的互相表示，加深对无理数概

念的认识。）

2、勾股定理的逆定理n ,3,2

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（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边（如c ）

②验证与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。若，则△ABC 不是直角三角形。补充知识：当时，则是锐角三角形；当时，则是钝角三角形。（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组

22b a

+2c 222c b a

=+2

22c b a ≠+222c b a >+2

22c b a <+

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的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律：

①丢番图发现的：式子

的正整数）

②毕达哥拉斯发现的：

（的整数）

③柏拉图发现的：（的

整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系

（1）注意分清应用条件：

勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

（2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.

二、本章解题技能归纳

1、直角三角形的性质与判定小结

（1）直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。

n m n m mn n m >+-(,2,2222122,22,1222++++n n n n n 1>n 1,1,222+-n n

n 1>n

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边的关系：直角三角形斜边大于直角边。

直角三角形两直角边的平方

和等于斜边的平方。直角三角

形斜边的中线等于斜边的一

半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对

的直角边等于斜边的一半。

双垂图：双垂图中的线段关系。

（2）直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角

形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边（最长的边）

的平方的三角形是直角三角形。

2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长

设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c ，由勾股定理知道：。变形得：，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条

222c b a

=+222222,,b a c a c b b c a +=-=-=

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边。

3、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边

（1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：

。（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：。

（3）等边三角形的边长为，则高为

，面积为。

三、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”

（1） 如左图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆

的

面积

S1,S2,S3有什么关系？

答： 2:32:1:1a 23a

243a

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（2）如图：∠C=90°，△ABC 的面积为20，在AB 的同侧，分别以AB,BC,AC 为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为

勾股定理知识技能和题型归纳（二）——题型

一、基础练习（要求熟练掌握）

1、在ΔABC 中，a ,b ,c 为三边长.

(1)当∠A =90°时，三边关系 .

(2)当∠C =90°时，三边关系 .

(3)当时， =90°.

2、如图，在Rt △ABC 中，∠

C =90°，BC=a,AC=b,AB=c .

（1）已知a =5,b =12,

则c = ;（2）已知b =6,c =10, 则a =

（3）已知a =2,c =,则b = ；

（4）已知a =15,b=20, 则△ABC 的周长

= ；

（5）已知a =2, c =2.5, 则△ABC 的面积

= ；

222b c a =+5c b a C

（6）已知a: c =3:5, a+ c =32, 则b= ;（7）已知c =10, a: b=3:4, 则a= , b= ，斜边上的高= 。

3、已知△ABC是直角三角形，AC=3，BC=5，

求AB的长。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=20。

（1）若∠B=45°，求BC、AC。（2）若∠

A=60°，求BC、AC。

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