人教新课标版数学高一A版必修2导学案 2.2.4平面与平面平行的性质

2．2.4 平面与平面平行的性质

1．理解并能证明两个平面平行的性质定理．

2．能利用性质定理解决有关的平行问题．

文字

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线____ 语言

图形

语言

符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b______

作用证明两条直线____

平面与平面平行的性质：①如果两个平面平行，那么它们没有公共点；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(实质上是直线与平面平行的判定定理)．

【做一做】如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC.求证：AD＝BC.

答案：平行a∥b平行

【做一做】证明：∵AD∥BC，∴AD与BC确定一个平面γ.

∵α∥β，α∩γ＝AB，β∩γ＝DC，∴AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD＝BC.

1．理解面面平行的性质定理

剖析：(1)面面平行的性质定理的条件有三个：

①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.

三个条件缺一不可．

(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知该定理可用来证明线线平行．

(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．

空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

2．记忆口诀

剖析：有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线．

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

若与三面都相交，则得两条平行线．

题型一：证明直线与直线平行

【例1】 如图，已知α∥β，点P 是平面α，β外的一点，直线PAB ，PCD 分别与α，β相交于点A ，B 和C ，D.

求证：AC ∥BD.

反思：证明线线平行的方法

(1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行． (2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．

(3)线面平行的性质定理：

⎭

⎬⎫a ∥α

a ⊂βα∩β＝

b a ∥b ，应用时题目条件中需有线面平行．

(4)面面平行的性质定理：

⎭

⎪⎬⎪⎫α∥β

α∩γ＝a β∩γ＝b a ∥b ，应用时题目条件中需有面面平行，如本

题．

(5)反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而证明两条直线应当是平行的． 题型二：证明直线和平面平行

【例2】 如图，正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，点E 在AB ′上，点F 在BD 上，

且B ′E ＝B F .求证：E F ∥平面BB ′C ′C.

反思：证明线面平行的方法主要有三种：

(1)应用线面平行的定义；

(2)应用线面平行的判定定理，如本题证法一；

(3)应用面面平行的性质，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”如本题证法二．

应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．

答案：【例1】 证明：∵PB ∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，∴AC ∥BD . 【例2】

证明：证法一：连接AF 并延长交BC 于点M ，连接B ′M .如图所示．

∵AD ∥BC ， ∴△AFD ∽△MFB . ∴AF MF ＝DF BF

. 又∵BD ＝B ′A ，B ′E ＝BF ， ∴DF ＝AE ，∴AF FM ＝AE

EB ′，

∴EF ∥B ′M .又EF

平面BB ′C ′C ，B ′M

平面BB ′C ′C ，

∴EF ∥平面BB ′C ′C .

证法二：作FH ∥AD 交AB 于H ，连接HE .如图所示． ∵AD ∥BC ，∴FH ∥BC . 又FH

平面BB ′C ′C ，BC

平面BB ′C ′C ，

∴FH ∥平面BB ′C ′C . 由FH ∥AD ，可得BF BD ＝BH

BA

，

又BF ＝B ′E ，BD ＝AB ′，∴B ′E B ′A ＝BH

BA .

∴EH ∥B ′B . 又EH

平面BB ′C ′C ，B ′B

平面BB ′C ′C ，

∴EH ∥平面BB ′C ′C .又EH ∩FH ＝H ， ∴平面FHE ∥平面BB ′C ′C . 又∵EF

平面FHE ，∴EF ∥平面BB ′C ′C .

1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m ，n ，则m ，n 的位置关系是( ) A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．平行或异面 2．九棱柱的两底面为α和β，且A ∈α，B ∈α，C ∈β，D ∈β，且AD ∥BC ，则AB 与CD 的位置关系是__________．

3．如图所示，两条异面直线AB ，CD 与三个平行平面α，β，γ分别相交于A ，E ，B 及C ，F ，D ，又AD ，BC 与平面β的交点为H ，G.

求证：四边形EH F G 为平行四边形．

4．已知a ，b 是异面直线，求证：过a 平行于b 的平面必平行于过b 平行于a 的平面． 5．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABE F 不在同一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 的中点，求证：PQ ∥平面CBE.