第4章随机变量的数字特征

合集下载

北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征

北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。

方浩概率强化讲义

A不独立 B独立 C 不相关但不一定独立 D相关
35
D x, y 0 x 1,| y | x 上服从均匀分布，
求随机变量Z 2X 1的方差D(Z ).
20
【例 4.14 】设 X 的分布律为
PX
k
2k 3k1
,k
0,1, 2
，求期望与方
差E X ,DX .
21
【例】设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分
布，则E X 2e2X ___
Xi
则(
)
25
(A)Cov
X1
,Y
2
n
(B)Cov X1,Y 2
(C)
D
X1
Y
n
n
2
2
(D)
D
X1
Y
n
n
1
2
26
【例】设随机变量 X ,Y 的概率密度为
f
x,
y
1,
0,
y x,0 x 1 其它
，
求
EX , EY ,Cov X ,Y
27
【例】随机变量 X ,Y 分别服从正态分布，
且 X 1,32 ，Y 0,42 ，且相关系数XY 0.5，
令Z X Y
32
（1）求E Z , D Z
（2）求 X , Z 的相关系数，别说明是否独立（3）求Z 的分布（4）随机变量2X Y 与 X Y 的相关系数
28
【例 4.12】设随机变量 X N 0,1,Y
且相关系数XY 1，则（）
EX ab
2
G p
D
X
(1
p) p2
U a,b

第四章随机变量的数字特征与特征函数

2
+
0
x 2 e x dx
+ 0
x e
2 x 0
2 xe x dx
+ 2 x x xe e dx 0 0 2 x 2 2 e 0 2
所以 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1/ 2
e dt 2
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.14已知随机变量 X ~ e( ) 。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 e x f ( x) 0
x0 x0
从而 E ( X )
© 徐钊 2013
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.10已知随机变量X的分布律为求方差 D( X ) 解： D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 pq
X pi
0
1
q
p
例4.11已知随机变量 X ~ P( ) 。求方差 D( X ).
P( X xk ) pk
k
k 1, 2, ,
k
连续型

设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
则 D( X ) ( x E( X )) f ( x)dx
2

x 2 f ( x)dx [ E ( X )]2
三、方差的意义随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度，是随机变量随机性的一种度量。
三、数学期望的性质 (1)设c为一个常数，则E (c) c; (2)设a为一个常数，则E (aX ) aE ( X ); (3)设X 为随机变量，g1 ( x), g 2 ( x)是实连续函数，则有 E ( g1 ( X ) g 2 ( X )) E ( g1 ( X )) E ( g 2 ( X ))

随机变量的数字特征

1 2 3 求E(Z)
-1 0 0.1 1
0.4 0.2 0.4
解:方法一：
(1) E(X)=1*0.4+2*0.2+3*0.4=2 E(Y)=-1*0.3+0*0.4+1*0.3=0
方法二：
(1)E(X)=0.2*1+0.1*2+0*0.3+0.1*1+0*2+0.3*3+0.1*1+0.1*2+0.1*3=2
E( X ) xk pk . k 1
E( X ) 0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 1 (元)
例题：有 5 个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk (k 1, 2,3,4,5) 服从同一指数分布，其概率密度为
f
(
x
)
1
e
x
/
,
x 0, 0.
0,
x 0,
1) 若将5个装置串联成整机，求整机寿命 N 的数学期望；
若 g(xk )pk 绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk .
k 1
2). X 是连续型随机变量，概率密度为 f (x),
若 g(x) f (x)dx 绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g(x) f (x)dx
(证明超过范围，略)
说明: 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求
E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可
以了.
Y x42
0
4
例: 设随机变量 X 的分布律为 X -2
0
2
求：E( X ), E( X 2 ), E(3X 2 5). P 0.4 0.3 0.3 解：(1)E(X) 2 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2,

第四章随机变量的数字特征

（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分收敛，则
证明略。
【例4-10】已知（X，Y）的分布律为求:(1)E（2X+3Y）;(2)E（XY）. 解（1）由数学期望定义知
【例4-11】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求:(1)E(X+Y)；(2)E(XY)； (3)P{ X+Y≤1}. 解：
求E（X）解 E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2
【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为
试比较他们成绩的好坏。解我们分别计算X和Y的数学期望： EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。
（1） 0-1分布设X的分布律为其中0＜P＜1,则X的方差D(X)=P(1-P). 因为而故（2）二项分布设X～B(n,p) 则有DX=np（1-p）（3）泊松分布设X～P （λ），则有DX= λ
（4）均匀分布设X～U(a,b),则有
（5）指数分布设
(6)正态分布可以证明，若
下表是六种常见分布的期望和方差的结果. 要求大家熟记下面公式.
【例4-18】若X～U(a,b)且EX＝3，DX=1/3，求：a,b及X的概率密度f(x) 解：
【例4-19】已知随机变量X服从二项分布，且 E(X)=2.4，D(X)=1.44，求二项分布的参数n，p. 解：因为E(X)=np，D(X)=npq，由已知E(X)=2.4，D(X)=1.44，np=2.4， npq=1.44，得q=0.6，p=0.4，n=6 【例4-20】已知（X，Y）的分布律为

概率统计简明教程第四章随机变量的数字特征

129第四章随机变量的数字特征在前面两章中我们讨论了随机变量的概率分布，这是关于随机变量统计规律的一种完整描述，然而在实际问题中，确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.§1 数学期望1.1 数学期望的概念在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即平均抗拉强度1(110120212531302135140)10=+⨯+⨯+⨯++⨯123211110120125130135140101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 126=.从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X ，其可能取值为12,,,n x x x ，如果将这n 个数相加后除n 作为“均值”是不对的.因为X取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.经以上分析，我们可以给出离散型随机变量数学期望的一般定义.1301.离散型随机变量的数学期望定义 1.1 设X 为一离散型随机变量，其分布律为{}k kP X x p ==（1,2,k = ），若级数1k k k x p ∞=∑绝对收敛，则称此级数之和为随机变量X的数学期望，简称期望或均值.记为()E X ，即1()kk k E X xp ∞==∑ （1.1）例 1.2. 某人从n 把钥匙中任取一把去试房门，打不开则除去，另取一把再试直至房门打开.已知钥匙中只有一把能够把房门打开，求试开次数的数学期望.解设试开次数为X ，则分布律为1{},1,2,,P X k k n n=== ，从而111(1)1()22nk n n n E X k nn =++=⋅=⋅=∑. 例1.3 设随机变量(,)X B n p ，求()E X .解因为{}C (1)k k n kk n p P X k p p -===- (0,1,,)k n = ，11!()C (1)(1)(1)!()!n n nk kn kk n kk nk k k n E X kp k p p p p k n k --=====-=---∑∑∑11(1)11(1)!(1)(1)![1(1)]![(1)]nk n k k n n np pp k n k np p p np----=--=-----=+-=∑例1.4 设随机变量()X P λ ，求()E X . 解因为()X P λ ，有131{}!kP X k ek λλ-==0,1,2,,k = （）因此11()!(1)!k k k k E X eeee k k λλλλλλλλλ-∞∞---=====⋅=-∑∑.我们可以类似地给出连续型随机变量数学期望的定义，只要把分布律中的概率k p 改为概率密度()f x ，将求和改为求积分即可.因此，我们有下面的定义.2 . 连续型随机变量的数学期望定义1.2 设X 为一连续型随机变量，其概率密度为()f x ，若广义积分()d xf x x +∞-∞⎰绝对收敛，则称广义积分()d xf x x +∞-∞⎰的值为连续型随机变量X 的数学期望或均值，记为()E X ，即 ()()d E X xf x x +∞-∞=⎰. （1.2）例1.5 设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩，其他，求()E X .解依题意，得，102()()d 2d 3E X xf x x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰.例1.6 设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，求()E X . 解依题意，X 的概率密度为1,()0,a x b f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其他，因此1321()()d d 2b aa b E X xf x x x x b a+∞-∞+==⋅=-⎰⎰.例1.7 设随机变量X 服从λ为参数的指数分布，求()E X . 解依题意， X 的概率密度为e ,0,()0,0x x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，因此1()()d ed xE X xf x x x x λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰.例1.8 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，求()E X .解由于22()21()x f x m s--= ()x -?<+因此()()d E X xf x x x+∞+∞-∞-∞==⎰⎰22()2d x x m s--22()()ed tx t t t 令m s m s+---==+22ed tt m +--==.例1.9 已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)12e ,0,0,(,)0,x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求()E X .解由第三章例3.2的结果关于X 的边缘概率密度为33e ,0,()0,0x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，133即(3)X E ,因此1()3E X =.1.2 随机变量函数的数学期望定理1.1 设随机变量Y 是随机变量X 的函数， ()Y g X =（其中g 为一元连续函数）.（1）X 是离散型随机变量，概率分布律为{}k k P X x p ==， 1,2,k = ，则当无穷级数1()k k k g x p ∞=∑绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为1()[()]()kk k E Y E g X g xp ∞===∑; （1.3）（2）X 是连续型随机变量，其概率密度为()f x ，则当广义积分()()d g x f x x +-ò绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为()[()]()()d E Y E g X g x f x x +∞-∞==⎰.（1.4）这一定理的重要意义在于，求随机变量()Y g X =的数学期望时，只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，无需求Y 的分布，这给我们计算随机变量函数的数学期望提供了极大的方便.定理的证明超出了本书的范围，下面我们仅就连续型随机变量，且()Y g X =单调的情形给出证明.证明第二章定理4.2给出了随机变量Y 的概率密度[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ⎧⎪⎨⎪⎩'<<=，其他.其中)(x f X 为随机变量X 概率密度，函数)(x g y =是处处可导的严格单134调函数，它的反函数为)(y h x =，则有()()d Y E Y yf y y +∞-∞=⎰[()]|()|d X yf f y h y y βα'=⎰.当()0h y '>时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα+∞-∞'==⎰⎰，当()0h y '<时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα-∞+∞'=-=-⎰⎰()()d X g x f x x +∞-∞=⎰.例1.10 设离散型随机变量X 的分布律为求随机变量232Y X =-的数学期望.解依题意，可得，22()[3(1)2]0.1(302)0.3E Y =⨯--⨯+⨯-⨯2(312)0.4+⨯-⨯2(322)0.2+⨯-⨯1.9=.例1.11 随机变量X (0,1)N ，求2Y X =的数学期望. 解依题意，可得22()()()d E Y E X x f x x +∞-∞==⎰222d xxx +∞--∞=⎰22dexx+∞--∞=⎰2222e e dx xx x+∞+∞---∞-∞⎛⎫⎪=-⎪⎭⎰22e d1xx+∞--∞==⎰例 1.12 国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X（单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布，已知每售出1吨商品，可挣得外汇3万元;若售不出去而积压，则每吨商品需花费库存费等共1万元，问需要组织多少货源，才能使国家受益期望最大？解设组织货源t吨，[2000,4000]tÎ，受益为随机变量Y（单位：万元），按照题意Y是需求X的函数3(),,()3,,X t X X tY g Xt X t当当ì--<ïï==íï³ïîX的概率密度为1,20004000()20000,xf xìïï＃ï=íïïïî其它.由（1.4），得()[()]()()dE Y E g X g x f x x+-==ò400020001{[3()]d3d}2000ttx t x x t x=--+蝌21[2140008000000]2000t t=-+-当3500t=时()E Y达到最大值，也就是说组织货源3500吨时国家的期望受益最大.135136例1.13 柯西分布211()1f x xπ=+()x -∞<<+∞的数学期望由于21||d (1)x x x π+∞-∞=+∞+⎰，所以不存在.上述的定理可以推广到两个或两个以上随机变量的函数上去，我们有下面的定理.定理 1.2 设随机变量Z 是随机变量(,)X Y 的函数，(,)Z g X Y =,其中g 为二元连续函数，则（1）如果(,)X Y 为二维离散型随机变量,其分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ,1,2,i j = ,且11(,)ijij j i g x yp ∞∞==∑∑绝对收敛，则随机变量(,)Z g X Y =的数学期望为11()[(,)](,)ijij j i E Z E g X Y g x yp ∞∞====∑∑；（1.5）（2）如果(,)X Y 为二维连续型随机变量时，概率密度为(,)f x y ,且(,)(,)d d g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则随机变量(,)Z g X Y =的数学期望为()[(,)](,)(,)d d E Z E g X Y g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞==⎰⎰. （1.6）例1.14 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为137求()E XY 和()E Z ，其中max(,)Z X Y =.解依题意，可得()000.1010.3100.4110.20.2E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=; ()00.110.90.9E Z =⨯+⨯=.例1.15 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为212,01,(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他，求（1）()E XY ；（2）2()E X .解（1）由公式（1.6）得，121()(,)d d d (12)d 2xE X Y xy f x y x y x x y y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰,（2）将2X 看成是函数(,)Z g X Y =的特殊情况，从而利用公式（1.6）进行求解，即122222()(,)d d d 12d 3xE X x f x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.需要说明的是：本题在求解2()E X 时，也可以先求出(,)X Y 关于X 的边缘概率密度，再利用公式22()()d X E X x f x x +∞-∞=⎰，求解2()E X （请读者自行完成）.例 1.16 一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从[10,20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，计算经销此商品每周所获得平均利润.解设Z 表示商店每周所获利润，依题意1000,,(,)1000500(),,Y Y X Z g X Y X Y X Y X ì£ïï==íï+->ïî138由于(,)X Y 的概率密度为1,1020,1020(,)1000,x y f x y ，其他，ìïï＃＃ï=íïïïî所以20201010()(,)(,)d d E Z g x y f x y x y =蝌20202010101011d 1000d d 500()d 100100yyyy xyx y x =?+蝌蝌202021010310(20)d 5(1050)d 2y y y y y y =-+--蝌 200005150014166.673=+椿（元）.1.3 数学期望的性质设C 为常数，随机变量X ,Y 的数学期望都存在.关于数学期望有如下性质成立：性质1.则()E X C =；性质2.()()E CX CE X =；性质3.()()()E X Y E X E Y +=+;性质4. 如果随机变量X 和Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =. 这里只就连续型随机变量的情形对性质3和性质4给出证明，对于离散型随机变量情况，请读者自行完成.证明：设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度为()X f x 和()Y f y ，则有()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰(,)d d xf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)d d yf x y x y +∞+∞-∞-∞+⎰⎰139(,)d d x f x y y x +∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)d d y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰()d X xf x x +∞-∞=⎰()d Y yf y y +∞-∞+⎰()()E X E Y =+.如果X 和Y 相互独立，则(,)f x y =()X f x ()Y f y ，有()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()d d X Y xyf x f y x y +∞-∞=⎰ ()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⋅⎰⎰()E XY =例1.17 设两个随机变量X 和Y ，设2()E X 和2()E Y 都存在，证明： 222[()]()()E XY E X E Y ≤ （1.7）这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy Schwarz -）不等式证明对于任意实数t ，令2()[()]g t E X tY =+ 由数学期望的性质，有2222[()](2)E X tY E X tXY t Y +=++ 222()2()()E X tE XY t E Y =++ 因此 222()()2()()g t E X tE XY t E Y =++由于()0g t ≥，上述关于t 的二次函数的判别式小于或等于0.即 2224[()]4()()0E XY E X E Y ∆=-≤140因此 222[()]()()E XY E X E Y ≤例1.18 设随机变量X 和Y 相互独立，且各自的概率密度为33,0,()0,x X e x f x -⎧>=⎨⎩其他， 44,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他，求()E XY .解由性质3得()()()E XY E X E Y =()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⨯⎰⎰3403d 4d xyxex ye y +∞+∞--=⨯⎰⎰1113412=⨯=.例1.19 将n 个球随机放入M 个盒子中去，设每个球放入各盒子是等可能的，求有球盒子数X 的期望.解令随机变量1,1,2,,0,i i X i M i ⎧==⎨⎩ 第个盒子有球，第个盒子无球，显然有 1Mi i X X ==∑.对于第i 个盒子而言，每只球不放入其中的概率为11M ⎛⎫-⎪⎝⎭，n 个球都不放入的概率为11nM ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此1{0}1ni P X M ⎛⎫==- ⎪⎝⎭1{1}11n i P X M ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭141由于 1()1{1}0{0}11ni i i E X P X P X M ⎛⎫=⨯=+⨯==-- ⎪⎝⎭由数学期望的性质，可以得到11()()11nMi i E X E X M M =⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.§2 方差2.1 方差及其计算公式数学期望体现了随机变量所有可能取值的平均值，是随机变量最重要的数字特征之一.但在许多问题中只知道这一点是不够的，还需要知道与其数学期望之间的偏离程度.在概率论中，这个偏离程度通常用2{[()]}E X E X -来表示，我们有下面关于方差的定义．定义2.1 设X 为一随机变量，如果随机变量2[()]X E X -的数学期望存在，则称之为X 的方差，记为()D X ，即2{[()]}D X E X E X =-（）（2.1）称X 的标准差或均方差，记作()X σ .由定义2.1可知，随机变量X 的方差反应了X 与其数学期望()E X 的偏离程度，如果X 取值集中在()E X 附近，则方差()D X 较小；如果X 取值比较分散，方差()D X 较大.不难看出，方差()D X 实质上是随机变量X 函数2[()]X E X -的数学期望．如果X 是离散型随机变量，其概率分布律为 {}k k P X x p ==， 1,2,k = ，142则有 221{[()]}[()].kk k D X E X E X xE X p ∞==-=-∑（）如果X 连续型随机变量，其概率密度为()f x ，则有22{[()]}[()]()d .D X E X E X x E X f x x +∞-∞=-=-⎰（）根据数学期望的性质，可得2{[()]}D X E X E X （）=-22{2()[()]}E X X E X E X =-?22()2()()[()]E X E X E X E X =-?22()[()]E X E X =- ．即 22()()[()]D X E X E X =- （2.2）这是计算随机变量方差常用的公式例2.1 设离散型随机变量X 的分布律为求D X （）.解因为(1)0.100.310.420.20.7E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=（）， 22222()(1)0.100.310.420.2 1.3E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=，222()[()] 1.30.70.81D X E X E X =-=-=（）．例2.2 设(,)X B n p ，求D X （）.解 ()E X np =，令1q p =-，143220()C nk k n kn k E X k p q-==å1![(1)]!()!nk n kk n k k k p qk n k -==-+-å22(2)(2)1(1)(2)!(1)(1)!()!nk n k k n n n k p pqk n k ----=--=---å1!(1)!()!nkn kk n p qk n k -=+--å22(2)(2)2(2)!(1)()(2)!()!nk n k k n n n ppqE X k n k ----=-=-+--å2(1)n n p np =-+，所以 22222()[()](1)D X E X E X n n p np n p npq （）=-=-+-=．例2.3 设()X P λ ，求D X （）.解 ()E X l =2201ee()[(1)1]!(1)!k k k k E X kk k k lll l --ゥ====-+-邋2221ee(2)!(1)!k kk k k k lllll-ゥ--==×=? --邋2l l =+所以 22().D X （）l l ll =+-=例2.4 设随机变量X 服从几何分布()X G p ，即 1{},1,2,k P X k pqk -===144其中01,1p q p <<=-，求(),().E X D X解 1111()k k k k E X kpqp kq∞∞--====∑∑由于1,011k k q q q∞==<<-∑，对此级数逐项求导，得1001d dd d k kk k k k q qkqq q ∞∞∞-===⎛⎫==⎪⎝⎭∑∑∑，因此121d 11d 1(1)k k kqq q q ∞-=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∑，从而211()(1)E X p q p=⋅=-。

概率论第4章

（4）数学期望的性质
ò ò
+¥ +¥
- ¥ - ¥
（设该积分绝对收敛） g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy ．
性质 1 设 c 是常数，则有 E ( c ) = c ．性质 2 设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E (cX ) = cE ( X ) ．性质 3 设 X ，Y 是随机变量，则有 E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) ．（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况）性质 4 设 X ， Y 是相互独立的随机变量，则有 E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) ．（该性质可推广到有限个随机变量之积的情况） 2. 方差（1）定义设 X 是随机变量， E{[ X - E ( X )] } 存在，就称其为 X 的方差，记为 D ( X ) ( 或 Var ( X ) ) ，即
å x p
k =1
k
发散，则称随机变量 X 的数学期望不存在．
（2）连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f ( x ) ，若积分学期望或均值．记为 E ( X ) ， E ( X ) = 不存在。（3）随机变量的函数的数学期望定理设 Y 为随机变量 X 的函数： Y = g ( X ) (g 是连续函数) ① X 是离散型随机变量，分布律为 p ( X = x k = 1 , 2 , L ；若级数 k = P k ),
r XY = í
， a > 0 ì1 ， a < 0 î-1
性质 4 r XY = 1 的充要条件是，存在常数 a, b 使 P {Y = aX + b } = 1 ．事实上相关系数只是随机变量间线性关系其强弱的一个度量，当 r XY = 1 表明随机变量 X 与 Y 具有线性关系， r = 1 时为正线性相关， r = -1 时为负线性相关，当 r XY < 1 时，这种线性相关程度就随着 r XY 的减小而减弱，当 r XY = 0 时，就意味着随机变量 X 与 Y 是不相关的．（4）X 与 Y 不相关的充要条件只要满足以下四个条件之一就可以 ①

概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征与极限定理

4.2.1 随机变量方差的概念数学期望是随机变量重要的数字特征．但是，在刻画随机变量的性质时，仅有数学期望是不够的．例如，有两批钢筋，每批各10根，它们的抗拉强度指数如下：
25
定义4.3 设X是随机变量，若E［X－E（X）］2存在，则称它为X的方差，记为D（X），即
由定义4.2，随机变量X的方差反映了X的可能取值与其数学期望的平均偏离程度．若D（X）较小，则X的取值比较集中，否则，X的取值比较分散．因此，方差 D（X）是刻画X取值离散程度的一个量．
3
定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为
4
5
6
7
8
9
4.1.2 几个常用分布的数学期望 1.0—1分布设随机变量X服从以p为参数的（0—1）分布，则X 的数学期望为
２.二项分布设随机变量X～B（n,p），则X的数学期望为
10
3.泊松分布设随机变量X～P（λ）分布，则X的数学期望为
41
Hale Waihona Puke 424.３协方差、相关系数及矩
4.3.1 协方差对于二维随机变量（X，Y），除了分量X，Y的数字特征外，还需要找出能体现各分量之间的联系的数字特征．
43
44
4.3.2 相关系数定义4.5 设（X,Y）为二维随机变量，cov （X,Y）,D（X）,D（X）均存在，且D（X）>0,D（X） >0，称
15
16
17
定理4.2 设（X,Y）是二维随机变量，z=g（x,y）是一个连续函数．（1）如果（X,Y）为离散型随机变量，其联合分布律为
18
19
20
4.1.4 数学期望的性质数学期望有如下常用性质（以下的讨论中，假设所遇到的数学期望均存在）：

概率论与数理统计第四章

例5.设随机变量 ,Y相互独立,且均服从正态设随机变量X, 相互独立相互独立, 设随机变量分布N(0,0.5),求E|X-Y|. 分布求
■切比雪夫不等式
定理设随机变量X有期望有期望E(X)和方差 σ 2 则对于设随机变量有期望和方差 , 任给 ε >0, 2
σ P{| X E( X ) |≥ ε} ≤ 2 ε
■方差的定义
是一个随机变量, 设X是一个随机变量,若E[X-E(X)]2 < ∞,则是一个随机变量 , 称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 的方差. 为X 的方差
采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用差值
方差的算术平方根 D(X) 称为标准差由于标准差与X具有相同的度量单位, 由于标准差与具有相同的度量单位, 具有相同的度量单位在实际问题中经常使用. 在实际问题中经常使用
a
甲仪器测量结果
a
乙仪器测量结果
又如,甲乙两门炮同时向一目标射击发炮又如甲,乙两门炮同时向一目标射击10发炮其落点距目标的位置如图,试比较精度. 弹,其落点距目标的位置如图,试比较精度
中心
中心
甲炮射击结果
乙炮射击结果
为此需要引进另一个数字特征,用它为此需要引进另一个数字特征用它来度量随机变量取值在其中心附近的离来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 散程度这个数字特征就是: 这个数字特征就是:
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)
∞ ∑g( xk ) pk , X离散型 E(Y ) = E[g( X)] = k=1 ∞ g( x) f ( x)dx, X连续型 ∫∞

概率论与数理统计第四版课后学习资料第四章

(4.1)
i,j 1, 2, 3,
则有E(Z) E g(X, Y) g(x i ,y j )p ij , (4.2) (假设级数绝对收敛)
例. 设随机变量(X, Y)的概率密度为 3 , 1 y x.x 1 x 3 2 f(x,y) 2x y 0, 其它, 1 试求 : E(Y),E( ) XY
e
1 x
dx
1 t x
2

0
t 2 e t dt 22 ,
D(X) E(X2 ) -[ E(X)]2 2 .
30 正态分布: 设X~N(, 2 ), 则
解 : E(X)

2

t2 2
1

xe
t2 2
-
(x )2 22
例. 二项分布的均值的计算: 设X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相互独立的且都服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试验的结果:Xi=1表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以
解: 计算X1的均值, 由定义有 E(X1) =00+1 0.2+2 0.8=1.8 E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5
显然,乙的成绩比甲的差.
例2. 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk (k 1, 2 )服从同一指数分布, 其概率密度为:
x 1 e , x 0, f(x) θ 0, 0, x 0,
i
n
故 E(X) np D(X) npq.

概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征

解：
1 (5 0.5x)( 3 x2 x)dx
0
2
4.65(元)
2021/7/22
21
4.1.2 随机变量函数的数学期望
将定理4.1推广到二维随机变量的情形．
定理4.2 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数．
(1) 若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律
为P{X xi ,Y yj } pij, i, j 1,2,, 则有
解：由于 P{ X k} k e ，k = 0，1，2，…，
k!
因而
E( X ) kP{ X k} k k e
k0
k0 k!
k e
k1 (k 1)!
e
k 1
k1 (k 1)!
e k ee k0 k!
2021/7/22
12
4.1.1 数学期望的概念
2. 连续型随机变量的数学期望
2021/7/22
18
4.1.2 随机变量函数的数学期望
定理4.1 设Y为随机变量X的函数:Y = g(X) (g是连续
函数).
(1) 设X是离散型随机变量，其分布律为
P{X xk } pk , k 1,2,
若级数 g( xk ) pk绝对收敛,则 E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
f ( x) 25( x 4.2)， 4 x 4.2，
0，
其它.
求pH值X的数学期望E(X).
解：
E( X ) xf ( x)dx
4
4.2
x 25( x 3.8)dx x (25)(x 4.2)dx
3.8
4
4
2021/7/22
15

浙大概率论与数理统计课件第四章随机变量的数字特征

0 0
0
x
x y 1 0
EX=

xf

( x , y ) dxdy
0 0
1
dx
x 2 dy
1 3
1 x
E(-3 X+ 2Y)= dx

1
x 1
2 ( 3 x 2 y ) dy
0 0 1

1 3
1 12
EXY=
k
k 0

e
k

e

k!
( k 1)!
k 1

k 1
e

e

二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x), 如果积分

xf ( x)dx

绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即
E( X ) x f ( x )dx
数学期望、方差、协方差和相关系数
第一节
数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
小结
一、离散型随机变量的数学期望
引例：某7人的数学成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 1 7 7 2 7 2 7 1 7 1 7
第四章、随机变量的数字特征
第一节：数学期望第二节：方差第三节：协方差及相关系数第四节：矩、协方差矩阵
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

随机变量的数字特征总结

第四章随机变量的数字特征总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第四章随机变量的数字特征㈠数学期望表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义(1) 定义离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为.3、二项分布的数学期望设服从以为参数的二项分布，，则。

4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。

①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a ，b ] (a <b ),它的概率密度函数为:= 则=∴ E(ξ)=(a+b)/2．即数学期望位于区间的中点．2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ>0， - <μ<+ )则令得∴ E(ξ)=μ .3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为，则.(2) 随机变量的函数的数学期望设)(xgy=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)(XgY=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数),(YXgZ=，有类似的公式：(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgY kkkPEE()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型dd,,,,,yxyxfyxgyYxXyxgYXgZi jjijiPEE设(,)X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ijP X a Y b p i j====如果级数(,)i j ijj ig a b p∑∑绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为[(,)](,)i j ijjiE g X Y g a b p =∑∑；特别地();()i ij j ijiijiE X a p E Y b p ==∑∑∑∑.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰；特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。

概率论与数理统计第4章

dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量，则有性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值解引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻，则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91

概率论与数理统计(经管类)复习要点第4章随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征1. 把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征，如期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置。

离散型随机变量的期望设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…若级数∑ix i p i 绝对收敛（即级数∑i丨x i 丨p i 收敛），则定义X 的数学期望（简称均值或期望）为E （X ）=∑ix i p i注：当X 的可能取值为有限多个x 1，x 2，…，x n 时，E （X ）=∑=ni 1x i p i 当X 的可能取值为可列多个x 1，x 2，…，x n ，…时，E （X ）=∑∞=1i x i p i三种重要离散型随机变量的数学期望：3. 离散型随机变量函数的数学期望设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…令Y =g （X ），若级数∑∞=1k g （x k ）p k 绝对收敛，则随机变量Y 的数学期望为E （Y ）= E[g （X ）] =∑∞=1k g （x k ）p k4. 连续型随机变量的期望三种重要连续型随机变量的数学期望：5. 连续型随机变量函数的数学期望2017.4单解：6. 二维随机变量的期望二维随机变量函数的期望7. 期望的性质（1）常数的期望等于这个常数，即E （C ）=C ，其中C 为常数证明常数C 作为随机变量，它只可能取一个值C ，即P ｛X =C ｝=1，所以E （C ）=C ⋅1=C（2）常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即E （C X ）=C ⋅E （X ）（3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E （X +Y ）= E （X ）+ E （Y ）推广：E （C 1X +C 2Y ）= C 1E （X ）+ C 2E （Y ），其中C 1，C 2为常数一般地，设X 1，X 2，…，X n ，为n 个随机变量，则有E （∑=ni iX 1）=∑=ni iX E 1)(E （∑=ni ii X C 1）=∑=ni iiX E C 1)( 其中C i（i=1，2，…）为常数（4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X ，Y 是相互独立的随机变量，则E （XY ）= E （X ）E （Y ）由数学归纳法可证得：当X1，X2，…，X n相互独立时有E（X1，X2，…，X n）= E（X1）E（X2）…E（X n）2018.4单解：指数分布的期望值为 1，故E（X）= E（Y）=21，所以E（X Y）= E（X）E（Y）=412018.4计解：（1）平均收益率E（X）=1%×0.1+2%×0.2+3%×0.1+4%×0.3+5%×0.2+6%×0.1=3.6%（2）预期利润10×3.6%=0.36万元2017.10单解：E（-3X +2）=-3 E（X）+2=-3×51+2=572017.4填解：E（X+Y）= E（X）+ E（Y）=20×0.1+2=48. 方差反映了随机变量偏离中心——期望的平均偏离程度。

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。

其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。

可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。

了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。

同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。

随机变量的数字特征

随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 E(X kY l) l=1,2,…
随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }
2
第四章随机变量的数字特征
一.数学期望和方差的定义
随机变量 X
离散型随机变量
连续型随机变量
分布律 P{X=x i}= pi ( i =1,2,…)
概率密度 f (x)
数学期望(均值)E(X) 方差 D(X)=E{[X-E(X)]2}
xi pi (级数绝对收敛)
i 1
xi
E(X
)2
pi
i 1
xf(x)dx(积分绝对收敛) [ x E( X )]2 f ( x)dx
2.X,Y 为任意随机变量时, E (X±Y)=E(X)±E(Y) .
3. X 与 Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X±Y)=D(X)+D(Y) .
4. D(X) = 0 P{X = C}=1 ,C 为常数.
三.六种重要分布的数学期望和方差
E(X)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D(X)
1.X~ (0-1)分布 P{X=1}= p (0<p<1)
=E(X2)-[E(X)]2
(级数绝对收敛)
(积分绝对收敛)
函数数学期望 E(Y)=E[g(X)] g( xi )pi (级数绝对收敛)
i 1
g( x) f ( x)dx (积分绝对收敛)
标准差(X)=√D(X) .
二.数学期望与方差的性质
1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .

概率论与数理统计第四章

可见,方差是二阶中心矩,协方差是二阶混合中心
矩，它们都是随机变量函数的数学期望。
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
【例3】[P.115:eg6]
〖解〗设X为随机取一球的标号,则r.v.X等可能地取值1,2,3,4,5,6;
又Y=g(X),且
g(1)= g(2)= g(3)=1; g(4)= g(5)=2, g(6)=5. 故随机摸一球得分的期望为
河南理工大学精品课程概率论与数理统计
显然, 方差D(X)就是随机变量X的函数 g ( X ) [ X E( X )]2 的数学期望.因此,当X的分布律 p 或概率密度 k 已知时,有
2 [ x E ( X )] pk , 离散型 k k 1 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx, 连续型
1500 (分) □
河南理工大学精品课程概率论与数理统计
二、随机变量函数的数学期望利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理: 定理1 设Y=g(X)是随机变量X的连续函数，则 Y 也是随机变量，且其数学期望为
离散型 g ( xk ) pk , k 1 E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx, 连续型
X2 Pk 3X2+5 Pk 0 0.3 5 0.3 4 0.7 17 0.7
于是,
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;
河南理工大学精品课程概率论与数理统计
例6-续
E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8; E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
方法2(定义+性质法) 因为 E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; 所以, E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4. □

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征第⼀节基本概念1、概念⽹络图→切⽐雪夫不等式矩⽅差期望⼀维随机变量→协⽅差矩阵相关系数协⽅差⽅差期望⼆维随机变量2、重要公式和结论例4．1：箱内装有5个电⼦元件，其中2个是次品，现每次从箱⼦中随机地取出1件进⾏检验，直到查出全部次品为⽌，求所需检验次数的数学期望。

例4．2：将⼀均匀骰⼦独⽴地抛掷3次，求出现的点数之和的数学期望。

例4．3：袋中装有标着1，2，…，9号码的9只球，从袋中有放回地取出4只球，求所得号码之和X 的数学期望。

例4．4：设随机变量X 的概率密度为,)(21)(||+∞<<-∞=-x e x f x求E （X ）及D （X ）。

例4．5：设随机变量X~N （0， 4）， Y~U （0， 4），且X ，Y 相互独⽴，求E （XY ），D （X+Y ）及D （2X-3Y ）。

例4．6：罐中有5颗围棋⼦，其中2颗为⽩⼦，另3颗为⿊⼦，如果有放回地每次取1⼦，共取3次，求3次中取到的⽩⼦次数X 的数学期望与⽅差。

例4．7：在上例中，若将抽样⽅式改为不放回抽样，则结果⼜是如何？例4．8：“随机变量X 的数学期望E(X)= µ.”的充分条件：(1)X 的密度函数为f(x)=λµλ--x e21 (λ>0,-∞(2) X 的密度函数为222)(21)(σµσπ--=x ex f ，（+∞<<∞-x ）例4．9：利⽤切⽐雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差⼤于3倍标准差的概率。

例4．10：设随机变量X 和Y 的⽅差存在且不等于0，则D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ）是X 和Y（A ）不相关的充分条件，且不是必要条件；（B ）独⽴的充分条件，但不是必要条件；（C ）不相关的充分必要条件；（D ）独⽴的充分必要条件。

（）。

例4．11：设X 与Y 相互独⽴都服从P （λ），令U=2X+Y ，V=2X-Y 。

2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第四章随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征1．单个随机变量的期望⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞+∞-为连续型为离散型X dx x xf X x X P x EX i i i ,)(),(例1 设，则41413410211=⨯+⨯+⨯-=EX例2 设X 的分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,2)(x x x f ，则⎰⎰⎰∞+∞-=⋅==⋅==101013232322)2()(x dx x dx x x dx x xf EX2．单个随机变量函数的期望设X 为随机变量，)(x g y =是普通函数，则()Y g X =是随机变量，且()(),()()(),()i i i g x p X x X Eg X g x f x dx X X f x +∞-∞⎧=⎪=⎨⎪⎩∑⎰当为离散型当为连续型，且具有密度 *例3 设X 的分布如例1，求3)(X X g =的期望解：42541341021)1(3333=⨯+⨯+⨯-=EX例4 设X 的分布密度)(x f 如例2，求X X g =)(的期望解：⎰⎰⎰=⋅==+∞∞-1102/322)()(dx x xdx x dx x f x X E 542312102/5=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=x当2)()(μ-=x x g （其中μ=EX ）时，DX X E X Eg =-=2)()(μ，即为X 的方差⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-=⎰∑∞+∞-dx x f x x X P x EX X E DX i i i )()()()()(22222μμμμ例4 设则 021121)1(=⨯+⨯-=EX ，021102110=⨯+⨯-=EY 121121)1()(22222=⨯+⨯-==-=EX EX EX DX10021)10(21)10(22=⨯+⨯-=DY （方差大者，取值分散）［注］：22)(EX EX DX -=是重要常用公式例5 设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其他,010,101,1)(x x x x x f ，求DX解：因)(x f 是分段函数，故求2,EX EX 时也要随之分段积分⎰⎰⎰+∞∞--=-++==0110)1()1()(dx x x dx x x dx x xf EX⎰⎰⎰+∞∞--=-++==011222261)1()1()(dx x x dx x x dx x f x EX 于是61)()(22=-=EX X E DX3．),(Y X 函数的期望设),(y x g Z =是普通函数，则),(Y X g Z =是随机变量，其数学期望EZ 等于⎪⎩⎪⎨⎧=====⎰⎰∑∑∑∑∞+∞-∞+∞-),(),(,),(),(),(,),(),(),(),(y x f Y X dxdy y x f y x g Y X P y x g y Y x X P y x g y x Eg EZ i jij j i i j i j i i 密度为连续型，且具有分布当为离散型当例6 设),(Y X 分布律为，XY Y X g Z ==),(则61611)11()11()01()10()00()(1111100100=⨯=⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=P P P P P XY E例７设),(Y X 的分布密度⎩⎨⎧<≤≤≤=其他,00,10,2),(xy x y x f ，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxdy y x xyf XY E Y X Eg ),()(),(⎰⎰⎰⎰⎰==⋅=1001120)2(2)(22xxxdx y x dx ydy x dxdy xy⎰===10143414x dx x 当))((),(21μμ--=y x y x g 时，其中EY EX ==21,μμ，则[]))(()),((21μμ--=Y X E Y X g E 是X ，Y 的协方差，即 ))((),(21μμ--=Y X E Y X CovEY EX XY E ⋅-=)( （重点）当2121))((),(σσμμ--=y x y x g 时，其中222121,,,σσμμ====DY DX EY EX1212121212()()()()(,)(,)X Y E X Y Cov X Y Eg X Y E μμμμσσσσσσ⎛⎫----==== ⎪⎝⎭ρ *为X ，Y 的相关系数期望)(⋅E 的重要性质（1）c EC = （常数）（2）CEX CX E =)(（3）)()()(Y E X E Y X E +=+推广：c b E Y a E Xc bY aX E ++=++)( （4）若X ，Y 相互独立，则()E XY EX EY =⋅ 方差)(⋅D 的重要性质（1）0)(=c DDX c X D =±)(，其中c 为常数。

第4章 随机变量的数字特征

北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征

方浩概率强化讲义

第四章 随机变量的数字特征与特征函数

随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征

概率统计简明教程 第四章 随机变量的数字特征

概率论第4章

概率论与数理统计第4章 随机变量的数字特征与极限定理

概率论与数理统计第四章

概率论与数理统计第四版课后学习资料第四章

概率论与数理统计 第4章 随机变量的数字特征

浙大概率论与数理统计课件 第四章随机变量的数字特征

随机变量的数字特征总结

概率论与数理统计 第4章

概率论与数理统计(经管类)复习要点 第4章 随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

概率论与数理统计 第四章

随机变量的数字特征

2014年自考 概率论与数理统计串讲讲义 第四章 随机变量的数字特征

第4章随机变量的数字特征

第四章随机变量的数字特征与特征函数

概率统计简明教程第四章随机变量的数字特征

概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征与极限定理

概率论与数理统计第4章随机变量的数字特征

浙大概率论与数理统计课件第四章随机变量的数字特征

概率论与数理统计第4章

概率论与数理统计(经管类)复习要点第4章随机变量的数字特征

概率论与数理统计第四章

2014年自考概率论与数理统计串讲讲义第四章随机变量的数字特征