自动控制习题答案

第一章

例1-1 一个水池水位自动控制系统如图1-1所示。试简述系统工作原理，指出主要变量和各环节的构成，画出系统的方框图。

电动机

图1-1 水池水位控制系统原理图

解 在这个水位控制系统中，水池的进水量1Q 来自由电机控制开度的进水阀门，出水量2Q 随意变化的情况下，保持水箱水位在希望的高度上不变。

希望水位高度由电位器触头A 设定，浮子测出实际水位高度。由浮子带动的电位计触头B 的位置反映实际水位高度。A 、B 两点的电位差AB U 反映希望水位的偏差。当实际低于希望水位时，0AB U >。通过放大器驱动电动机转动，开大进水阀门，使进水量1Q 增加，从而使水位上升。当实际水位上升到希望位置时，A 、B 两个触头在同一位置，0AB U =，电动机停止转动，进水阀门开度不变，这时进水量1Q 和出水量2Q 达到平衡位置。若实际水位高于希望水位，0AB U <，则电动机使进水阀门关小，使进水量减少，实际水位下降。

这个系统是个典型的镇定系统，在该系统中：

控制量 希望水位的设定值 被控制量 实际水位 扰动量 出水量2Q

被控对象 水池 测量元件 浮子 比较元件 电位器 放大元件 放大器

执行元件 电动机、减速器、进水阀门

系统的方框图如图1-2所示。控制系统中各元件的分类和方框图的绘制不是唯一的，只要能正确反映其功能和运动规律即可。

图1-2 水池水位控制系统方框图

例1-2 图1-3所示为发电机电压调节系统，试分析系统的工作原理，画出方框图并指出系统的结构特点。

解 发电机在电枢转速和激磁电压恒定不变时，负载变化将引起输出电压和电枢回路电流的改变。当负载增大时，将引起电枢电压下降和电枢电流增大，因此，电枢回路的电流在电阻R 上的电压增大，b u 也增大，由于b u 与i u 的极性一致，因而发电机的激磁电压上升，使输出电压增大。这种由扰动产生附加控制作用的系统是扰动控制系统（本系统是将负载变化作为扰动输入的。图1-3所示的电压调节方式只能克服负载变化对发电机输出电压的影响）。系统方框图如图1-4所示。

图1-3 发电机电压调节系统

图1-4 系统方框图

第二章

【例2-1】求图2-1所示矩形脉冲的象函数 【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为

⎩⎨⎧<<<=t T T t A t f 00)(

所以，)(t f 可以看作两个函数的叠加

)(1)(1)(T t A t A t f -⋅-⋅=

即可求得其象函数

)1()]([)]([)]([21sT e s

A

t f L t f L t f L --=

+= 或直接运用拉氏变换定义式求取

[])1()()(0

0sT T

st T st

st

e s

A

s e d A dt Ae dt e t f t f L ---∞

--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-

===⎰⎰

⎰ 【例2-2】 求1

324

)(2+++=

s s s s F 的拉氏反变换。

【解】 )(s F 的部分分式为

1

12)1)(12(4

1324)(212++

+=+++=+++=

s k s k s s s s s s s F

求系数1k 、2k

3

)1()1)(12(4

7

)12()1)(12(41

22

11-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-=-

=s s s s s s k s s s s k

[]t t e e s s L s F L t f -----=⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡+-++==35.313127

)()(5.011 【例2-3】 求下面象函数的原函数

)

1(1

)(2+++=

s s s s s F 【解】)(s F 的部分分式为

)

1()()1(1)1(1

)(2322123212++++++=++++=+++=s s s s k s k s s k s s k s k s k s s s s s F

由等式相等，所以可知

s k s k s s k s )()1(13221++++=+

解得

11=k ；12-=k ；03=k

)(s F 的部分分式可求得

2

2222866.0)5.0(866

.0578.0866.0)5.0(5.0111)(++⨯+

+++-=++-=s s s s s s s s s F 注：866.0578.05.0⨯= 则)(s F 的拉氏反变换为

[]t e t e s F L t f t t 866.0sin 578.0866.0cos 1)()(5.05.01---+-==

【例2-4】 求下列象函数的拉氏反变换。

)

3()2(1

)(3++=

s s s s F

【解】运用部分分式展开法，有

3

)2()2()2()(32

13212311++

++++++=s k s k s k s k s k s F 求得待定系数

[]

[]

3

1)2(1)3)((241)

3()2(1

)(8

3)3(1d d 21)2)((d d !214

1)3()32()3(1d d )2)((d d

2

1)

3(1)2)((33

330

30

22

2

22

3

2

2

132

2

22

23122

2

311=

+=+==

++=

=-

=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=

+==

++-=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=

+=

-

=+=

+=-=-===-=-=-=-=-==-=s s s s s s s s s s s s s s s F k s s s

s F k s s s s s F s

k s s s s s s s s F s

k s s s s F k －

)(s F 的部分分式为

33

/124/1)2(8/3)

2(4/1)2(2/1)(2

3++++-+++-

=s s s s s s F 分别查表可求得)(s F 的拉氏反变换为

[]24131)211(413

1241834141)()(322

322221++-+-=++-+-==-------t t t

t t t e e t t e

e te e t s F L t f

【例2-5】解方程6)(6)(5)(=++t y t y t y

，其中，2)0(,2)0(==y y 【解】将方程两边取拉氏变换，得

[]s

s Y y s sY y

sy s Y s 6)(6)0()(5)0()0()(2=+-+-- 将2)0(,2)0(==y y

代入，并整理，得 3

4

251)3)(2(6122)(2+-++=++++=s s s s s s s s s Y

所以

t t e e t y 32451)(---+=

【例2-6】将非线性方程222

1

x x x x y +++= 在原点附近线性化。 【解】根据式（2-3），线性化后的方程应为

A x x y x x y x x y y +⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 000 而

2)22(00

=+⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=x x x y ＝ 210=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂x

y ，10=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂x y ，0=A 故线性化后的方程为