二维随机变量的数字特征
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
随机变量的数字特征
数学期望
一、离散型随机向量的数学期望
定义 设X 为离散型随机变量，其概率分布律为 P ( X xk ) pk , k 1, 2, 3
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk的和为
k 1 k 1
随机变量X的数学期望(或均值)，记作
E ( X ) EX xk pk
三、随机变量函数的数学期望
例3 设 ( X , Y ) 的分布律为
Y X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
0.1
求 E(Y X ), E[( X Y )2 ]. 解
p
0 .2
0 .1
0 .1
0 .1
0 .1 0 . 3
0 .1
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) Y X 1 1 1 2 1 2 0 1 3 0
一、离散型随机向量的数学期望
Y 的分布律为
Y p
1
0 .3
0
0 .4
1
0 .3
得 E (Y ) 1 0.3 0 0.4 1 0.3 0.
二、二维连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的密度函数为f ( x ), 如果积分
xf ( x )dx绝对收敛，则称该积分值
解
五、协方差
例2 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为 1 ( x y ), 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y) 3 其他 0, 求Cov(X, Y). 解 E( X )
x f ( x , y )dxdy
2 1
例3 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为 1 , x 2 y 2 1 f ( x, y) 其他 0, 求Cov(X, Y)，并判断X与Y是否相互独立. 1 x 2 1 dy , x 1 2 解 f X ( x ) f ( x , y )dy 1 x 0, 其他 2 2 1 x , x 1 其他 0, 2 1 y 2 , y 1 X与Y不相 同理， fY ( y ) 其他 互独立 0,
E ( Z ) E[ g( X ,Y )] g( xi , y j ) pij
j 1 i 1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度
为 f(x, y)，则 E ( Z ) E[ g( X ,Y )] g( x , y ) f ( x , y )dxdy
2 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 2 E ( XY XEY YEX EXEY ) 2[ E( XY ) EXEY EYEX EXEY ] 2[ E( XY ) EXEY ]
五、协方差
1. 定义 任意两个随机变量X和Y的协方差,记为
P (Y 1) 0.55, P (Y 0) 0.25, P(Y 2) 0.2
从而
E ( X ) 0.95, E(Y ) 0.15
五、协方差
例1 已知离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下： 1 0 2 X Y
0 1 2 0.1 0.3 0.15
0.2 0.05
0
0 0.1 0.1
求 Cov( X , Y ).
E ( XY ) 0 ( 1) 0.1 0 0 0.2 0 2 0 2 2 0.1 0 于是 Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0.95 0.15 0.1425
1 dy x( x y )dx 0 0 3 211 5 y + dy 0 3 3 9 2
五、协方差
例2 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为 1 ( x y ), 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y) 3 其他 0, 求Cov(X, Y).
三、随机变量函数的数学期望
于是 1 1 1 Y E 1 0.2 0 0.1 1 0.1 0.1 0.1 0 0.3 0.1 2 2 3 X
1 . 15
p
( X ,Y )
0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1 (1,1) (1,0 ) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1)
1 11 解 E (Y ) dy y( x y )dx 0 0 3 9 2 11 2 E ( XY ) dy xy( x y )dx 0 0 3 3
2 1
1 Cov( X , Y ) E ( XY ) E( X ) E(Y ) 81
五、协方差
该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时, 不 必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了. 这 给求随机变量函数的期望带来很大方便.
三、随机变量函数的数学期望
定理2 设g (X,Y) 是随机变量X、Y的函数，且
E[g(X,Y)]存在
(1) 如果X、Y是离散型随机变量，联合概率分 布为 pij , i,j=1,2, …，则
(6) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (7) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)
五、协方差
3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
五、协方差
E( X ) E (Y )
xf X ( x )dx x 2 1 x 2 dx 0
1 1
1
yfY ( y )dy y 2 1 y 2 dy 0
E ( X ) xf ( x , y )dxdy
1 dx xdy 0 0 3 1 E (Y ) yf ( x , y )dxdy dx
2(1 x )
G
G 1
0
2(1 x )
0
2 ydy 3
三、随机变量函数的数学期望
g( xk ) pk , X 离散型 k 1 E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx , X 连续型 ห้องสมุดไป่ตู้
4 1
0 .2
( X Y )2
0
9
1
9
4
得 E[( X Y )2 ] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4
5.
三、随机变量函数的数学期望
例11 甲、乙两人相约于某地 在 12 : 00 ~ 13 : 00 会面,
设 X , Y 分别是甲、乙到达的时 间, 且设 X 和Y 相互独 立 , 已知 X , Y 的概率密度分别为 3 x 2 , 0 x 1, 2 y , 0 y 1, f X ( x) fY ( y ) 其他. 0, 其他. 0, 求先到达者需要等待的 时间的数学期望.
D2
dx ( x y )6 x ydy
2 0 0
1
x
dx ( x y )6 x 2 ydy
0 x
1
1
1 1 1 (小时). 12 6 4
四、随机向量的方差
方差的定义
DX Var ( X ) E( X EX )2
DX ( xk EX ) pk
解 X 和 Y 的联合概率密度为
6 x 2 y , f ( x, y) 0, 0 x 1,0 y 1, 其他.
三、随机变量函数的数学期望
E( X Y )
D1
1
0
1
0
x y 6 x 2 y dx dy
( x y )6 x 2 ydxdy ( x y )6 x 2 y dxdy
=E(XY)-E(X)E(Y)
即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X 与 Y 独立， 则Cov(X,Y)= 0 .
五、协方差
例1 已知离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下： 1 0 2 X Y
0 1 2 0.1 0.3 0.15
0.2 0.05
0
0 0.1 0.1
求 Cov( X , Y ). 解 易求得X，Y的概率分布分别为 P ( X 0) 0.3, P ( X 1) 0.45, P( X 2) 0.25
0 x 1
其他
四、随机向量的方差
随机变量( X , Y ) 求：D(2 X 3Y ) 4 xy 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 其他 0
四、随机向量的方差
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
D( X Y ) E{[( X Y ) E ( X Y )]2 } E{[ X E ( X )] [Y E (Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
2 k 1
DX ( x EX )2 f ( x )dx
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 .
二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但 需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公 式求解方差。
c D(2 X 1) cx(1 x) X f ( x) 0
xf ( x , y )dxdy yf ( x , y )dxdy
E (Y )
二、连续型随机向量的数学期望
例2 设(X, Y)服从G上的均匀分布，其中G为xoy平 y 面内由x轴、y轴及 x 1 围城的三角区域. 2 求 E(X)，E(Y). 1, ( x , y ) G 解 f ( x, y ) 0, ( x , y ) G
i 1 i 1
一、离散型随机向量的数学期望
例1 设 ( X , Y ) 的分布律为
Y X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
0.1
求 E ( X ),
解
X p
E (Y ).
1
0 .4
2
0 .2
3
0 .4
得
E ( X ) 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2.
为随机变量X的数学期望(均值)，即
EX 若积分
xf ( x )dx
x f ( x )dx发散，则称X的数学期望不存在.
二、连续型随机变量的数学期望
设(X, Y)为二维连续型随机变量，则
E( X )
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
k 1
一、离散型随机向量的数学期望
定义 设(X , Y )为离散型随机变量，其概率分布律为 P ( X xi , Y y j ) pij , ij 1, 2, 3
E ( X ) EX ( xi pij )
i 1
j 1
E (Y ) EY ( yi pij )
Cov(X,Y), 定义为
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
2. 性质
(1) (2) (3) Cov(X,C)= 0, C为常数 Cov(X,X)= D(X) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
五、协方差
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} (4) Cov(aX+b, Y) = a Cov(X,Y) (5) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 a,b 是常数
数学期望
一、离散型随机向量的数学期望
定义 设X 为离散型随机变量，其概率分布律为 P ( X xk ) pk , k 1, 2, 3
若级数 xk pk 绝对收敛，则称级数 xk pk的和为
k 1 k 1
随机变量X的数学期望(或均值)，记作
E ( X ) EX xk pk
三、随机变量函数的数学期望
例3 设 ( X , Y ) 的分布律为
Y X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
0.1
求 E(Y X ), E[( X Y )2 ]. 解
p
0 .2
0 .1
0 .1
0 .1
0 .1 0 . 3
0 .1
( X ,Y ) (1,1) (1,0) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1) Y X 1 1 1 2 1 2 0 1 3 0
一、离散型随机向量的数学期望
Y 的分布律为
Y p
1
0 .3
0
0 .4
1
0 .3
得 E (Y ) 1 0.3 0 0.4 1 0.3 0.
二、二维连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的密度函数为f ( x ), 如果积分
xf ( x )dx绝对收敛，则称该积分值
解
五、协方差
例2 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为 1 ( x y ), 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y) 3 其他 0, 求Cov(X, Y). 解 E( X )
x f ( x , y )dxdy
2 1
例3 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为 1 , x 2 y 2 1 f ( x, y) 其他 0, 求Cov(X, Y)，并判断X与Y是否相互独立. 1 x 2 1 dy , x 1 2 解 f X ( x ) f ( x , y )dy 1 x 0, 其他 2 2 1 x , x 1 其他 0, 2 1 y 2 , y 1 X与Y不相 同理， fY ( y ) 其他 互独立 0,
E ( Z ) E[ g( X ,Y )] g( xi , y j ) pij
j 1 i 1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度
为 f(x, y)，则 E ( Z ) E[ g( X ,Y )] g( x , y ) f ( x , y )dxdy
2 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 2 E ( XY XEY YEX EXEY ) 2[ E( XY ) EXEY EYEX EXEY ] 2[ E( XY ) EXEY ]
五、协方差
1. 定义 任意两个随机变量X和Y的协方差,记为
P (Y 1) 0.55, P (Y 0) 0.25, P(Y 2) 0.2
从而
E ( X ) 0.95, E(Y ) 0.15
五、协方差
例1 已知离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下： 1 0 2 X Y
0 1 2 0.1 0.3 0.15
0.2 0.05
0
0 0.1 0.1
求 Cov( X , Y ).
E ( XY ) 0 ( 1) 0.1 0 0 0.2 0 2 0 2 2 0.1 0 于是 Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0.95 0.15 0.1425
1 dy x( x y )dx 0 0 3 211 5 y + dy 0 3 3 9 2
五、协方差
例2 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度为 1 ( x y ), 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y) 3 其他 0, 求Cov(X, Y).
三、随机变量函数的数学期望
于是 1 1 1 Y E 1 0.2 0 0.1 1 0.1 0.1 0.1 0 0.3 0.1 2 2 3 X
1 . 15
p
( X ,Y )
0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 . 3 0 .1 (1,1) (1,0 ) (1,1) ( 2,1) ( 2,1) ( 3,0) ( 3,1)
1 11 解 E (Y ) dy y( x y )dx 0 0 3 9 2 11 2 E ( XY ) dy xy( x y )dx 0 0 3 3
2 1
1 Cov( X , Y ) E ( XY ) E( X ) E(Y ) 81
五、协方差
该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时, 不 必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了. 这 给求随机变量函数的期望带来很大方便.
三、随机变量函数的数学期望
定理2 设g (X,Y) 是随机变量X、Y的函数，且
E[g(X,Y)]存在
(1) 如果X、Y是离散型随机变量，联合概率分 布为 pij , i,j=1,2, …，则
(6) Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (7) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)
五、协方差
3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
五、协方差
E( X ) E (Y )
xf X ( x )dx x 2 1 x 2 dx 0
1 1
1
yfY ( y )dy y 2 1 y 2 dy 0
E ( X ) xf ( x , y )dxdy
1 dx xdy 0 0 3 1 E (Y ) yf ( x , y )dxdy dx
2(1 x )
G
G 1
0
2(1 x )
0
2 ydy 3
三、随机变量函数的数学期望
g( xk ) pk , X 离散型 k 1 E (Y ) E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx , X 连续型 ห้องสมุดไป่ตู้
4 1
0 .2
( X Y )2
0
9
1
9
4
得 E[( X Y )2 ] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4
5.
三、随机变量函数的数学期望
例11 甲、乙两人相约于某地 在 12 : 00 ~ 13 : 00 会面,
设 X , Y 分别是甲、乙到达的时 间, 且设 X 和Y 相互独 立 , 已知 X , Y 的概率密度分别为 3 x 2 , 0 x 1, 2 y , 0 y 1, f X ( x) fY ( y ) 其他. 0, 其他. 0, 求先到达者需要等待的 时间的数学期望.
D2
dx ( x y )6 x ydy
2 0 0
1
x
dx ( x y )6 x 2 ydy
0 x
1
1
1 1 1 (小时). 12 6 4
四、随机向量的方差
方差的定义
DX Var ( X ) E( X EX )2
DX ( xk EX ) pk
解 X 和 Y 的联合概率密度为
6 x 2 y , f ( x, y) 0, 0 x 1,0 y 1, 其他.
三、随机变量函数的数学期望
E( X Y )
D1
1
0
1
0
x y 6 x 2 y dx dy
( x y )6 x 2 ydxdy ( x y )6 x 2 y dxdy
=E(XY)-E(X)E(Y)
即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X 与 Y 独立， 则Cov(X,Y)= 0 .
五、协方差
例1 已知离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下： 1 0 2 X Y
0 1 2 0.1 0.3 0.15
0.2 0.05
0
0 0.1 0.1
求 Cov( X , Y ). 解 易求得X，Y的概率分布分别为 P ( X 0) 0.3, P ( X 1) 0.45, P( X 2) 0.25
0 x 1
其他
四、随机向量的方差
随机变量( X , Y ) 求：D(2 X 3Y ) 4 xy 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) 其他 0
四、随机向量的方差
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
D( X Y ) E{[( X Y ) E ( X Y )]2 } E{[ X E ( X )] [Y E (Y )]}2 E[ X E( X )]2 E[Y E(Y )]2 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
2 k 1
DX ( x EX )2 f ( x )dx
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 .
二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但 需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公 式求解方差。
c D(2 X 1) cx(1 x) X f ( x) 0
xf ( x , y )dxdy yf ( x , y )dxdy
E (Y )
二、连续型随机向量的数学期望
例2 设(X, Y)服从G上的均匀分布，其中G为xoy平 y 面内由x轴、y轴及 x 1 围城的三角区域. 2 求 E(X)，E(Y). 1, ( x , y ) G 解 f ( x, y ) 0, ( x , y ) G
i 1 i 1
一、离散型随机向量的数学期望
例1 设 ( X , Y ) 的分布律为
Y X 1 1 2
3
0 1
0.2 0.1
0.1 0 0.1
0 0.3 0.1
0.1
求 E ( X ),
解
X p
E (Y ).
1
0 .4
2
0 .2
3
0 .4
得
E ( X ) 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2.
为随机变量X的数学期望(均值)，即
EX 若积分
xf ( x )dx
x f ( x )dx发散，则称X的数学期望不存在.
二、连续型随机变量的数学期望
设(X, Y)为二维连续型随机变量，则
E( X )
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
k 1
一、离散型随机向量的数学期望
定义 设(X , Y )为离散型随机变量，其概率分布律为 P ( X xi , Y y j ) pij , ij 1, 2, 3
E ( X ) EX ( xi pij )
i 1
j 1
E (Y ) EY ( yi pij )
Cov(X,Y), 定义为
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
2. 性质
(1) (2) (3) Cov(X,C)= 0, C为常数 Cov(X,X)= D(X) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
五、协方差
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} (4) Cov(aX+b, Y) = a Cov(X,Y) (5) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 a,b 是常数