高二数学 递推法(迭代法)求数列通项

1 高考数学

递推法（迭代法）求数列通项（带解析）

例1、设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()()

22*11n+10n n n n a na a a n N ++-+=∈，求数列的通项公式.

解：由题意知11,0n a a =>，将条件变形，得()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦，

又0n a >，得10n n a a ++≠，所以11n n n a a n +=

+，即11n n a n a n +=+，到此可采用: 法一（递推法）：121112121112n n n n n n n n a a a a n n n n n -------=

=⋅==⋅⋅⋅--L L ，从而1n a n =. 法二（叠成法）：12121121,12n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-L L 所以1n a n

= . 法三（构造法）：由11n n a n a n +=+，得()1n+11n n

a na +=，故{}n na 是常数列，1111,n n na a a n =⨯=∴=. 点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件

()1n n a f n a -=求通项的题型；解法三是构造法（简单+经典），根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想.

例2、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．

解：由已知，得（两边除以1n 3+），得

1n n n 1n 1n 31323a 3a +++++=，即1n n n 1n 1n 31323a 3a ++++=-， 故11221122111()()()333333n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+L 122121213()()()3333

333n n -=+++++++L 1)3

131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=--Λ， ∴n 1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23

a ⋅-+=+--⋅+-=-，即213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅= 练习：已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +=-=，求通项公式n a .（尝试叠加法）

解：由已知，得()()()12112n n n a a n a n n --=+-=+-+-

()()()21n n-1n n+2121122

a n n -==+-+-++=+=L L ．