随机变量的数字特征教案
离散型随机变量的数字特征教案
离散型随机变量的数字特征教案一、教学目标1. 理解离散型随机变量的定义及其数学表达式。
2. 掌握离散型随机变量的数学期望、方差和标准差的概念及其计算方法。
3. 能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
二、教学内容1. 离散型随机变量的定义及数学表达式。
2. 离散型随机变量的数学期望的定义及其计算方法。
3. 离散型随机变量的方差的定义及其计算方法。
4. 离散型随机变量的标准差的定义及其计算方法。
5. 离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解离散型随机变量的定义、数学期望、方差和标准差的含义及其计算方法。
2. 利用案例分析法，分析离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论和互动交流，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教学PPT课件。
2. 相关案例材料。
3. 计算器。
五、教学过程1. 导入新课利用实例引入离散型随机变量的概念，引导学生思考如何描述离散型随机变量的数学特征。
2. 知识讲解讲解离散型随机变量的定义及其数学表达式，引导学生理解并掌握离散型随机变量的概念。
讲解离散型随机变量的数学期望的定义及其计算方法，通过例题让学生熟悉数学期望的计算过程。
讲解离散型随机变量的方差的定义及其计算方法，通过例题让学生掌握方差的计算过程。
讲解离散型随机变量的标准差的定义及其计算方法，通过例题让学生理解标准差的概念。
3. 案例分析给出相关案例，让学生运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题，加深学生对方差和标准差的理解。
4. 课堂练习布置一些练习题，让学生巩固所学知识，教师对学生的解答进行指导和点评。
5. 总结与展望对本节课的主要内容进行总结，强调离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
展望离散型随机变量的其他数字特征，如协方差、相关系数等，激发学生的学习兴趣。
教学反思：本节课通过讲解离散型随机变量的定义、数学期望、方差和标准差的含义及其计算方法，使学生掌握了离散型随机变量的数字特征。
离散型随机变量的数字特征教案
离散型随机变量的数字特征教案一、教学目标1. 了解离散型随机变量的数字特征的概念及其重要性。
2. 掌握离散型随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等基本数字特征的计算方法。
3. 能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
二、教学内容1. 离散型随机变量的数字特征概述离散型随机变量的定义数字特征的概念与分类2. 离散型随机变量的期望期望的定义与计算方法期望的性质与意义3. 离散型随机变量的方差方差的定义与计算方法方差的性质与意义4. 离散型随机变量的协方差协方差的定义与计算方法协方差的性质与意义5. 离散型随机变量的相关系数相关系数的定义与计算方法相关系数的性质与意义三、教学方法1. 讲授法：讲解离散型随机变量的数字特征的基本概念、计算方法和性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
3. 互动教学法：引导学生积极参与讨论，提问解答，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、投影仪等教学设备。
五、教学进程1. 引入新课：介绍离散型随机变量的数字特征的概念及其重要性。
2. 讲解离散型随机变量的期望：讲解期望的定义、计算方法、性质与意义。
3. 讲解离散型随机变量的方差：讲解方差的定义、计算方法、性质与意义。
4. 讲解离散型随机变量的协方差：讲解协方差的定义、计算方法、性质与意义。
5. 讲解离散型随机变量的相关系数：讲解相关系数的定义、计算方法、性质与意义。
6. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
7. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
注意：教学进程可根据实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对离散型随机变量数字特征的理解程度。
2. 练习题：布置难易适中的练习题，检验学生对知识的掌握情况。
3. 小组讨论：组织小组讨论，鼓励学生分享自己的理解和思路，培养学生的合作能力。
离散型随机变量的数字特征教案
一、教案简介本教案旨在介绍离散型随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、协方差、相关系数等概念，并通过实例让学生理解并掌握这些概念的应用。
二、教学目标1. 理解离散型随机变量的定义及性质。
2. 掌握离散型随机变量的数学期望的计算方法。
3. 掌握离散型随机变量的方差的计算方法。
4. 理解协方差及相关系数的定义及计算方法。
5. 能够运用数字特征分析实际问题。
三、教学内容1. 离散型随机变量的定义及性质1.1 离散型随机变量的定义1.2 离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的数学期望2. 数学期望2.1 数学期望的定义2.2 数学期望的计算方法2.3 数学期望的性质3. 方差3.1 方差的定义3.2 方差的计算方法3.3 方差的性质4. 协方差4.1 协方差的定义4.2 协方差的计算方法4.3 协方差的性质5. 相关系数5.1 相关系数的定义5.2 相关系数的计算方法5.3 相关系数的性质四、教学方法采用讲授法、案例分析法、互动讨论法等相结合的方式进行教学。
五、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式检验学生对离散型随机变量数字特征的理解程度。
2. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用数字特征进行分析，培养学生的实际应用能力。
4. 期末考试：设置有关离散型随机变量数字特征的题目，全面评估学生对该部分知识的掌握情况。
六、教学准备1. 教材或教参：《概率论与数理统计》、《离散数学》等。
2. 教学PPT：制作涵盖离散型随机变量数字特征的PPT。
3. 案例材料：收集与离散型随机变量数字特征相关的实际案例。
4. 练习题及答案：准备相关的练习题，以便课后巩固所学知识。
七、教学步骤1. 导入新课：通过复习上节课的内容，引出本节课的主题——离散型随机变量的数字特征。
2. 讲授新课：按照教学内容，逐个讲解离散型随机变量的数字特征，并结合实例进行分析。
3. 互动环节：邀请学生上台演示或分享自己选择的实际案例，让大家一起讨论如何运用数字特征进行分析。
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征教案章节一：随机变量的期望值教学目标：1. 理解期望值的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的期望值。
3. 学会计算连续随机变量的期望值。
教学内容：1. 期望值的定义及性质。
2. 离散随机变量的期望值的计算方法。
3. 连续随机变量的期望值的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解期望值的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的期望值的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固期望值的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的期望值。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对期望值的理解和计算能力。
教案章节二：随机变量的方差教学目标：1. 理解方差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的方差。
3. 学会计算连续随机变量的方差。
教学内容：1. 方差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的方差的计算方法。
3. 连续随机变量的方差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解方差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的方差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固方差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的方差。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对方差的理解和计算能力。
教案章节三：随机变量的标准差教学目标：1. 理解标准差的定义及其性质。
2. 学会计算离散随机变量的标准差。
3. 学会计算连续随机变量的标准差。
教学内容：1. 标准差的定义及其性质。
2. 离散随机变量的标准差的计算方法。
3. 连续随机变量的标准差的计算方法。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解标准差的定义及其性质。
2. 采用案例分析法，分析离散随机变量和连续随机变量的标准差的计算方法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固标准差的计算方法。
教学评估：1. 课堂练习：计算给定离散随机变量和连续随机变量的标准差。
离散型随机变量的数字特征教案
一、教案基本信息1. 课程名称：离散型随机变量的数字特征2. 课时安排：2课时（90分钟）3. 教学目标：（1）理解离散型随机变量的数字特征的概念和意义；（2）掌握离散型随机变量的期望、方差、协方差等基本数字特征的计算方法；（3）能够运用数字特征分析实际问题，解决相关问题。
二、教学内容与步骤1. 引入离散型随机变量的数字特征的概念，介绍其重要性（15分钟）2. 讲解离散型随机变量的期望的概念和计算方法，举例说明（30分钟）3. 讲解离散型随机变量的方差的概念和计算方法，举例说明（30分钟）4. 讲解离散型随机变量的协方差的概念和计算方法，举例说明（15分钟）5. 运用数字特征解决实际问题，进行案例分析（10分钟）三、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解离散型随机变量的数字特征的基本概念和计算方法；2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题理解数字特征的应用；3. 利用多媒体课件，生动展示离散型随机变量的数字特征的计算过程和结果。
四、教学评价1. 课堂练习：要求学生在课堂上完成相关的练习题，巩固所学知识（20分钟）2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生独立完成，加深对离散型随机变量的数字特征的理解（40分钟）五、教学资源1. 教材：《概率论与数理统计》等；2. 多媒体课件；3. 相关案例素材；4. 练习题及答案；5. 课后作业及答案；6. 课程报告评价标准。
六、教学内容与步骤6. 讲解离散型随机变量的标准差的概念和计算方法，举例说明（15分钟）7. 讲解离散型随机变量的离散系数的概念和计算方法，举例说明（15分钟）8. 讲解离散型随机变量的偏度和峰度的概念和计算方法，举例说明（15分钟）9. 通过图形（如直方图、密度曲线）展示离散型随机变量的数字特征（15分钟）10. 总结离散型随机变量的数字特征，并强调其在概率论与数理统计中的重要性（10分钟）七、教学方法与手段1. 采用讲授法，讲解离散型随机变量的数字特征的基本概念和计算方法；2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题理解数字特征的应用；3. 利用多媒体课件，生动展示离散型随机变量的数字特征的计算过程和结果；4. 利用图形展示工具，如直方图、密度曲线，展示离散型随机变量的数字特征。
概率论与数理统计教案随机变量的数字特征
概率论与数理统计教案-随机变量的数字特征一、教学目标1. 了解随机变量的数字特征的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等基本数字特征的计算方法。
3. 能够运用随机变量的数字特征解决实际问题，提高数据分析能力。
二、教学内容1. 随机变量的期望1.1 期望的定义与性质1.2 离散随机变量的期望1.3 连续随机变量的期望2. 随机变量的方差2.1 方差的定义与性质2.2 离散随机变量的方差2.3 连续随机变量的方差3. 随机变量的协方差与相关系数3.1 协方差的定义与性质3.2 离散随机变量的协方差3.3 连续随机变量的协方差3.4 相关系数的定义与性质3.5 离散随机变量的相关系数3.6 连续随机变量的相关系数三、教学方法1. 采用讲授法，系统讲解随机变量的数字特征的理论知识。
2. 利用案例分析法，让学生通过实例理解随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
3. 运用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高课堂氛围。
4. 利用数理统计软件，演示随机变量的数字特征的计算过程，增强学生的实践操作能力。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
3. 数理统计软件（如Excel、R、Python等）。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机变量的数字特征的基本概念的理解。
2. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用随机变量的数字特征进行分析和解决，培养学生的实际应用能力。
4. 期末考试：评估学生对随机变量的数字特征的掌握程度。
六、教学内容4. 随机变量的偏度和峰度4.1 偏度的定义与性质4.2 离散随机变量的偏度4.3 连续随机变量的偏度4.4 峰度的定义与性质4.5 离散随机变量的峰度4.6 连续随机变量的峰度5. 随机变量的标准化5.1 标准化的定义与方法5.2 离散随机变量的标准化5.3 连续随机变量的标准化七、教学重点与难点1. 随机变量的期望、方差、协方差、相关系数、偏度和峰度的计算方法。
概率论与数理统计教案 第4章 随机变量的数字特征
第4章 随机变量的数字特征教学要求1．理解随机变量的数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，掌握用数字特征的定义、常用计算公式及基本性质计算具体分布的数字特征.2．掌握利用随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数字期望[])(X g E ，掌握利用随机变量X 和Y 的联合分布求其函数),(Y X g 的数学期望[]),(Y X g E .3．理解X 与Y 不相关的概念，掌握X 与Y 独立和不相关的关系与判定方法.4．掌握六个常用分布的数学期望和方差，理解二维正态分布中5个参数的意义.5．了解原点矩、中心矩、协方差矩阵的概念.6．了解n 维正态随机变量的四个性质.教学重点数学期望、方差的概念与性质及其应用，用数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的定义、常用计算公式及性质计算具体分布的数字特征.教学难点协方差、相关系数概念的理解.课时安排本章安排6课时.教学内容和要点一、 数学期望1.离散型随机变量数学期望2.连续型随机变量数学期望3.随机变量的函数数学期望4.常用分布的数学期望5.数学期望的性质二、 方差1.方差的概念2.方差的计算3.常用分布的方差4.方差的性质5.随机变量的标准化三、协方差和相关系数1.协方差的定义与性质2.相关系数的定义与性质四、矩与协方差矩阵1.矩与协方差矩阵的概念2. n 维正态分布主要概念1.数学期望（离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望）2.方差 、标准差3.标准化随机变量4.协方差5.相关系数X Y不相关6.,7.矩8.协方差矩阵。
随机变量的数字特征教案
第四章随机变量的数字特征一．教学目标及基本要求（1）理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；（2）掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
（3）熟记0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望和方差；（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。
二．教学内容数学期望离散型、连续型随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的应用、数学期望的性质方差方差的概念及计算、方差的性质、常见分布的数学期望及方差简单归纳协方差与相关系数矩和协方差矩阵三．本章教学内容的重点和难点a)数学期望、方差的具体含义；b)数学期望、方差的性质，使用性质简化计算的技巧；特别是级数的求和运算。
c)期望、方差的应用；四．本章教学内容的深化和拓宽将数学期望拓展到数学期望向量和数学期望矩阵；协方差及相关系数概念和公式拓宽到n维随机变量的协方差矩阵和相关系数矩阵。
五．教学过程中应注意的问题a)一个随机变量并不一定存在数学期望和方差，也有可能数学期望存在，而方差不存在，如柯西分布是最著名的例子；b)数学期望的一个具体的数字，不是函数；c) 由方差的定义知，方差是非负的；d) 独立性和不相关性之间的关系，一般地，X 与Y 独立，则X 与Y 不相关，反之则不然，但对于正态分布，两者却是等价的；六．思考题和习题思考题：1. 假定一个系统由5个电子元件组装而成，假定它们独立同服从于指数分布，将它们串接起来，求系统的平均寿命，若将它们并行连接，其系统的平均寿命是多少？并比较其优劣。
2. 方差的定义为什么不是||E X EX -？3. 工程上经常遇到计算误差，它是否与方差是同一个概念？ 4．协方差与相关系数有什么本质上的区别？5．随机变量X 与Y 独立可以推导cov(,)0X Y =，反之呢？对正态分布又如何呢？§4.1数学期望一、数学期望的概念数学期望又称均值，是反映随机变量平均状况的数字特征。
离散型随机变量的数字特征教案
离散型随机变量的数字特征教案一、教学目标1. 理解离散型随机变量的概念及其数学表达。
2. 掌握离散型随机变量的数学期望、方差和标准差等数字特征的定义与计算方法。
3. 能够运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
二、教学内容1. 离散型随机变量的概念及其数学表达。
2. 离散型随机变量的数学期望的定义与计算方法。
3. 离散型随机变量的方差的定义与计算方法。
4. 离散型随机变量的标准差的定义与计算方法。
5. 离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法讲解离散型随机变量的概念、数学期望、方差和标准差的定义与计算方法。
2. 通过例题分析法，分析离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论法，让学生互相交流离散型随机变量的数字特征的理解和应用。
四、教学准备1. 教学PPT课件。
2. 相关离散型随机变量的数字特征的例题和练习题。
五、教学过程1. 引入离散型随机变量的概念，通过具体例子让学生理解离散型随机变量的数学表达。
2. 讲解离散型随机变量的数学期望的定义与计算方法，结合例题进行解释和演练。
3. 讲解离散型随机变量的方差的定义与计算方法，结合例题进行解释和演练。
4. 讲解离散型随机变量的标准差的定义与计算方法，结合例题进行解释和演练。
5. 组织小组讨论，让学生应用离散型随机变量的数字特征解决实际问题，并分享解题过程和结果。
6. 总结本节课的主要内容和知识点，强调离散型随机变量的数字特征的重要性和应用价值。
教学反思：本节课通过讲解离散型随机变量的数字特征的定义和计算方法，让学生掌握了离散型随机变量的数学期望、方差和标准差的计算和应用。
通过例题分析和小组讨论，学生能够更好地理解和运用离散型随机变量的数字特征解决实际问题。
教学中，注意引导学生积极参与，提问和解答问题，提高学生的学习兴趣和参与度。
通过练习题的训练，巩固学生对离散型随机变量的数字特征的掌握程度。
六、教学评估1. 通过课堂提问，检查学生对离散型随机变量概念的理解程度。
(完整word版)概率论与数理统计教案第四章(word文档良心出品)
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解随机变量方差的定义及方差的概率含义
熟悉方差的性质
掌握随机变量的方差计算公式
熟练常用随机变量的方差
教 学 基 本 内 容
一、基本概念:
1.方差和标准差的定义
设是一个随机变量,如果存在,则称
为随机变量 的方差。称方差 的算术平方根
为随机变量 的标准差。
二、方差的性质
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第二节方差和标准差
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方差的定义及求解,方差的性质
教学难点
方差的性质及其与期望性质的比较
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
2.变异系数
随机变量的数学期望, 方差存在, 那么称
为随机变量 的变异系数。
3. 连续型随机变量的分位数和中位数
设连续型随机变量的分布函数为, 密度函数为,, 则称为的分布的分位数。特别地, 当时, 称为中位数。
4、众数
当为离散型随机变量时, 假定的分布律为。如果存在实数, 使得。那么, 称为（或所服从的分布）的众数。
90
100
乙班分数
40
60
70
80
90
100
人数
2
9
18
9
2
人数
3
1
8
13
8
7
频率
频率
甲、乙两班概率统计的平均成绩是一样的,现选出一个班级参加比赛,应选哪个班级？
概率论与数理统计讲义第三章随机变量的数字特征
概率论与数理统计讲义第三章随机变量的数字特征第三章随机变量的数字特征【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】4学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质。
2、会计算随机变量函数的数学期望。
3、了解协方差、相关系数的概念。
【本章重点】对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。
【本章难点】对不相关与相互独立间关系的理解。
【授课内容及学时分配】§3.0 前言从上一章我们可以看出，分布函数（或密度函数、分布列）给出了随机变量的一种最完全的描述。
因此，原则上讲，全面认识和分析随机现象就应当求出随机变量的分布，但是对许多实际问题来讲，要想精确地求出其分布是很困难的。
其实，通过对现实问题的分析，人们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布，而只要求掌握他们的某些重要特征，这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。
例如要评价两个不同厂家生产的灯泡的质量，人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些，而不需要知道其寿命的完全分布，同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等，这些数据反映了它在某些方面的重要特征。
我们把刻划随机变量(或其分布)某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。
本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度以及随机变量之间的线性相依程度的数字特征——数学期望、方差与相关系数（矩）。
§3.1 随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望引例：甲、乙二人进行射击比赛，以、分别表示他们命中的环数，其分布列分别为～～试问谁的技术好些?解：这个问题的答案并不是一眼看得出的。
这说明了分布列虽然完整地描述了离散型随机变量的概率特征，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况，因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。
若在上述问题中，使两个射手各射N枪，则他们打中靶的总环数大约是：甲 8N+90.1N+100.6N=9.3N乙 80.2N+90.5N+100.3N=9.1N平均起来甲每枪射中9.3环，乙每枪射中9.1环，因此可以认为甲射手的本领要好些。
第四节 随机变量的数字特征
教学过程
主要教学内容及步骤
1、任务目标
能力目标：会求数学期望与方差
知识目标：理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算；掌握二项分布、柏松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差
德育目标：提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心；培养学生锲而不舍的钻研精神和科学态度。
从而在一次射击中，该射手平均命中的环数为
(环)
它是 的可能取值与对应概率的乘积之和.由此引进定义。
二、讲解新课
第四节随机变量的数字特征
（一）数学期望
1、离散型随机变量的数学期望
定义6.17：设 为一离散型堕机变量，其分布列为 , ，若级数 绝对收敛，则称这级数为 的数学期望，简称期望或均值.
记为 =
以讲授法为主，结合运用练习法和引导探究法，
一、教学过程
0 5 6 7 8 9 10
0 0.05 0.05 0.1 0.1 0.2 0.5
经过长期观察积累，某射手在每次射击中命中的环数 服从分布：
（其中0表示脱靶）
一种很自然的考虑是：假定该射击手进行了100次射击，那么，约有5次命中5环，5次命中6环，10次命中7环，10次命中8环，20次命中9环，50次命中10，没有脱靶的.
更新、补
充、删减
内容
无
课外作业
书本 2，5，7，9
教学后记
授课主要内容或板书设计
第四节随机变量的数字特征
1、离散型随机变量的数学期望
定义6.17： =
2、连续型随机变量的期望
定义6.18：设连续型随机变量X的概率密度为 ，若广义积分 绝对收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为 ，即 =
离散型随机变量的数字特征教案
2.2.离散型随机变量的数字特征
曹婷娟【教学目标】
1. 理解均值与方差的意义；通过样本数据的均值与方差的特性了解离散型随机变量的数字特征并灵活运用。
2.体会数学知识之间的通性及思维的换位思考，提高运算能力和逻辑思维能力。
【教学重点】
重点：分析样本数据均值与方差的运算过程并总结出来离散型随机变量的数字特征难点：对离散型随机变量的数字特征的熟练运用
【教学方法】
本节课主要采用实例分析法，引导学生自主思考，总结，归纳出新知识。
【教学过程】
. .。
随机变量的数字特征 教案
129第四章 随机变量的数字特征确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.§1 数学期望1.1 数学期望的概念在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即平均抗拉强度1(110120212531302135140)10=+⨯+⨯+⨯++⨯123211110120125130135140101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 126=.从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X ，其可能取值为12,,,n x x x ，如果将这n 个数相加后除n 作为“均值”是不对的.因为X取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.经以上分析，我们可以给出离散型随机变量数学期望的一般定义.1.离散型随机变量的数学期望130定义 1.1 设X 为一离散型随机变量，其分布律为{}k kP X x p ==（1,2,k = ），若级数1kk k xp ∞=∑绝对收敛，则称此级数之和为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值.记为()E X ，即1()kk k E X xp ∞==∑ （1.1）例 1.2. 某人从n 把钥匙中任取一把去试房门，打不开则除去，另取一把再试直至房门打开.已知钥匙中只有一把能够把房门打开，求试开次数的数学期望.解 设试开次数为X ，则分布律为1{},1,2,,P X k k n n=== ， 从而111(1)1()22nk n n n E X k n n =++=⋅=⋅=∑. 例1.3 设随机变量(,)X B n p ，求()E X .解 因为{}C (1)k kn k k n p P X k p p -===- (0,1,,)k n = ，11!()C (1)(1)(1)!()!nnnkkn kk n k k nk k k n E X kp k p p p p k n k --=====-=---∑∑∑11(1)11(1)!(1)(1)![1(1)]![(1)]nk n k k n n np p p k n k np p p np----=--=-----=+-=∑例1.4 设随机变量()X P λ ，求()E X . 解 因为()X P λ ，有131{}!kP X k e k λλ-==0,1,2,,k = （）因此11()!(1)!kk k k E X eee e k k λλλλλλλλλ-∞∞---=====⋅=-∑∑.我们可以类似地给出连续型随机变量数学期望的定义，只要把分布律中的概率k p 改为概率密度()f x ，将求和改为求积分即可.因此，我们有下面的定义.2 . 连续型随机变量的数学期望定义1.2 设X 为一连续型随机变量，其概率密度为()f x ，若广义积分()d xf x x +∞-∞⎰绝对收敛，则称广义积分()d xf x x +∞-∞⎰的值为连续型随机变量X 的数学期望或均值，记为()E X ，即 ()()d E X xf x x +∞-∞=⎰. （1.2）例1.5 设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩，其他，求()E X .解 依题意，得，12()()d 2d 3E X xf x x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰. 例1.6 设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，求()E X . 解 依题意，X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其他， 因此1321()()d d 2baa b E X xf x x x x b a +∞-∞+==⋅=-⎰⎰. 例1.7 设随机变量X 服从λ为参数的指数分布，求()E X . 解 依题意， X 的概率密度为e ,0,()0,0x x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，因此1()()d e d x E X xf x x x x λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰.例1.8 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，求()E X .解 由于22()2()x f x m s --= ()x -?<+?因此()()d E X xf x x x+∞+∞-∞-∞==⎰⎰2()2d x x m s --22()()ed t x t t t 令m s m s+?--?-==+22e d t t m +?--?==.例1.9 已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)12e ,0,0,(,)0,x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他， 求()E X .解 由第三章例3.2的结果关于X 的边缘概率密度为33e ,0,()0,0x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，133即(3)X E ,因此1()3E X =. 1.2 随机变量函数的数学期望定理1.1 设随机变量Y 是随机变量X 的函数， ()Y g X =（其中g 为一元连续函数）.（1）X 是离散型随机变量，概率分布律为{}k k P X x p ==， 1,2,k = ，则当无穷级数1()kkk g x p∞=∑绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑; （1.3）（2）X 是连续型随机变量，其概率密度为()f x ，则当广义积分()()d g x f x x +?-?ò绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为()[()]()()d E Y E g X g x f x x +∞-∞==⎰.（1.4） 这一定理的重要意义在于，求随机变量()Y g X =的数学期望时，只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，无需求Y 的分布，这给我们计算随机变量函数的数学期望提供了极大的方便.定理的证明超出了本书的范围，下面我们仅就连续型随机变量，且()Y g X =单调的情形给出证明.证明 第二章定理4.2给出了随机变量Y 的概率密度[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ⎧⎪⎨⎪⎩'<<=，其他.其中)(x f X 为随机变量X 概率密度，函数)(x g y =是处处可导的严格单134调函数，它的反函数为)(y h x =，则有()()d Y E Y yf y y +∞-∞=⎰[()]|()|d X yf f y h y y βα'=⎰.当()0h y '>时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα+∞-∞'==⎰⎰，当()0h y '<时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα-∞+∞'=-=-⎰⎰()()d X g x f x x +∞-∞=⎰.例1.10 设离散型随机变量X 的分布律为求随机变量232Y X =-的数学期望.解 依题意，可得，22()[3(1)2]0.1(302)0.3E Y =⨯--⨯+⨯-⨯2(312)0.4+⨯-⨯2(322)0.2+⨯-⨯1.9=.例1.11 随机变量X (0,1)N ，求2Y X =的数学期望. 解 依题意，可得22()()()d E Y E X x f x x +∞-∞==⎰222d x x x +∞--∞=⎰22dexx+∞--∞=2222e e dx xx x+∞+∞---∞-∞⎛⎫⎪=-⎪⎭⎰22e d1xx+∞--∞==例 1.12 国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X（单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布，已知每售出1吨商品，可挣得外汇3万元;若售不出去而积压，则每吨商品需花费库存费等共1万元，问需要组织多少货源，才能使国家受益期望最大？解设组织货源t吨，[2000,4000]tÎ，受益为随机变量Y（单位：万元），按照题意Y是需求X的函数3(),,()3,,X t X X tY g Xt X t当当ì--<ïï==íï³ïîX的概率密度为1,20004000()20000,xf xìïï＃ï=íïïïî其它.由（1.4），得()[()]()()dE Y E g X g x f x x+?-?==ò400020001{[3()]d3d}2000ttx t x x t x=--+蝌21[2140008000000]2000t t=-+-当3500t=时()E Y达到最大值，也就是说组织货源3500吨时国家的期望受益最大.135136例1.13 柯西分布211()1f x x π=+()x -∞<<+∞的数学期望由于21||d (1)x x x π+∞-∞=+∞+⎰，所以不存在.上述的定理可以推广到两个或两个以上随机变量的函数上去，我们有下面的定理.定理 1.2 设随机变量Z 是随机变量(,)X Y 的函数，(,)Z g X Y =,其中g 为二元连续函数，则（1）如果(,)X Y 为二维离散型随机变量,其分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ,1,2,i j = ,且11(,)ijijj i g x y p∞∞==∑∑绝对收敛，则随机变量(,)Z g X Y =的数学期望为11()[(,)](,)i j ij j i E Z E g X Y g x y p ∞∞====∑∑；（1.5） （2）如果(,)X Y 为二维连续型随机变量时，概率密度为(,)f x y ,且(,)(,)d d g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则随机变量(,)Z g X Y =的数学期望为()[(,)](,)(,)d d E Z E g X Y g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞==⎰⎰. （1.6）例1.14 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为137求()E XY 和()E Z ，其中max(,)Z X Y =.解 依题意，可得()000.1010.3100.4110.20.2E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=; ()00.110.90.9E Z =⨯+⨯=.例1.15 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为212,01,(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他， 求（1）()E XY ；（2）2()E X .解 （1）由公式（1.6）得，1201()(,)d d d (12)d 2xE XY xy f x y x y x x y y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰, （2）将2X 看成是函数(,)Z g X Y =的特殊情况，从而利用公式（1.6）进行求解，即12222002()(,)d d d 12d 3xE X x f x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.需要说明的是：本题在求解2()E X 时，也可以先求出(,)X Y 关于X 的边缘概率密度，再利用公式22()()d X E X x f x x +∞-∞=⎰，求解2()E X （请读者自行完成）.例 1.16 一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从[10,20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，计算经销此商品每周所获得平均利润.解 设Z 表示商店每周所获利润，依题意1000,,(,)1000500(),,Y Y X Z g X Y X Y X Y X ì£ïï==íï+->ïî138由于(,)X Y 的概率密度为1,1020,1020(,)1000,xy f x y ，其他，ìïï＃＃ï=íïïïî所以20201010()(,)(,)d d E Z g x y f x y x y =蝌20202010101011d 1000d d 500()d 100100yyyy xyx y x =?+?蝌蝌 202021010310(20)d 5(1050)d 2y y y y y y =-+--蝌 200005150014166.673=+椿（元）. 1.3 数学期望的性质设C 为常数，随机变量X ,Y 的数学期望都存在.关于数学期望有如下性质成立：性质1.则()E X C =； 性质2.()()E CX CE X =； 性质3.()()()E X Y E X E Y +=+;性质4. 如果随机变量X 和Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =. 这里只就连续型随机变量的情形对性质3和性质4给出证明，对于离散型随机变量情况，请读者自行完成.证明：设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度为()X f x 和()Y f y ，则有()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰(,)d d xf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)d d yf x y x y +∞+∞-∞-∞+⎰⎰139(,)d d x f x y y x +∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)d d y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰()d X xf x x +∞-∞=⎰()d Y yf y y +∞-∞+⎰()()E X E Y =+.如果X 和Y 相互独立，则(,)f x y =()X f x ()Y f y ，有()(,)d d E XY xyf x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()d d X Y xyf x f y x y +∞-∞=⎰()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⋅⎰⎰()E XY =例1.17 设两个随机变量X 和Y ，设2()E X 和2()E Y 都存在，证明： 222[()]()()E XY E X E Y ≤ （1.7） 这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy Schwarz -）不等式证明 对于任意实数t ，令2()[()]g t E X tY =+ 由数学期望的性质，有2222[()](2)E X tY E X tXY t Y +=++ 222()2()()E X tE XY t E Y =++ 因此 222()()2()()g t E X tE XY t E Y =++由于()0g t ≥，上述关于t 的二次函数的判别式小于或等于0.即 2224[()]4()()0E XY E X E Y ∆=-≤140因此 222[()]()()E XY E X E Y ≤例1.18 设随机变量X 和Y 相互独立，且各自的概率密度为33,0,()0,x X e x f x -⎧>=⎨⎩其他， 44,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他， 求()E XY .解 由性质3得()()()E XY E X E Y =()d ()d X Y xf x x yf y y +∞+∞-∞-∞=⨯⎰⎰3403d 4d xy xe x ye y +∞+∞--=⨯⎰⎰1113412=⨯=. 例1.19 将n 个球随机放入M 个盒子中去，设每个球放入各盒子是等可能的，求有球盒子数X 的期望.解 令随机变量1,1,2,,0,i i X i M i ⎧==⎨⎩第个盒子有球，第个盒子无球，显然有 1Mii X X==∑.对于第i 个盒子而言，每只球不放入其中的概率为11M⎛⎫-⎪⎝⎭，n 个球都不放入的概率为11nM ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此1{0}1ni P X M ⎛⎫==- ⎪⎝⎭1{1}11n i P X M ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭141由于 1()1{1}0{0}11ni i i E X P X P X M ⎛⎫=⨯=+⨯==-- ⎪⎝⎭由数学期望的性质，可以得到11()()11nMi i E X E X M M =⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.§2 方差2.1 方差及其计算公式数学期望体现了随机变量所有可能取值的平均值，是随机变量最重要的数字特征之一.但在许多问题中只知道这一点是不够的，还需要知道与其数学期望之间的偏离程度.在概率论中，这个偏离程度通常用2{[()]}E X E X -来表示，我们有下面关于方差的定义． 定义2.1 设X 为一随机变量，如果随机变量2[()]X E X -的数学期望存在，则称之为X 的方差，记为()D X ，即2{[()]}D X E X E X =-（） （2.1）为随机变量X 的标准差或均方差，记作()X σ . 由定义2.1可知，随机变量X 的方差反应了X 与其数学期望()E X 的偏离程度，如果X 取值集中在()E X 附近，则方差()D X 较小；如果X 取值比较分散，方差()D X 较大.不难看出，方差()D X 实质上是随机变量X 函数2[()]X E X -的数学期望．如果X 是离散型随机变量，其概率分布律为{}k k P X x p ==， 1,2,k = ，142则有 221{[()]}[()].kk k D X E X E X xE X p ∞==-=-∑（）如果X 连续型随机变量，其概率密度为()f x ，则有22{[()]}[()]()d .D X E X E X x E X f x x +∞-∞=-=-⎰（）根据数学期望的性质，可得2{[()]}D X E X E X （）=-22{2()[()]}E X X E X E X =-?22()2()()[()]E X E X E X E X =-?22()[()]E X E X =- ．即 22()()[()]D X E X E X =- （2.2） 这是计算随机变量方差常用的公式例2.1X 求D X （）.解 因为(1)0.100.310.420.20.7EX =-⨯+⨯+⨯+⨯=（）， 22222()(1)0.100.310.420.2 1.3E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=，222()[()] 1.30.70.81D X E X E X =-=-=（）．例2.2 设(,)X B n p ，求D X （）.解 ()E X np =，令1q p =-，143220()C nk k n knk E X k p q -==å 1![(1)]!()!nk n k k n k k k p q k n k -==-+-å22(2)(2)1(1)(2)!(1)(1)!()!nk n k k n n n k p p qk n k ----=--=---å1!(1)!()!nk n k k n p q k n k -=+--å 22(2)(2)2(2)!(1)()(2)!()!nk n k k n n n pp q E X k n k ----=-=-+--å 2(1)n n p np =-+，所以 22222()[()](1)D X E X E X n n p np n p npq （）=-=-+-=．例2.3 设()X P λ ，求D X （）.解 ()E X l =2201e e ()[(1)1]!(1)!k k k k E X k k k k lll l --ゥ====-+-邋 2221ee (2)!(1)!k kk k k k ll l l l -ゥ--==×=??--邋2ll =+所以 22().D X （）ll l l =+-=例2.4 设随机变量X 服从几何分布()X G p ，即 1{},1,2,k P X k pqk -===144其中01,1p q p <<=-，求(),().E X D X解 1111()k k k k E X kpqp kq ∞∞--====∑∑由于1,011k k q q q∞==<<-∑， 对此级数逐项求导，得1001d d d d k k k k k k q q kq q q ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑， 因此121d 11d 1(1)k k kq q q q ∞-=⎛⎫== ⎪--⎝⎭∑， 从而211()(1)E X p q p=⋅=-。
7.3离散型随机变量的数字特征-人教A版高中数学选择性必修第三册(2019版)教案
7.3 离散型随机变量的数字特征-人教A版高中数学选择性必修第三册（2019版）教案一、教学目标1.掌握离散型随机变量的数学期望、方差的定义，并能计算；2.了解离散型随机变量的矩和矩母函数的概念和基本性质，并能应用到实际问题中。
二、教学重点和难点重点1.离散型随机变量的数学期望的概念和求解方法；2.离散型随机变量的方差的概念和求解方法；3.离散型随机变量的矩和矩母函数的概念和求解方法。
难点1.离散型随机变量的矩和矩母函数的定义和性质；2.离散型随机变量的方差的计算方法。
三、教学内容和教学步骤教学内容1.离散型随机变量的数学期望；2.离散型随机变量的方差；3.离散型随机变量的矩和矩母函数。
教学步骤1. 离散型随机变量的数学期望1.用实例引入离散型随机变量的数学期望的概念；2.给出离散型随机变量数学期望的定义；3.讲解随机变量的数学期望的计算公式；4.给出计算离散型随机变量数学期望的实例。
2. 离散型随机变量的方差1.用实例引入离散型随机变量的方差的概念；2.给出离散型随机变量方差的定义；3.讲解随机变量的方差的计算公式；4.给出计算离散型随机变量方差的实例。
3. 离散型随机变量的矩和矩母函数1.用实例引入离散型随机变量的矩和矩母函数的概念；2.给出离散型随机变量的矩和矩母函数的定义；3.讲解离散型随机变量的矩和矩母函数的特点；4.给出计算离散型随机变量矩和矩母函数的实例。
四、教学方法本节课采用讲授与实例分析相结合的教学方法，通过实际问题引导学生理解离散型随机变量的数字特征，同时进行计算实例分析，提高学生对知识的掌握和应用能力。
五、教学评估1.给出若干实例，要求学生计算离散型随机变量的数学期望和方差；2.让学生根据所学理论，自行设计计算离散型随机变量的数学期望和方差的实例；3.在课堂上让学生自行设计计算离散型随机变量矩和矩母函数的实例，进行分组讲解和比较。
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§2.3.1随机变量的数字特征（二）
学习目标
1．熟练掌握均值公式及性质．
2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．
学习过程
【任务一】双基自测
1．分布列为
的期望值为 ( ) A ．0
B ．－1
C ．－13
D ．12
2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于
( )
A ．35
B ．40
C ．30
D ．15
3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p )
B ．Np
C ．n
D ．p (1－p )
4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________
【任务二】题型与解法
题型一 二项分布的均值
例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分
100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．
跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．
题型二超几何分布的均值
例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：
凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率；
（2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？
跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．
题型三综合应用问题
例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3 800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施．
试比较哪一种方案好．
跟踪训练3 在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A ，B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1 000元，答对问题B 可获奖金2 000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A ，B 的概率分别为12，14.
（1）记先回答问题A 的奖金为随机变量X ，则X 的取值分别是多少？ （2）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．
【任务三】课后作业：
1．某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是
( )
A ．np (1－p )n
B ．n p
C ．n
D ．np (1－p )
2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向
上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()
A．20 B．25 C．30 D．40 3．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是________元．
4．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：
（1）抽取次数X的分布列；（2）平均抽取多少次可取到好电池．
5.一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( )A ．1
3 B
．
1
2
C ．16
D ．56
6.某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为
7.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，1
4，则此密码能译出的概率是( ) A ．1
60 B ．25 C ．35
D ．5960
8.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者
中，恰有一人中奖的概率为 ( )A ．C 3
10×0.72×0.3 B ．C 13×0.72×0.3 C ．310 D ．3A 27·A 1
3
A 310
9.知函数2()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点．
(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间； (Ⅲ) 若函数()y f x =有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．。