微分几何 1.3 空间曲线

γ
P
β
α
3、2 、
2
空间曲线的基本三棱形
dr ，称为曲 ds
ɺ 1、给出 C 类曲线 r = r (s ) 得一单位向量 α = r = 、
ɺ α =1⇔ α ⊥α ） 单位切向量。 线（C）上 P 点的单位切向量 （ 注意到 单位切向量
称
ɺ α ɺɺ r β= = ɺ α ɺɺ r
为曲线在 P 点的主法向量 主法向量,它垂直于单位切向量。 主法向量 称 γ = α × β 为曲线在 P 点的付法向量 付法向量。 付法向量 把两两正交的单位向量 α , β , γ 称为曲线在 P 点的伏雷内 （Frenet)标架。
（一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度） 2、曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 、曲率的几何意义 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。
ɺ = lim ∆ψ 3、挠率 与曲率类似有 γ 、 ∆s →0 ∆s
ɺɺ α ɺ ɺ r α β= = = ɺɺ α ɺ k (s ) r
于是有
ɺ α = k (s) β
β = −k ( s )α + τ ( s )γ γɺ = −τ (s ) β
ɺ
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式 伏雷内（ 公式。它的系 伏雷内 公式 数组成一反称方阵 k ( s) 0 0 τ ( s) 0 − k ( s) 0 − τ ( s) 0
•
β
定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中 心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。
7、几个例题 、 例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。 例2 曲率恒为零的曲线是直线。 例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。 例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。 解 由题意，可设曲线为园柱螺线 r = {a cosθ , a sin θ , bθ } 因此
R
因为向量 r ′(t0 )和 PQ 都在平面 σ 上，所以它们的 O 线性组合 22 [ PQ − r ′(t0 )∆t ] = r ′′(t0 ) + ε 也在平面 σ 上。
∆t
两边取极限得 r ′′(t0 )在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此 只要 r ′(t ) × r ′′(t ) ≠ 0 这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。 密切平面方程为 ( R − r (t0 ), r ′(t0 ), r ′′(t0 )) = 0
所以
2 3 ds ɺɺ ds ɺ d 2 s ɺ ɺɺ ds ɺ r ′ × r ′′ = r × r + r 2 = r × r , dt dt dt dt
ɺ ɺɺ ds sin θ = k r ′ 3 ( r = 1, r ⊥ ɺɺ) ɺ ɺ r 因此 r ′ × r ′′ = r r dt r ′ × r ′′ 由此得到曲率的一般参数的表示式 k = 3 r′
γ
β
α
（3）曲率与挠率之比为一个常数。
可以证明，上面的结论也是充分的。 3、一般螺线的一种标准方程 设柱面的母线平行于 z 轴，则可令 方程为 r = r (s )
β ⋅ p = 0 ⇒ β ⋅ p = 0 ⇒ (−κα + τγ ) ⋅ p = 0 κ − κ cos ω ± τ sin ω = 0 ⇒ = ± tan ω (常数) τ
3、5 空间曲线论的基本定理 、
曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关， 但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 k = k ( s ),τ = τ ( s ) 称为 空间曲线的自然方程。 空间曲线论基本定理 给出闭区间[s0,s1]上的两个连续函数 φ ( s ) > 0, ψ (s) ,则除了空 间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线 的自然参数，并且φ (s) 和ψ (s ) 分别为曲线的曲率和挠率，即曲 线的自然方程为 k = ϕ ( s ),τ = ψ ( s )
5、曲率和挠率的一般参数表示式 、
给出 C 3 类的曲线（C）：
dr ds ɺ ds ds =r ⇒ = r ′. ds dt dt dt 2 2 2 ɺ ds 2 ds ɺ d s dr d s ɺɺ ds ɺ d 2 s ɺ ɺ r ′′ = (r )′ + r 2 = + r 2 = r + r 2 , dt dt ds dt dt dt dt r = r (t ) , r ′ =
4、例题 P34ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、
3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式 、 空间曲线的曲率，
设空间曲线（C）为 C 3 的，且以 s 为参数。 1、曲率 定义（C）在 P 为的曲率为 、
∆ϕ k ( s ) = lim ∆s →0 ∆s
有 k (s ) = α
•
P α (s) P ∆ϕ 1 α ( s + ∆s )
近似曲线在三个平面上的投影分别为
2 2τ 0 3 ξ = 0, ζ 2 = η ， 即在法平面上的投影为半立方抛物线； 9κ 0 1 η = 0, ζ = κ 0τ 0ξ 3 , 在从切平面上为立方抛物线； 6 1 ζ = 0,η = κ 0ξ 2 , 在密切平面上为抛物线。 2
通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线 在一点邻近的近似形状： 1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。 2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的 几何意义。 3、挠率的符号对曲线的影响见表。
第三节
空间曲线
r ′(t0 )
3、1 空间曲线的密切平面 、 1、定义 过空间曲线上 P 点的 、 切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平 面 σ ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时， 平面 σ 的极限位置 π 称为曲线 在 P 点的密切平面。 对于 c 类的曲线上任一正常点处的
2
P(t0 )
Q(t0 + ∆t )
0 2! 0 3! 0
= α 0 ∆s + 2 κ 0 β 0 (∆s )
1
2
r ( s0 + ∆s ) r ( s0 )
2 ɺ + 1 6 (−κ 0 α 0 + κβ 0 + κ 0τ 0γ 0 + ε )(∆s ) 3
O
≈ α 0 ∆s + 1 2 κ 0 β 0 (∆s ) 2 + 1 6 κ 0τ 0γ 0 (∆s ) 3
a b 4 25 =4 , 2 =5⇒ a = , b= . 2 2 2 a +b a +b 41 164
得所求园柱螺线为
4 4 25 r = { cosθ , sin θ , θ} 41 41 164
3、4 空间曲线在邻近一点的结构 给定 C 3类曲线 r = r (s ) 及其上一点 r ( s0 ) 有 r ( s0 + ∆s ) − r ( s0 ) α ɺ = r ( s )∆s + 1 ɺɺ( s )(∆s ) 2 + 1 (ɺɺɺ( s ) + ε )(∆s )3 r r
⋅
p = e3 ，再设一般螺线的
α ⋅ p = cos ω ⇒ α ⋅ e3 = cos ω
dx dy dz dz { , , } ⋅ {0,0,1} = cos ω ⇒ = cos ω ds ds ds ds
若令 z=0 , s=0 , 则 z = s cos ω 于是一般螺线的方程为
r = {x( s ), y ( s ), s cos ω }
ɺ α = k ( s) β , γɺ = (α × β )⋅ ɺ ɺ = k (s)β × β + α × β = α × β
γ (s + ∆s) γ (s) ∆ψ
γ (s + ∆s)
⇒ γɺ ⊥ α , γ ⊥ γɺ .( γ = 1) ⇒ γɺ // β .
定义 曲线（C）在 P 点的挠率为 + γɺ , 当 γɺ 和 β 异向,
R
O
密切平面是最贴近于曲线的切平面。
2、密切平面的方程 、 给出 C 2 类的曲线（C）： = r (t ) r 有
PQ = r (t0 + ∆t ) − r (t0 ) = r ′(t0 )∆t + 1 (r ′′(t0 ) + ε )∆t 2 2
r ′(t0 )
P (t0 )
Q (t0 + ∆t )
τ (s) =
− γɺ ,当 γɺ 和 β 同向.
挠率的绝对值是曲线的付法向量对于弧长的旋转速度。
4、由定义可得 、
γɺ = −τ (s ) β
ɺ 又 β = (γ × α ) • = γ × α + γ × α = −τ ( s ) β × α + γ × k ( s ) β ɺ ɺ = −k ( s)α + τ ( s )γ
3
ɺ ɺ 由 β ⋅ γ = 0 ⇒ β ⋅ γ = −γ ⋅ β = τβ ⋅ β = τ
ɺ = (α × β ) ⋅ ( 1 α )⋅ ɺ τ = γ ⋅β
κ
ɺ ɺ = (α × α ) ⋅ (( ) α +
1
1
⋅
κ
κ
⋅
1
κ
ɺ αɺ)
ɺ = (r × =
1
κ
2
ɺɺ)[( ) ɺɺ + ɺɺɺ] r r r
用 R = { X , Y , Z } 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为
X − x(t0 ) Y − y (t0 ) Z − z (t0 ) x′(t0 ) y′(t0 ) z ′(t0 ) = 0 x′′(t0 ) y′′(t0 ) z ′′(t0 )
如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。 例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。
取 [r ( s0 );α 0 , β 0 , γ 0 ] 为新坐标系，并取 r ( s0 ) 为计算弧长的始点， 则有 s0 = 0, ∆s = s 。设 ξ ,η , ζ 为曲线上点 r ( s0 )的邻近点的新坐 标，则有 ξ =s
η = 12 κ 0 s 2 ζ = 1 6 κ 0τ 0 s 3
3、6 一般螺线
1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。 2、性质： （1）主法线与一个固定方向垂直。 证明：设 p 是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固
α ⋅ p = cos ω ɺ 微商 α ⋅ p = 0 ⇒ κβ ⋅ p = 0
定角 ω ，有
⇒
β⋅p=0
p
（2）、副法线与一个固定方向作固定角。
1
1
κ
κ
ɺr r (r , ɺɺ, ɺɺɺ)
κ
6
ɺr r r ′ (r , ɺɺ, ɺɺɺ) = (r ′ × r ′′) 2
可得挠率公式为
(r ′, r ′′, r ′′′) τ= (r ′ × r ′′) 2
6、密切园（曲率园） 密切园（曲率园） 密切园
P 1
k
C
过曲线（C）上一点 P 的主法线 的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以 C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确
2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法 、 平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成 的图形叫做曲线的基本三棱形。 3、对于曲线（C）的一般参数表示 、
r = r (t ), 有
r′ r ′ × r ′′ (r ′ ⋅ r ′)r ′′ − (r ′ ⋅ r ′′)r ′ α = ,γ = , β = γ ×α = r′ r ′ × r ′′ r ′ r ′ × r ′′