关系运算关系演算

2.4 关系运算(二)——关系演算
关系代数是将整个关系看作变元，并以其作为基本运算单位，同时以集合方法为关系运算的理论基础。

如果将组成关系的基本成分例如元组或者属性域看作变量，以其作为基本运算单位，同时以数理逻辑中谓词演算为相应关系演算的理论基础，就得到了另外一种形式的关系数据语言——关系演算。

关系演算基于谓词演算。

在谓词演算中，如果谓词中的变元是关系中的元组，则得到所谓元组关系演算；如果谓词中的变元是关系中的属性域，则得到所谓域关系演算。

这样，关系演算就分为元组关系演算和域关系演算两类。

在 2.4节和2.5节，均以本章 2.3.4节中的关系数据库{S,C,SC}为背景举例。

这里S (S#,Sn,Sex,Sa,Sd)；C (C#,Cn,P#,Tn)；SC (S#,C#,G)，其中各个属性的含义见2.3.4节。

2.4.1 元组关系演算
如果在一阶谓词演算表达式中，变量是以元组为演算单位，就称其为元组关系演算(Tuple Relation Calculus)，其中元组变量表示关系中的元组，变量取值范围是整个关系。

1. 关系的元组演算表示
(1) 关系与谓词的对应
为了得到关系操作的元组关系演算表达式，需要考虑关系与谓词的联系。

z由关系R确定的谓词P
在数理逻辑中我们知道，关系可用谓词表示，n元关系可以由n元谓词表示。

设有关系R，它有元组(r1,r2,…,r m)，定义关系R对应如下一个谓词
P (x1,x2, …,x n)。

当t =(r1,r2, …,r m)属于R时，t为P的成真的真值指派，而其他不在R中的任意元组t则是P 的成假指派。

即是说，由关系R定义一个谓词P具有如下性质：
P(t) = T (当t在R中)；
P(t) = F (当t不在R中)。

z由谓词P表示关系R
由于关系代数中R是元组集合，一般而言，集合是可以用满足它的某种特殊性质来刻画与表示。

如果谓词P表述了关系R中元组的本质特性，就可以将关系R写为：
R={t | P(t)}
这个公式就建立了关系(元组集合)的谓词表示，称之为关系演算表达式。

(2) 元组关系演算表达式
元组关系演算表达式的严格数学描述是由“归纳定义”方式完成的。

按照通常的思路，元组演算表达式是由“关系演算公式”组成；“关系演算公式”是由“原子公式”组成。

①原子公式
下述三类称为元组演算原子公式，简称原子公式：
z谓词R(t)是原子公式。

z u(i)θv(j)是原子公式。

z u(i)θa是原子公式。

其中，t =(r1,r2,…,r m)是P的成真指派；u(i)表示元组u的第i个分量，v(j)表示元组v的第j 个分量；a是常量，u(i)θa表示u的第i个分量与常量a有关系θ。

② 关系演算公式
利用原子公式可以递归定义关系演算公式：
z 原子公式是公式。

z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和¬φ1均是公式。

z
如果φ是公式，r 是φ中自由变元，则∃r(φ)，∀r(φ)是公式。

z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。

在公式中，各种运算的优先次序规定如下：
z 比较运算符：<、>、≤、≥、=、≠。

z
量词：、∀。

∃z 否定词：¬。

z 合取、析取、蕴含运算符：∧、∨、→。

③ 关系演算表达式
有了公式φ的概念，以公式φ作为特性就构成一个有若干元组组成的集合，即关系R ，这种形式的元组集合就称其为关系演算表达式。

关系演算表达式的一般形式为： {t | φ(t)}
其中，φ(t)为公式，t 为φ中出现的自由变元。

关系演算表达式也简称为关系表达式或者表达式。

2. 关系操作的元组演算表示
关系操作由5种基本操作，它们在关系代数中分别对应5种基本运算，这5种基本运算可以用一阶谓词演算中的公式表示。

设有关系R 、S ，其谓词表示为R(t)和S(t)，此时有
z R S={t | R(t)S(t)}；
∪∨z
R – S = (t | R(t)¬S(t))； ∧z
σF (R)= {t | R(t)F} ，其中F 是一个谓词公式； ∧z
(k)ui1,ui2,uik (R)={t |(u)R(u)∏∃…t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)t(k)=u(ik)}∧∧∧∧
其中t (k)所表示的元组有k 个分量，而t(i)表示t 的第i 个分量，u(j)表示u 的第j 个分量。

(r+s)R S={t |u v(R(u)S(v)t(1)=u(i1)t(2)=u(i2)
t(r)=u(ir)t(r+1)=v(j1)t(r+2)=v(j2) t(r+s)=v(js))}
×∃∃∧∧∧∧∧∧∧∧∧
例2-20 查询计算机科学系(CS)全体学生
S cs ={t | S(t)∧t[5]= 'CS' }
例2-21 查询年龄大于20岁的学生姓名：
S 20={t | S(t)∧t[4]<20 }
例2-22 查询学生姓名和所在系：
S 1={t (2)| (∃u)(S(u)∧t[1]=u[2]∧t[1]=u[5] )
2.4.2 域关系演算
1. 关系的域演算表示
域关系演算(Domain Relation Calculus)简称为域演算，它是关系演算的另外一种形式。

域关系和元组关系演算十分类似，这是因为它们都建立在谓词演算之上；两者又有区别，这
是因为有两点不同：其一是谓词变元的不同，元组演算以元组为变元，域演算以元组的分量即属性域为变元，而在实际上，人们就将关系的属性名视为域变元；其二是元组变元的变化范围为整个关系，而域变元的变化范围是某个属性域。

域演算表达式的一般形式为：
{t 1,t 2,…,t k | P(t 1,t 2,…,t k )}
其中，t 1,t 2,…,t k 是域变量，P(t 1,t 2,…,t k )是域演算表达式。

为了揭示域演算表达式的语义，我们同样需要进行递归定义。

(1) 原子公式
下述三类称为域演算原子公式，简称原子公式：
z 如果R(t 1,t 2,…,t k )表示命题“以t 1,t 2,…,t k 为分量的元组在关系R 之中”，则R(t 1,t 2,…,t k )
是原子公式，其中，R 是k 元关系，t i 是t 的第i 个分量；
z t i θC 或者C θt i 是原子公式，其中t i 是元组变量的第i 个分量，C 是常量，θ是算数比较
符；
z t i θ u j 是原子公式，其中，t i 表示元组变量t 的第i 个分量，u j 表示元组变量u 的第j 个分
量，它们之间满足运算θ。

例如 t 1=>u 4表示t 的第一个分量大于等于u 的第四个分量。

(2) 域演算公式
域演算公式(简称为公式)可以递归定义如下：
z 原子公式是公式。

z 如果φ1，φ2是公式，则φ1∧φ2，φ1∨φ2，φ1→φ2和¬φ1均是公式。

z
如果φ1是公式，∃t i (φl )，∀t i (φl )是公式。

z 所有公式由且仅由上述三种方式经过有限次操作生成。

例如φ(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=S(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)∧(x 5>21)∨¬x 4='M'是一个域演算公式。

域演算公式φ中变量的自由出现与约束出现、公式中自由变量x 的型T(x,φ)以及域演算合法公式、域常量带入公式的规则和公式的解释规则等均与元组演算类似。

下面举例说明。

例2-23 设φ=z[Sex](S(x ∃1 x 2 z x 4 22))∧¬z='M'，则x 1，x 2，x 4在φ中为自由变量，x 3为约束变量。

例2-24 设φ=x ∃2[Sn ，Sex] y ∀1(C#)(S(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)∧x 5<y 2)，这里x 1，x 3，x 4，x 5在φ中为自由出现，其他变量均为约束出现，并且有T(x1，φ)=d(S#)，T(x3，φ)=d(Sex)，T(x 5,φ)=d(Sa)，T(y 2,φ)=d(G)。

注意只有当d(Sa)=d(G)时，公式φ才是合理的。

2. 域演算举例
例2-25 查询所有女生的S#、Sn ，Sex 、Sa 和Sd 。

{x 1[S#]x 2[Sn]x 3[Sex]x 4[Sa]x 5[Sd] | XS(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5) ∧x 3='F'}
例2-26 查询所有男生的S#、Sa 。

{x 1[S#]x 2[Sa] | ∃y 1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1，y 2，y 3，y 4，y 5))∧x 3='M' ∧y 1=x 1 y ∧4=x 2}
例2-27 查询所有年龄小于20岁的男生的S#、C#和G 。

{x 1[S#]x 2[C#]x 3[G] |y ∃1y 2y 3y 4y 5(XS(y 1,y 2,y 3,y 4,y 5))∧x 3='M'∧y 4<20z ∧∃1z 2z 3 (XSC(z 1z 2z 3)z ∧1=y 1 z ∧2=x 2 z ∧3=x 3)y 2=x 1}
2.4.3 关系运算的安全性
1. 安全性问题的提出
对于任何一个计算机系统来说，它都要受到两个“有限”的制约：
z 系统的存储容量是有限的，它不可能存储无限关系。

这里所说的“无限关系”是指
元组个数为无限的关系。

z
系统的计算速度是有限的，在计算机上进行无限次运算是无法得到正确结果的，因为运算总是不会完结。

为了使关系运算能够在一个计算机系统中有效进行，应当避免上述两种情况的发生，需要对关系运算符加上必要的限制，采取一定措施。

在数据库技术中，称不出现无限关系和无限运算的关系运算过程是安全的，相应的关系运算表达式就称为是安全表达式，为了得到安全表达式所采取的措施称为安全性限制或安全性约束。

2. 关系运算中安全性分析
关系代数基于集合理论，关系演算基于数理逻辑，两者之间有着密切关系，这就使得我们可以有统一的观点来分析关系运算中的安全性问题。

在实际运算当中，人们实际上是自觉或不自觉地假定所涉及的初始对象是“有限”的，但这并不能自动得到运算过程或者运算结果就一定“不涉及”到无限。

例如在集合运算中，即使初始集合是“有限”的，但如果对其进行“补”运算，有限集合的“补集”就有可能是无限集合。

在关系代数当中，任何一个关系代数表达式，只要是有限关系，由于其中只包含有限次代数运算，而这些运算只能是并运算、差运算、广义笛卡尔乘积运算、选择运算和投影运算5种基本运算，不存在集合的“补运算”，所以关系代数运算总是安全的。

在关系演算当中，尽管初始情形可以是有限的，也有可能出现无限关系的问题和无限运算的过程。

例如在元组关系演算表达式中，就有下述两种情况：
z 对于表达式{t| R(t)}，其语义是所有不在关系R 中的元组集合。

如果关系中某一
属性的定义域是无限的，则{t|¬¬R(t)}就是一个具有无限元组的集合，此时该式表示的关系就是一个无限关系的问题，要求出它的所有元组是不可能的。

z 另外，如果要判定表达式(∃t)(w(t))为假，必须对t 的所有可能取值进行验证，当且
仅当其中没有一个值为真时，才可判定该表达式为假，如果t 的取值范围是无穷的，则验证过程就是无限的。

由此可见，在关系演算中，必须要有安全限制的相应措施，方可保证关系演算表达式是安全的。

3. 关系演算中的安全性限制
对元组演算表达式进行安全性限制，通常的做法是对其中的公式φ进行限制。

对于φ来说，定义一个有限的符号集DOM(φ)，φ的符号集DOM(φ)由两类符号组成：
z φ中的常量符号。

z φ中涉及的所有关系的所有元组的各个分量。

由于DOM(φ)是有限集合，如果将关系演算限制在DOM(φ)上就是安全的，不会出现任何的无限问题。

一般认为，一个表达式{t | φ(t)}要成为安全的，其中的公式φ就应该满足下面三个条件： z 若t 满足公式φ，即t 使得φ为真，则t 的每个分量必须是DOM(φ)中的元素； z 对φ中每一个形为 (∃t)(w(t))的子公式，如u 满足W ，即u 使得w 为真，则u 的
每一个分量一定属于DOM(φ)；
z 对φ中每一个形为(t)(w (t))的子公式，如u 不满足W ，即u 使得w 为假，则u
的每一个分量一定属于DOM(φ)；也就是说，若u 的某个分量不属于DOM(φ)，则w(u)为真。

∀对于域关系演算的安全性，也可以做类似的讨论，这里从略。

2.4.4 关系代数、元组演算、域演算的等价性
关系代数和关系演算所依据的理论基础是相同的，因此可以进行相互间的转换。

在我们讨论元组关系演算时，实际上就研究了关系代数中5种基本运算与元组关系演算间的相互转换；在讨论域关系演算时，实际上也涉及了关系代数与域关系演算间的相互转换，由此可以知道，关系代数、元组关系演算、域演算三类关系运算是可以相互转换的，它们对于数据操作的表达能力是等价的。

结合安全性的考虑，经过进一步的分析，人们已经证明了如下重要结论：
z每一个关系代数表达式都有一个等价的安全的元组演算表达式。

z每一个安全的元组演算表达式都有一个等价的安全的域演算表达式。

z每一个安全的域演算表达式都有一个等价的关系代数表达式。

按照上述三结论，即得到关系代数、元组关系演算和域演算的等价性。