高一数学 集合的基本运算

集合的基本运算
第1课时并集与交集
学习目标 1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集.
知识点一并集
思考某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？
答案19人.参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人.
梳理(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”).
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
(3)图形语言：、阴影部分为A∪B.
(4)性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.
知识点二交集
思考一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案1张.红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张.
梳理(1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”).
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
(3)图形语言：阴影部分为A∩B.
(4)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
类型一求并集
命题角度1数集求并集
例1(1)已知集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合A∪B是()
A.{1,3,4,5,6}
B.{3}
C.{3,4,5,6}
D.{1,2,3,4,5,6}
答案A
解析A∪B是将两集合的所有元素合并到一起构成的集合(相同元素算一个)，因此A∪B＝{1,3,4,5,6}，故选A.
(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.
解如图：
由图知A∪B＝{x|－1<x<3}.
反思与感悟有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集.由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集.
跟踪训练1(1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
解B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}.
(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B.
解如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}.
命题角度2点集求并集
例2集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义.
解A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}.
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴、y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点.
反思与感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数.
跟踪训练2A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}.求A∪B，并说明其几何意义.
解A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合.
类型二求交集
例3(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于()
A.{x|－3<x<2}
B.{x|－5<x<2}
C.{x|－3<x<3}
D.{x|－5<x<3}
答案A
解析在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.
(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于()
A.{0}
B.{1}
C.{0,1,2}
D.{0,1}
答案D
解析 M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0,1,2}，
则M ∩N ＝{0,1}，故选D.
(3)集合A ＝{(x ，y )|x >0}，B ＝{(x ，y )|y >0}，求A ∩B 并说明其几何意义.
解 A ∩B ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，其几何意义为第一象限所有点的集合.
反思与感悟 求集合A ∩B 的步骤
(1)首先要搞清集合A ，B 的代表元素是什么；
(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A ∩B ”的形式；
(3)把化简后的集合A ，B 的所有公共元素都写出来即可.
跟踪训练3 (1)集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∩B ；
(2)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ；
(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B .
解 (1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤1}.
(2)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}.
(3)A ∩B ＝∅.
类型三 并集、交集性质的应用
例4 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围.
解 A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .
当2a >a ＋3，即a >3时，A ＝∅，满足A ⊆B .
当2a ＝a ＋3，即a ＝3时，A ＝{6}，满足A ⊆B .
当2a <a ＋3，即a <3时，要使A ⊆B ，
需⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧
a <3，2a >5， 解得a <－4，或52
<a <3. 综上，a 的取值范围是
{a |a >3}∪{a |a ＝3}∪{a |a <－4，或52
<a <3} ＝{a |a <－4，或a >52
}. 反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A ∪B ＝B ”之类的条件.在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集.
跟踪训练4 设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12
}时，求p 、q 的值和A ∪B . 解 ∵A ∩B ＝{12}，∴12
∈A ， ∴2×(12)2＋3p ×12
＋2＝0，
∴p ＝－53，∴A ＝{12
，2}. 又∵A ∩B ＝{12}，∴12
∈B ， ∴2×(12)2＋12
＋q ＝0，∴q ＝－1. ∴B ＝{12
，－1}. ∴A ∪B ＝{－1，12
，2}.
1.已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N 等于( )
A.{－1,0,1}
B.{－1,0,1,2}
C.{－1,0,2}
D.{0,1} 答案 B
2.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B 等于( )
A.{0}
B.{0,1}
C.{0,2}
D.{0,1,2} 答案 C
3.已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |0<x <2}，则A ∪B 等于( )
A.{x |x >0}
B.{x |x >1}
C.{x |1<x <2}
D.{x |0<x <2} 答案 A
4.已知A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合A ∩B 等于( )
A.∅
B.{x |x ≤1}
C.{x |0≤x ≤1}
D.{x |0<x <1} 答案 A
5.已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( )
A.0或 3
B.0或3
C.1或 3
D.1或3
答案 B
1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B 没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2.集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.
课时作业
一、选择题
1.已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()
A.N⊆M
B.M∪N＝M
C.M∩N＝N
D.M∩N＝{2}
答案D
解析∵－2∈N，但－2∉M，
∴A，B，C三个选项均不对.
2.若集合M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，则M∩N等于()
A.{－3}
B.{1}
C.{－3,1,4}
D.{－3,1}
答案D
解析M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，
则M∩N＝{－3,1}，故选D.
3.已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于()
A.{y|0<y<1}
B.{y|0≤y≤1}
C.{y|y>0}
D.{(0,1)，(1,0)}
答案B
解析∵B＝{y|y＝x2}，
∴B＝{y|y≥0}，A∩B＝{y|0≤y≤1}.
4.点集A＝{(x，y)|x<0}，B＝{(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素不可能在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案A
解析A∪B＝{(x，y)|x<0或y<0}，表示的区域是平面直角坐标系中第二、三、四象限和x，y轴的负半轴，故不可能在第一象限.
5.设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B 等于()
A.{x|1≤x<3}
B.{x |1≤x ≤3}
C.{x |0≤x <1或x >3}
D.{x |0≤x ≤1或x ≥3}
答案 C
解析 由题意知，A ∪B ＝{x |x ≥0}，
A ∩
B ＝{x |1≤x ≤3}，
则A *B ＝{x |0≤x <1或x >3}.
6.若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( )
A.{1,2}
B.{x |x ≤1}
C.{－1,0,1}
D.R 答案 A
解析 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，
四个选项中，符合B ⊆A 的只有选项A.
二、填空题
7.若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有________个.
答案 2
解析 ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，
∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，
解得x ＝0或2或－2或1.
经检验当x ＝2或－2时满足题意.
8.已知集合P ＝{x ||x |>x }，Q ＝{x |y ＝1－x }，则P ∩Q ＝________.
答案 {x |x <0}
解析 |x |>x ⇒x <0，
∴P ＝{x |x <0},1－x ≥0⇒x ≤1，
∴Q ＝{x |x ≤1}，故P ∩Q ＝{x |x <0}.
9.已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________.
答案 a ≤1
解析 A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，要使A ∪B ＝R ，只需a ≤1.如图.
10.已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________. 答案 {(0,1)，(－1,2)}
解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可.
三、解答题
11.已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧
3－x >0，3x ＋6>0，
}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .
解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3， 则A ＝{x |－2<x <3}，
解不等式3>2m －1得m <2，则B ＝{m |m <2}.
用数轴表示集合A 和B ，如图所示，
则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}.
12.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}.
(1)若A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，求实数m 的值；
(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围.
解 A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}.
(1)∵A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}，∴⎩⎪⎨⎪
⎧ m －2＝1，m ＋2≥3，解得m ＝3.
(2)A ∩B ＝∅，A ⊆{x |x <m －2或x ＞m ＋2}.
∴m －2＞3或m ＋2<－1.
∴实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}.
13.已知集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |x 2－ax －b ＝0}.
(1)若A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，求a ，b 的值；
(2)若∅B A ，求实数a ，b 的值.
解 (1)因为A ＝{3,5}，A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，
所以3∈B,2∈B ，故2,3是一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根，所以a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3＝6，b ＝－6.
(2)由∅B A ，且A ＝{3,5}，得B ＝{3}或B ＝{5}.
当B ＝{3}时，解得a ＝6，b ＝－9；
当B ＝{5}时，解得a ＝10，b ＝－25.
综上，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－9或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝10，
b ＝－25. 四、探究与拓展
14.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x ，x ∈R }，则A ∩B 中的元素个数为________. 答案 2
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1. 15.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
解设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A、B、C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人.
第2课时补集及综合应用
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.
知识点一全集
思考老和尚问小和尚：“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？”小和尚说：“我从旁边绕过去.”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？小和尚设定的运动方向共有哪些？
答案老和尚设定的运动方向只有2个：前进，后退.小和尚偷换了前提：运动方向可以是四面八方任意方向.
梳理
思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？
答案剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}.
梳理
类型一求补集
例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于()
A.{x|0<x<2}
B.{x|0≤x<2}
C.{x|0<x≤2}
D.{x|0≤x≤2}
答案C
解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.
(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.
解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}.
(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).
解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.
反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.
跟踪训练1(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.
答案{3,4,5}
(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.
答案{x|－1<x<2}
(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.
答案{(x，y)|xy≤0}
类型二补集性质的应用
命题角度1补集性质在集合运算中的应用
例2已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.
而∁U B＝{－1,0,2}，
∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}.
反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝∅，(∁U A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.
跟踪训练2如图所示的V enn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
答案 {x |0≤x ≤1或x ＞2}
解析 A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，
由图可得A *B ＝∁(A ∪B )(A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}.
命题角度2 补集性质在解题中的应用)
例3 关于x 的方程：x 2＋ax ＋1＝0，①
x 2＋2x －a ＝0，②
x 2＋2ax ＋2＝0，③
若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围.
解 假设三个方程均无实根，则有
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝a 2－4<0，Δ2＝4＋4a <0，
Δ3＝4a 2－8<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a <－1，－2<a < 2. 解得－2<a <－1，
∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，
即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}.
反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤：(1)把已知的条件否定，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数的取值范围；(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集.
跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.
解 假设集合A 中含有2个元素，
即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98，且a ≠0， 则集合A 中含有2个元素时，实数a 的取值范围是
{a |a <98
且a ≠0}. 在全集U ＝R 中，集合{a |a <98
且a ≠0}的补集是 {a |a ≥98
或a ＝0}， 所以满足题意的实数a 的取值范围是{a |a ≥98
或a ＝0}. 类型三 集合的综合运算
例4(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于() A.{3} B.{4}
C.{3,4}
D.∅
答案A
解析∵∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴∁U B＝{3,4}，
A中必有3，可以有1,2，一定没有4.
∴A∩(∁U B)＝{3}.
(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________.
答案a≥2
解析∵∁R B＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁R B)＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴.
跟踪训练4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁U B)＝{4,9}，则B等于()
A.{1,2,3,6,7}
B.{2,5,6,8}
C.{2,4,6,9}
D.{2,4,5,6,8,9}
答案B
解析根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.
(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B).
解如图所示.
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，
∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}.
A∩B＝{x|－2<x≤2}，
∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}.
1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于()
A.U
B.{1,3,5}
C.{3,5,6}
D.{2,4,6}
答案C
2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()
A.{1,3,4}
B.{3,4}
C.{3}
D.{4}
答案D
3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于()
A.{x|－2<x≤1}
B.{x|x≤－4}
C.{x|x≤1}
D.{x|x≥1}
答案C
4.设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是()
A.Z∪∁U N
B.N∩∁U N
C.∁U(∁U∅)
D.∁U Q
答案A
5.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于()
A.{1,2,3}
B.{1,3,5}
C.{1,4,5}
D.{2,3,4}
答案B
1.全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.
(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.
课时作业
一、选择题
1.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()
A.{1,2,4}
B.{2,3,4}
C.{0,2,4}
D.{0,2,3,4}
答案 C
解析 ∁U A ＝{0,4}，所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}，选C.
2.已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－4≤0}，则∁U M 等于( )
A.{x |－2<x <2}
B.{x |－2≤x ≤2}
C.{x |x <－2或x >2}
D.{x |x ≤－2或x ≥2} 答案 C
解析 ∵M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴∁U M ＝{x |x <－2或x >2}.
3.已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( )
A.0或2
B.0
C.1或2
D.2 答案 D
解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2. 4.图中的阴影部分表示的集合是( )
A.A ∩(∁U B )
B.B ∩(∁U A )
C.∁U (A ∩B )
D.∁U (A ∪B ) 答案 B
解析 阴影部分表示集合B 与集合A 的补集的交集.
因此，阴影部分所表示的集合为B ∩(∁U A ).
5.已知U 为全集，集合M ，N ⊆U ，若M ∩N ＝N ，则( )
A.∁U N ⊆∁U M
B.M ⊆∁U N
C.∁U M ⊆∁U N
D.∁U N ⊆M 答案 C
解析 由M ∩N ＝N 知N ⊆M .∴∁U M ⊆∁U N .
6.设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( )
A.∅
B.{2}
C.{5}
D.{2,5}
答案 B
解析 因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，
所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}.
二、填空题
7.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}
解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}.∁U A＝{x|x>0}，∁U B＝{x|x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|0<x<1}.
8.若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁U A.(填“∈”或“∉”)答案∈
解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，
∴(－1,1)∈∁U A.
9.设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值范围是________.
答案a≤1
解析∁U A＝{x|x≤1}，
∵(∁U A)∪B＝R，∴B⊇{x|x>1}，
∴a≤1.
10.若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________.
答案{x|x≤1或x>2}
解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，
∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}.
三、解答题
11.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.解∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴∁U A＝{x|x<1或x>2}.
又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，
可得A⊆B.
而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，
∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.
借助于数轴
可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}.
12.已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁U A)＝∅，求实数m的值.
解A＝{－1,2}，B∩(∁U A)＝∅等价于B⊆A.
当m＝0时，B＝∅⊆A；
当m≠0时，B＝{－1
m}.
∴－1m ＝－1，或－1m ＝2，即m ＝1或m ＝－12
. 综上，m 的值为0,1，－12
. 13.设全集为R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x |4<x <10}.
(1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；
(2)若C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围.
解 (1)∵A ∪B ＝{x |3<x <10}，
∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥10}.
又∵∁R A ＝{x |x ≤3或x ≥7}，
∴(∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}.
(2)∵A ∩C ＝A ，∴A ⊆C .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4≥7，a －4≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥3，a ≤7⇒3≤a ≤7. ∴a 的取值范围为{a |3≤a ≤7}.
四、探究与拓展
14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.(∁I A ∩B )∩C
B.(∁I B ∪A )∩C
C.(A ∩B )∩(∁I C )
D.(A ∩∁I B )∩C
答案 D
解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .
15.设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝{(x ，y )|y －3x －2
＝1}，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，求∁U (M ∪P ). 解 集合M 表示的是直线y ＝x ＋1上除去点(2,3)的所有点，集合P 表示的是不在直线y ＝x ＋1上的所有点，显然M ∪P 表示的是平面内除去点(2,3)的所有点，故∁U (M ∪P )＝{(2,3)}.。