第七章季节性时间序列分析方法

(7.2.5b)
刻画同年不同月的资料之间的相关关系。
这种模型最早用于国际航运资料，故也称为 Airline 模
型，是一个应用最广的季节模型。
2. (1 B12 ) Xt (11B)(112B12 )at 模型由两个模型组合而成。
(7.2.6)
(1) (1 B12 ) Xt (112B12 )et
第二节 乘积季节模型
一、乘积季节模型的一般形式
在随机季节模型
U
(
B
S
)
D S
X
t
V (BS )et
(7.1.6)
中，由于et 不是独立的，因此不妨假设et 适合一个
ARIMA(n,d,m)：(B)det (B)at ，
(7.2.1)
这里at 为白噪声序列。在（7.1.6）式两端同乘以(B)d ，得
3. (1 BS ) Xt C (11B)(1S BS )at 4. (1 B) Xt (1S BS )at 5. (1 BS ) Xt (1S BS )at 6. (11B)(1 BS ) Xt (1S BS )at 7. (11BS ) Xt C (11B)at 8. (1 BS )2 Xt C 2S (B)at
第三节 季节时序模型的建立
积型季节模型的识别、定阶、参数估计及适应性检验，
基本上也是以随机序列的样本自相关、偏自相关函数为依据
的。
一、季节性 MA 模型的自相关函数
季节性 MA 模型：假定某一季节性时间序列的季节性，
即各周期点之间的相关性表示为： Xt (1S BS )et , (7.3.1)
而et 又适合一个 MA(1)模型：
ARIMA 模型是乘积季节模型的一个特例。
二、常用的随机季节模型
1. (1 B12 )(1 B) Xt (11B)(112B12 )at 模型由两个模型组合而成。
(7.2.5)
(1) (1 B12 ) Xt (112B12 )et
(7.2.5a)
只考虑不同年份同月的资料之间的相关关系。
(2) (1 B)et (11B)at
(
B
S
)
D S
则描述不同周期的同一周期点上的
相关关系。二者结合起来便同时刻画了两个因素的作用。另
一方面，从（7.2.3）式结构形式上看，它是随机性季节模型
与 ARIMA 模型的结合式，故称为乘积季节模型，其阶数用
(n, d, m) ( p, d, q)S 来表示。
将（7.2.3）式展开，则可得到一般的 ARIMA 模型。例如
对于阶数为(1,0,1) (0,0,1)S 的乘积季节模型
(1 B) Xt (11B)(1 v1BS )at ，
展开得
(1 B) Xt (11B v1BS 1v1BS1)at 。
上式是一个(0,1, S 1)阶的 ARIMA 模型，且系数中有许多为零，
即1 1, 2 S1 0, S v1, S1 1v1。可见，尽管模型的 阶 数 很 高 ， 但 除 了 1, S , S1 外 ， 其 他 系 数 均 为 零 ， 而 且 S1 1v1，所以实际上只有两个自由参数。故乘积季节模型 也称为疏系数模型。
第七章 季节性时间序列分析方法
第一节 简单随机时序模型 一、季节时间序列 定义 在一个时间序列中，若经过 S 个时间间隔后呈 现出相似性，就说该序列具有以 S 为周期的周期特性。具 有周期特性的序列就称为季节性序列。S 为周期长度，一 个周期内所包含的时间点称为周期点。 有的时间序列可能同时含有长度不同的若干周期。通 常根据周期长度及其作用程度称之为主周期、谐波、次谐 波等。
记Wt (1 BS )D Xt ，则百度文库
一阶自回归季节模型 Wt 1WtS et ，或(11BS )Wt et
还原为 Xt 序列，有
(1
1B
S
)
D S
X
t
et
一阶移动平均季节模型 Wt et 1etS ，或Wt (11BS )et
还原为 Xt 序列，有
D S
X
t
(11BS )et
一般的季节性 ARMA 模型 U (BS )Wt V (BS )et
et (11B)at , (7.3.2)
则得到一个周期为 S 的季节性 MA(1)模型，即(0,0,1)(0,0,1)S
模型
Xt (11B)(1S BS )at
(7.3.3)
Xt (11B)(1S BS )at 将（7.3.3）式展开，可得
(7.3.3)
Xt at 1at1 S atS 1S atS1
对于季节性时间序列通常按周期进行重新排列，得到 一个以周期点为行、以周期为列的二维表（见 P182 表 7.1 和表 7.2）。这样做不仅有助于加深理解序列的周期特性， 而且有助于形成建模思想和理解季节模型的结构。
二、随机季节模型 在确定性时序分析中，常用的处理方法是对季节时间 序列的季节分量拟合一个三角函数模型或求一个固定的 季节指数。随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周 期之间相关关系的拟合。 如周期为 12 个月的月份资料，就是研究不同年份的 同一个月份的观察值之间的记忆性。
或
U
(
BS
)
D S
X
t
V (BS )et
其中
U (BS ) 1 u1BS V (BS ) 1 v1BS
up B pS vq BqS
et 内容与性质： (1) et 是原序列消除了不同周期的同一周期点之间相关 部分（即季节分量）之后的剩余序列。 (2) et 不一定相互独立。这是因为同一周期的不同周期点 之间也可能有一定的相关关系。因此季节性模型有一定的不 足，在一定程度上讲，它是一个不完备的模型。
(
B)U
(
B
S
)d
D S
X
t
V (BS )(B)det
(7.2.2)
根据（7.2.1）式，即有
(
B)U
(
B
S
)
d
D S
X
t
V (BS )(B)at
(7.2.3)
(
B)U
(
B
S
)
d
D S
X
t
V (BS )(B)at
(7.2.3)
在（7.2.3）中，(B)d Xt 仅表示同一周期内不同周期点
的相关关系；而U
(7.2.6a)
只考虑不同年份同月的资料之间的相关关系。
(2) et (11B)at
(7.2.6b)
表示同年不同月之间几乎不存在依赖关系，但受前一期
扰动的影响。即时间序列资料消除了季节因素之后适合于一
个 MA(1)模型。
更一般的是模型（7.2.5）和（7.2.6）中的周期长度 12
可以用 S 替代。