关系运算关系演算

2.4 关系运算(二)——关系演算

关系代数是将整个关系看作变元，并以其作为基本运算单位，同时以集合方法为关系运算的理论基础。如果将组成关系的基本成分例如元组或者属性域看作变量，以其作为基本运算单位，同时以数理逻辑中谓词演算为相应关系演算的理论基础，就得到了另外一种形式的关系数据语言——关系演算。

关系演算基于谓词演算。在谓词演算中，如果谓词中的变元是关系中的元组，则得到所谓元组关系演算；如果谓词中的变元是关系中的属性域，则得到所谓域关系演算。这样，关系演算就分为元组关系演算和域关系演算两类。

在 2.4节和2.5节，均以本章 2.3.4节中的关系数据库{S,C,SC}为背景举例。这里S (S#,Sn,Sex,Sa,Sd)；C (C#,Cn,P#,Tn)；SC (S#,C#,G)，其中各个属性的含义见2.3.4节。

2.4.1 元组关系演算

如果在一阶谓词演算表达式中，变量是以元组为演算单位，就称其为元组关系演算(Tuple Relation Calculus)，其中元组变量表示关系中的元组，变量取值范围是整个关系。

1. 关系的元组演算表示

(1) 关系与谓词的对应

为了得到关系操作的元组关系演算表达式，需要考虑关系与谓词的联系。

z由关系R确定的谓词P

在数理逻辑中我们知道，关系可用谓词表示，n元关系可以由n元谓词表示。

设有关系R，它有元组(r1,r2,…,r m)，定义关系R对应如下一个谓词

P (x1,x2, …,x n)。

当t =(r1,r2, …,r m)属于R时，t为P的成真的真值指派，而其他不在R中的任意元组t则是P 的成假指派。即是说，由关系R定义一个谓词P具有如下性质：

P(t) = T (当t在R中)；

P(t) = F (当t不在R中)。

z由谓词P表示关系R

由于关系代数中R是元组集合，一般而言，集合是可以用满足它的某种特殊性质来刻画与表示。如果谓词P表述了关系R中元组的本质特性，就可以将关系R写为：

R={t | P(t)}

这个公式就建立了关系(元组集合)的谓词表示，称之为关系演算表达式。

(2) 元组关系演算表达式

元组关系演算表达式的严格数学描述是由“归纳定义”方式完成的。按照通常的思路，元组演算表达式是由“关系演算公式”组成；“关系演算公式”是由“原子公式”组成。

①原子公式

下述三类称为元组演算原子公式，简称原子公式：

z谓词R(t)是原子公式。

z u(i)θv(j)是原子公式。

z u(i)θa是原子公式。

其中，t =(r1,r2,…,r m)是P的成真指派；u(i)表示元组u的第i个分量，v(j)表示元组v的第j 个分量；a是常量，u(i)θa表示u的第i个分量与常量a有关系θ。

② 关系演算公式

利用原子公式可以递归定义关系演算公式：

z 原子公式是公式。

z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和¬φ1均是公式。

z

如果φ是公式，r 是φ中自由变元，则∃r(φ)，∀r(φ)是公式。

z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。

在公式中，各种运算的优先次序规定如下：

z 比较运算符：<、>、≤、≥、=、≠。 z

量词：、∀。

∃z 否定词：¬。

z 合取、析取、蕴含运算符：∧、∨、→。

③ 关系演算表达式

有了公式φ的概念，以公式φ作为特性就构成一个有若干元组组成的集合，即关系R ，这种形式的元组集合就称其为关系演算表达式。关系演算表达式的一般形式为： {t | φ(t)}

其中，φ(t)为公式，t 为φ中出现的自由变元。关系演算表达式也简称为关系表达式或者表达式。

2. 关系操作的元组演算表示

关系操作由5种基本操作，它们在关系代数中分别对应5种基本运算，这5种基本运算可以用一阶谓词演算中的公式表示。

设有关系R 、S ，其谓词表示为R(t)和S(t)，此时有

z R S={t | R(t)S(t)}；

∪∨z

R – S = (t | R(t)¬S(t))； ∧z

σF (R)= {t | R(t)F} ，其中F 是一个谓词公式； ∧z

(k)ui1,ui2,uik (R)={t |(u)R(u)∏∃…t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)t(k)=u(ik)}∧∧∧∧

其中t (k)所表示的元组有k 个分量，而t(i)表示t 的第i 个分量，u(j)表示u 的第j 个分量。

(r+s)R S={t |u v(R(u)S(v)t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)

t(r)=u(ir)t(r+1)=v(j1)t(r+2)=v(j2) t(r+s)=v(js))}

×∃∃∧∧∧∧∧∧∧∧∧

例2-20 查询计算机科学系(CS)全体学生

S cs ={t | S(t)∧t[5]= 'CS' }

例2-21 查询年龄大于20岁的学生姓名：

S 20={t | S(t)∧t[4]<20 }

例2-22 查询学生姓名和所在系：

S 1={t (2)| (∃u)(S(u)∧t[1]=u[2]∧t[1]=u[5] )

2.4.2 域关系演算

1. 关系的域演算表示

域关系演算(Domain Relation Calculus)简称为域演算，它是关系演算的另外一种形式。域关系和元组关系演算十分类似，这是因为它们都建立在谓词演算之上；两者又有区别，这

是因为有两点不同：其一是谓词变元的不同，元组演算以元组为变元，域演算以元组的分量即属性域为变元，而在实际上，人们就将关系的属性名视为域变元；其二是元组变元的变化范围为整个关系，而域变元的变化范围是某个属性域。域演算表达式的一般形式为：

{t 1,t 2,…,t k | P(t 1,t 2,…,t k )}

其中，t 1,t 2,…,t k 是域变量，P(t 1,t 2,…,t k )是域演算表达式。

为了揭示域演算表达式的语义，我们同样需要进行递归定义。

(1) 原子公式

下述三类称为域演算原子公式，简称原子公式：

z 如果R(t 1,t 2,…,t k )表示命题“以t 1,t 2,…,t k 为分量的元组在关系R 之中”，则R(t 1,t 2,…,t k )

是原子公式，其中，R 是k 元关系，t i 是t 的第i 个分量；

z t i θC 或者C θt i 是原子公式，其中t i 是元组变量的第i 个分量，C 是常量，θ是算数比较

符；

z t i θ u j 是原子公式，其中，t i 表示元组变量t 的第i 个分量，u j 表示元组变量u 的第j 个分

量，它们之间满足运算θ。

例如 t 1=>u 4表示t 的第一个分量大于等于u 的第四个分量。

(2) 域演算公式

域演算公式(简称为公式)可以递归定义如下：

z 原子公式是公式。

z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和¬φ1均是公式。

z

如果φ1是公式，∃t i (φl )，∀t i (φl )是公式。

z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。

例如φ(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=S(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)∧(x 5>21)∨¬x 4='M'是一个域演算公式。

域演算公式φ中变量的自由出现与约束出现、公式中自由变量x 的型T(x,φ)以及域演算合法公式、域常量带入公式的规则和公式的解释规则等均与元组演算类似。下面举例说明。

例2-23 设φ=z[Sex](S(x ∃1 x 2 z x 4 22))∧¬z='M'，则x 1，x 2，x 4在φ中为自由变量，x 3为约束变量。

例2-24 设φ=x ∃2[Sn ，Sex] y ∀1(C#)(S(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)∧x 5

例2-25 查询所有女生的S#、Sn ，Sex 、Sa 和Sd 。

{x 1[S#]x 2[Sn]x 3[Sex]x 4[Sa]x 5[Sd] | XS(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5) ∧x 3='F'}

例2-26 查询所有男生的S#、Sa 。

{x 1[S#]x 2[Sa] | ∃y 1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1，y 2，y 3，y 4，y 5))∧x 3='M' ∧y 1=x 1 y ∧4=x 2}

例2-27 查询所有年龄小于20岁的男生的S#、C#和G 。

{x 1[S#]x 2[C#]x 3[G] |y ∃1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1,y 2,y 3,y 4,y 5))∧x 3='M'∧y 4<20z ∧∃1z 2z 3 (XSC(z 1z 2z 3)z ∧1=y 1 z ∧2=x 2 z ∧3=x 3)y 2=x 1}

2.4.3 关系运算的安全性

1. 安全性问题的提出

对于任何一个计算机系统来说，它都要受到两个“有限”的制约：

z 系统的存储容量是有限的，它不可能存储无限关系。这里所说的“无限关系”是指

元组个数为无限的关系。