随机变量的数字特征教案

§2.3.1随机变量的数字特征（二）

学习目标

1．熟练掌握均值公式及性质．

2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．

学习过程

【任务一】双基自测

1．分布列为

的期望值为 ( ) A ．0

B ．－1

C ．－13

D ．12

2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于

( )

A ．35

B ．40

C ．30

D ．15

3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p )

B ．Np

C ．n

D ．p (1－p )

4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________

【任务二】题型与解法

题型一 二项分布的均值

例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分

100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．

跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．

题型二超几何分布的均值

例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：

凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：

试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率；

（2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？

跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．

（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；

（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E(ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．

题型三综合应用问题

例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3 800元．

方案2：建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水．

方案3：不采取措施．

试比较哪一种方案好．

跟踪训练3 在湖南卫视的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A ，B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1 000元，答对问题B 可获奖金2 000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A ，B 的概率分别为12，14.

（1）记先回答问题A 的奖金为随机变量X ，则X 的取值分别是多少？ （2）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．

【任务三】课后作业：

1．某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是

( )

A ．np (1－p )n

B ．n p

C ．n

D ．np (1－p )

2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向

上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是()

A．20 B．25 C．30 D．40 3．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

则该公司一年后估计可获收益的期望是________元．

4．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：

（1）抽取次数X的分布列；（2）平均抽取多少次可取到好电池．

5.一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( )A ．1

3 B

．

1

2

C ．16

D ．56

6.某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为

7.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，1

4，则此密码能译出的概率是( ) A ．1

60 B ．25 C ．35

D ．5960

8.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者

中，恰有一人中奖的概率为 ( )A ．C 3

10×0.72×0.3 B ．C 13×0.72×0.3 C ．310 D ．3A 27·A 1

3

A 310

9.知函数2()4ln 6f x x ax x b =+-+（a ，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点．

(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间； (Ⅲ) 若函数()y f x =有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．