2018年高考南通市数学学科基地密卷

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江苏省南通基地高考数学密卷(6)理(最新整理)

江苏省南通基地2018年高考数学密卷(6）理第Ⅰ卷（必做题,共160分）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝错误!－i 3，其中i 虚数单位,则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180,1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>纵坐标为1的一点到焦点的距离为4,焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图,则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么,两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则｜错误!＋t 错误!｜的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x ax=+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列｛a n ｝满足a 1＝错误!,a 2＝错误!,且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则错误!＋错误!＋…＋错误!的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x ef x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=,且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分． 15．（本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =,1n =-，且()λ⊥+a a b ,求实数λ的值；（2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．（本小题满分14分）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1；（2）求证:AD //平面1MBC ．BA B 1A 1C 1MCFDD 117．（本小题满分16分)如图,设椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0），离心率e ＝错误!，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝错误!．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点,当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．(本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米(其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=．（1）设AE x =米,AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域; （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低． C19．（本小题满分16分)已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷7理

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（7）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数（是虚数单位），若是实数，则实数的值为▲．2．在平面直角坐标系Oy中，角的始边为射线O，点在其终边上，则的值为▲．3．设全集U是实数集R，，，则图中阴影部分所表示的集合为▲．4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中最多有▲人能报考A专业．5．袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为▲．6．执行如图所示的算法，则输出的结果是▲．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一个焦点为，则该双曲线的离心率为▲．8．现用一半径为10 cm，面积为80cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为▲cm3．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足AE→＝2ED→，DF→＝FC→，则的值为▲．10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若满足a4 + 3a11= 0，则= ▲．11．在平面直角坐标系Oy中，已知直线被圆截得的弦长是定值（与实数m无关），则实数的值为▲．12．在△ABC中，，，则的值为▲．13．设F是椭圆＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭圆上移动．则当AF·BF取得最大值时，a的值是▲．14．设函数，其中．若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在△中，为锐角，且．（1）若，，求的长；（2）若，求的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC平面PDE．（1）求证：平面PBC；（2）若平面PCD⊥平面ABC，求证：平面PAB⊥平面PCD．17．(本小题满分14分设，，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1 m，与间的距离是2 m，△ABC的三个顶点分别在，，．（1）如图1，△ABC为等边三角形，求△ABC的边长；（2）如图2，△ABC为直角三角形，且为直角顶点，求的最小值．BC Al3l2l1图1 BCl3l2l1图2A18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系Oy中，设P为圆：上的动点，过P作轴的垂线，垂足为Q，点M满足．Array（1）求证：当点P运动时，点M（2）过点T作圆的两条切线，切点分别为A，B．①求证：直线AB过定点（与无关）；②设直线AB与（1）中的椭圆交于C，D（第18题）19．(本小题满分16分)设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，．（1）设数列其前项和为，，．①若，，求的值；②若数列为等差数列，求；（2）求证：数列中存在三项（按原;的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数，．（1）若直线与的图象相切，求实数的值；（2）设函数，试讨论函数在上的零点个数；（3）设，且，求证：．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形是圆的内接四边形，，、的延长线交于点．求证：平分．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵所对应的变换把直线：变换为自身，求实数的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线：（t 为参数）恒经过椭圆C ：（为参数）的右焦点，求实数的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 设均为正数，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为，其中，c 为常数．（1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分)已知数列满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．【答案】0【解析】是实数，则．2．【答案】【解析】根据三角函数定义，．3．【答案】【解析】图中阴影部分所表示的集合为，即为．4．【答案】18【解析】校A专业对视力要求不低于0.9的学生数为45．5．【答案】【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为．6．【答案】2【解析】根据循环，依次得到的值分别为；，…，，因为，所以最后的输出结果为2．7．【答案】【解析】由题意，，即，所以双曲线为，所以离心率为． 8．【答案】【解析】设圆锥底面半径为，高为，由题意，，得．所以，容积为． 9．【答案】因为，；，那么． 10．【答案】【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知，所以． 11．【答案】【解析】由得，，则圆心到直线的距离为，设截得的半弦长为，则（与实数m 无关），所以，． 12．【答案】1【解析】由得，，即，所以，所以．13．【答案】 83或 3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′．则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AF ·BF ≤(AF ·BF 2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝ 3．14．【答案】【分析】当时，的图象相切；时，的图象均过点，，故唯一的正整数，同时，从而．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．(本小题满分14分)解：（1）因为，，所以．……3分在△中，由余弦定理得，，解得，所以的长为．……6分（2）由（1）知，，……8分所以．……11分在△中，，所以．……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC平面PDE，BC平面ABC，平面PDE平面ABC=DE，所以BC∥DE. ……3分因为DE平面PBC，BC平面PBC，所以平面PBC．……6分（2）由（1）知，BC∥DE．在△ABC中，因为点E为AC的中点，所以D是AB的中点．因为，所以，……9分因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD平面ABC CD，平面ABC，则AB平面PCD．……12分因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．……14分17．(本小题满分14分解：（1）如图1，过点B作的垂线，分别交，，于点D，E，设，则．则，．……2分因为，所以，化简得，所以，则，所以边长．……6分（2）如图2，过点B 作的垂线，分别交，于点D ，E ．设，则，则，．于是．……8分记，．求导，得．……10分令，得．记，列表：……12分答：（1）边长为m ；（2）长度的最小值为m ．……14分 18．(本小题满分16分) 解：（1）设点，由，得．因为P 为圆：上的动点，所以，即，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆上． ……4分（2）①设，，当时，直线AT 的方程为：，即，因为，所以，当时，直线AT 的方程为：，综上，直线AT 的方程为：．同理，直线BT 的方程为：．又点T 在直线AT ，BT 上，则，① ，②由①②知，直线AB 的方程为：．所以直线AB 过定点． ……9分②设,，则O 到AB 的距离，． ……11分 B CAl 3l 2l 1 图2DE由，得，于是，，所以，……13分于是，0（显然）所以．……16分19．(本小题满分16分)解：设等差数列的公差为．因为无穷数列的各项均为互不相同的正整数，所以，．（1）①由，得，，，……2分解得，．所以．……4分②因为数列为等差数列，所以，即．所以，解得（已舍）．……6分此时，．……8分（2）因为是数列的第项，是的第项，且，，所以．又，所以数列中存在三项，，按原;的顺序）成等比数列．……16分20．(本小题满分16分)解：（1）设直线与的图象的切点为．因为，所以，……2分所以．令，．令得．（2）．令得．令，．因为在上的图象是连续不断的，当时，在上恒成立，所以在无零点；当时，所以在有且仅有一个零点；当时，此时，因为，所以在上有且仅有一个零点．又因为，令，，则，，所以．所以在上单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在恒成立，所以，即，所以在上有且仅有一个零点．所以在上有两个零点．综上所述，时，在无零点；时，在有且仅有一个零点；时，在有两个零点．……10分（3）因为在上单调增，且，所以，，所以．令，．因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以式成立，所以．……16分数学Ⅱ(附加题)．若多21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为四边形是圆的内接四边形，所以．……2分因为，所以．……4分又，……6分，……8分所以，即平分．……10分D．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设是：上任意一点，在矩阵对应的变换得到点为，由，得……5分代入直线：，得，……7分所以解得．……10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线化为普通方程，得……3分将椭圆C化为普通方程，得．……6分因为，则右焦点的坐标为. ……8分而直线经过点，所以. ……10分D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）……8分所以. ……10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）因为，又由概率分布的性质可知，即，所以c 719．……3分（2）由（1）知，，于是．……8分所以ξ的数学期望E(ξ)．……10分23．(本小题满分10分)解：（1），，．……3分（2）猜想：．证明：①当，2，3时，由上知结论成立；……5分②假设时结论成立，则有．则时，．由得，．又，于是．所以，故时结论也成立．由①②得，．……10分。

江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(6)

2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值；（2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1；（2）求证：AD //平面1MBC ．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点BA（第16题）B 1A 1C 1MCF DD 1P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=．（1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．作答．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACD时，求λ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．BC2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝ 5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)．用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中，点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600．两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)，其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C 的半径r ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－n a n +2＝n a n －n －1a n +12a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 32a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=，所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab Cλ+++=-⨯=-=-．而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ，若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分（2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =，因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=，所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分（2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD 1∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . (6)分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ，联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ，消去y ，即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()02020204138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ，所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分（方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒=设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy xPE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分（方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增，存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2 a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下：因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n a +bn ＝pq na p ＋b pn ＝q n．令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解．当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x－tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0，这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个．这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中，因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ，又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC，所以 △ABC ∽△ADP ，所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ，所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－ 3x－y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷(8)理

02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（8）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．2．已知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4．工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的方差2s 的值为 ▲ ．5．根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ,使得2210x x -λ+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围是 ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ．9．若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-，则正实数a的最小值为 ▲ ．13．在平面凸四边形ABCD中，AB =3CD =，点E 满足2DE EC =，且 ||||2AE BE ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． 14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤， 1872212（第4题）则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1，2)．（1）若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α+cos α的值；（2）若|m －n |＝ 2，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ；（2）BM ACP ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置ABCDPM（第16题）设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4．（1）求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A的坐标．OABCD（第17题）19．（本小题满分16分）设区间[33]D =-，，定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++（0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；（2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性； ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+（*22k n k n ∈+N ，，≥）．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，CD=AC的长度．B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵11ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．若x ay b⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A，求x，y的值．C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）D CBA（第21—A题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是3cos 13sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4π+=ρθl 被曲线C 截得的线段长．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=， 22226a b c ++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值；（2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．（本小题满分10分）AB CDA 1B 1C 1（第22题）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n 条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，N*n ∈．设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分．（1）求a b c ，，的值；（2）用数学归纳法证明此结论．2018年高考模拟试卷（8）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】8 【解析】因为{3}A B =，所以2log 3a =，即8a =．2．【解析】本题考查了复数的运算和模的概念．因为zi 1i =+，所以1z i =-．|i |12z i -=-= 3．【答案】29【解析】设向上的点数之差的绝对值．．．是2为随机事件A ，将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次共有36个基本事件，事件A 共包含(13)-，(24)-，(31)-，(35)-，(42)-， (46)-，(53)-，(64)-共8个基本事件，所以82()369P A ==．4．【答案】225【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值20x =，所以 ()()()()()222222182017202220212022202255s -+-+-+-+-==．5．【答案】12【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为3,3I S ==；第二次执行循环体计算两个(A 33⎪⎭变量的结果为4,7I S ==；第三次执行循环体计算两个变量的结果为5,12I S ==；所以输出的结果为12． 6．【答案】3【解析】画出可性域如图所示，求出代入点(1,0)A ，求出32x y +最大值为3．7．【答案】λ≤【解析】命题的否定是“122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， ,都有221x x -λ+12x x λ+≤对122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以()min12x x λ+≤．因为12x x +≥122x ⎥=⎡⎤⎢⎣⎦，时成立，所以()min12x x +=，即λ≤8．【答案】10-【解析】因为22410a a =（0d ≠），所以410a a =-．又因为410a a =-即70a =，122210S S =+，所以11160,24132210,a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩解答10d =-．9．【答案】3【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．因为抛物线24x y =的焦点为()0,1P ，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a=±．根据点13=，化简有3c e a ==．10．【答案】1【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123l π=和243l π=．1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =．1h ==，23h ==．所以21112222114313r h v v r h πππ⋅===11．【答案】1-【解析】()()()πππ()sin 666f x a x x x ϕ=+-+=++，因为()f x 是偶函数，所以(0)f =，即32a -=1a =-． 12．【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题．【解析】因为21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+，所以`1()(2)f x ax a x=+-+．存在某点处的切线斜率不大于5-，所以存在()0,x ∈+∞，1(2)5ax a x+-+≤-．得到(2)5a +≤-，当且仅当1ax x =取“=”，化简得30a -≥，解得9a ≥．13．【答案】2【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积．因为3CD =，点E 满足2DE EC =，所以2DE =，1EC =．||||2AE BE ==，AB =2AEC π∠=．又因为165AE DE ⋅=，所以16cos 5AE DE AED ∠=，得到4cos 5AED ∠=．又()3cos cos 5BEC AEB AED π∠=-∠-∠=． ()()AD BC AE ED BE EC ⋅=+∙+，AE EC ED BE ED EC =∙+∙+∙，()()cos cos AE EC AEC ED BE BED ED EC ππ=-∠+-∠-， 4321221255=⨯⨯+⨯⨯-⨯， 2=．14．【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+，当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+，当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+，当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤，则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a ---≤10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]-．二、解答题：15．【解】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α． …… 4分所以原式＝4． …… 6分（2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2． …… 9分所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2，所以α∈()ππ2，，所以34sin ,cos 55αα==-． …… 12分所以原式＝ …… 14分16．【解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分ABCDP M（第16题）O又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ，因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=，在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分（注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得OC x =km，sin()3CD x π=- km ．…………………………5分又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2)2()]33y a x a x x ππ=+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分（2）记()2(cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………………9分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即()2)66f a ππ=⨯．………………………………………………………12分答：（1）y 关于x的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为(0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．………………………14分18．【解】（1）由题意知：112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得12c a =⎧⎨=⎩，，又2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………………………………………3分因为圆2C 截y 轴所得弦长为4，所以222215r =+=，所以圆2C 的方程为22(1)5x y -+=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为y kx m =+，则=即 22425k m km -=-①…………………………………………………………8分由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(34)84120k x kmx m +++-=，…………………………10分因为直线l 与曲线1C 只有一个公共点，所以22226416(3)(34)0k m m k ∆=--+=，化简，得 22430k m -+=②……………………………………………………12分①②联立，解得122k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，或122k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.，……………………………………………13分由22122(1)5y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A (，)， ………………………………………………14分由22122(1)5y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A -(，)，………………………………………………15分故直线l 与圆2C 的公共点A 的坐标为02（，）或(02)-，．…………………………16分 19．【解】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增，…… 2分所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤． …… 4分（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减； …… 6分（ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减．综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减；当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减． …… 8分 ②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； …… 10分（ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x =-，． …… 12分若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++，又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-，32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．…… 14分下面证明10<，也即证：3427b a ->．因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+，下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <．这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在．综上所述，A =∅． …… 16分（方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x-≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=，令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减，所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； …… 12分（ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=，因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增，所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤，则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥，也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． …… 16分20．【解】（1）由22112n n a n S λλ+--=，得221(1)12(2)n n a n S n λλ----=≥，两式相减得22212n n n a a a λλ+--=，也即221()n n a a λ+=+．又00n a λ>>，，所以1(2)n n a a n λ+=+≥． …… 2分当1n =时，2221122a a λλλ--==，则211a a λλ=+=+，所以1n n a a λ+=+（*n ∈N ），所以数列{}n a 是首项为1，公差为λ的等差数列，所以1(1)1n a n n λλλ=+-=+-． …… 4分（2）① 由（1）知2(2)2n n nS λλ+-=，所以22(2)(2)12()12(1)21n n nn nSn n n b n a n n n λλλλλλλλλλ+-+-====++-+-+-，…… 6分则21111(1)(22)2(1)021(1)12(1)((1)1)n n n n n n n b b n n n n ++-+-+-=+-=⋅>+-++-+λλλλλλ，所以1n n b b +<得证． …… 8分 ② 1111111()()n n n k n n k nc c S S S S ++----=+-+ 111111()()n n k n k nS S S S +---=-+- 111n k nn n k n k n a a S S S S +-+----=+⋅⋅ 11111k n n k n k n n n a a S S S S -+---+=⋅-⋅111111k n k n n n S b S b ---+=⋅-⋅， …… 12分因为22k n +≥，所以1n k n +<-，1n k n <--．由0n a >，所以10n k n S S --<<，所以1110k n nS S --<<，又因为10n k n b b +-<<，所以1110k n n b b -+<<，所以10n n c c +-<，所以1n n c c +>得证． …… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90° ……………………2分则6EB x =-，CE ……………………………4分由射影定理得2CE AE EB = ……………………………6分即有(6)5x x -=解得1x =（舍）或5x = ………………………………8分所以 25630AC AE AB ==⨯=，AC ……………………………………………10分21-B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． …… 5分则12221444x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，所以22,44,x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 所以x ，y 的值分别为0，1． …… 10分21-C ．由3cos 1,3sin 3,x y αα=+⎧⎨=+⎩得13cos ,33sin ,x y αα-=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)(3)9x y -+-=． ………………………………4分所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………… …………………………6分圆心C 到l的距离是d ==，所以直线l 被曲线C截得的线段长为 ……………………………10分21-D ．因为22262a b c -=+ ………………………………………………………………2分2221(2)(1)32b c =++2222()(3)33b c a +=-≥，………………………6分即25120a a -≤，所以 1205a ≤≤．……………………………………………10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ．因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， …… 2分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-，所以1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅所以直线1DB 与平面11A C D…… 5分（2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅，二面角111B A D C --． …… 10分 23． (1)由(1)2(2)4(3)8f f f ===，，，得18+42327937a b c a b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，，解得15066a b c ===，，．3分(2)用数学归纳法证明315()1N*66f n n n n =++∈，．①当1n =时，显然成立． ……………………………………………4分 ②假设当n k =时成立，即315()166f k k k =++，那么当+1n k =时，在k 个平面的基础上再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得到k 条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划分成211122k k ++个部分．每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了 211122k k ++个，所以(1)()f k f k +=+211122k k ++……………………………………………7分315166k k =+++211122k k ++ 315(1)(1)166k k =++++，即+1n k =时，结论成立． ……………………………………………9分根据①②可知，315()1N*66f n n n n =++∈，．…………………………………10分。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷6理

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（6）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合，，则= ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线对称，则的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ． 9．在平面直角坐标系中，已知圆与直线相交于，两点．若△为等边三角形，则实数的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数（且）没有最小值，则的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，且，则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量，．（1）若，，且，求实数的值；（2）若，求的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点、F 分别是线段、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1；（2）求证：AD //平面．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当的平分线为时，求直线AB的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A沿AB，AC方向修建两条小路，休息亭P与入口的距离为米（其中a为正常数），过P修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E、F处，已知，．（1）设米，米，求y关于x的函数关系式及定义域；（2）试确定E，F的位置，使三条路围成的三角形AEF地皮购价最低．19．（本小题满分16分）已知函数.(1)当时,求函数的单调区间；AOBOCOPO（17题图）FE(2)若函数有两个极值点，且,求证:；(3)设，对于任意时,总存在，使成立,求实数的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，公比为q(q≠1)．令A＝{k|a k＝b k，k∈N*}．(1)若A＝{1，2}，①当a n＝n，求数列{b n}的通项公式；②设a1＞0，q＞0，试比较a n与b n(n≥3)的大小？并证明你的结论．(2)问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记．（第21题（A ）（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值．23．（本小题满分10分）设函数f n(x)＝1+x+12!x2＋…＋1n!x n，n∈N*．(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，e x＞f n(x)；(2)若x＞0，且e x＝f n(x)+1(n+1)!x n+1e y，求证：0＜y＜x．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝ 5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人．4．6 解：由题意抛物线定义可知，，所以，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7．解：将的图象向左平移个单位得到，因为图象关于直线对称，所以，所以，即，，所以的最小值为．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)．用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中，点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600．两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)，其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．解：圆的半径，因为△为等边三角形，所以圆心到直线的距离．所以，解得． 10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．或解：令，则．若，因为没有最大值，所以符合；若，因为，要使原函数没有最小值，必须，解得．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝na1a n+1①，a1a2+a2a3+…+a n a n+1+a n+1a n+2＝(n+1)a1a n+2 ②，②－①得，a n+1a n+2＝(n+1)a1a n+2－na1a n+11a1＝n+1a n+1－na n+2＝n a n －n－1a n+12a n+1＝1a n＋1a n+2，(n≥2)，则a1a2+a2a3＝2a1a32a2＝1a1＋1a3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n+3，a n＝1n+3．代入可得1a1＋1a2＋…＋1a10＝85．13．解：由对称性，只需当时，有两解即可.即在时有两解.设，由得在（0,2）上递减，在上递增. 由图可知，所以．14．解：由条件，．因为，所以，所以，所以．而，所以．由，得，即，所以．二、解答题：15．解：（1）当，时，，又，所以，若，则，即，解得．…… 7分（2）因为，，所以，因为，所以，则，所以，故当或时，的最大值为6．…… 14分16．证明：（1）∵ABAC，点F是线段BC的中点，∴AF⊥BC．…………………………………………2分又∵平面底面，AF平面ABC，平面底面，∴AF⊥平面．……………………………………………………………………5分又CC1平面，∴AF⊥CC1，又CC1∥DD1，∴AF⊥DD1．………………………………………………………………7分（2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，FE．在斜三棱柱中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点E为B1C的中点．∵点F是BC的中点，∴FE//B1B，FEB1B．…………………………10分又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，∴AM//B1B，AMB1B．∴AM// FE，AMFE．∴四边形AFEM是平行四边形．∴EM // AF．…………………………………………12分又EM平面MBC1，AF平面MBC1，∴AF //平面MBC1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点，由轴，设代入椭圆方程，即得，所以，联立，…………………3分解得，所以椭圆方程为，右准线的方程为. ………………… 6分（2）设，则直线的方程为，即，联立消去，即得(※)，………………… 9分又为方程(※)的一根，所以另一根为，又点在椭圆上，所以满足，代入另一根即得，所以.由（1）知，点则直线的斜率，直线的斜率，………………… 12分①当的平分线为时，，的斜率，满足，所以，即，所以，故直线AB的方程为x－2y－1＝0．…………… 14分18．（方法一）（1）由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为……………………6分(2) 设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为k元/平方米，则(为常数)，所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小答：当点E距离点米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分（方法二）(1) 由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为……………………6分（方法三）（1）以所在直线为轴，点为坐标原点，建立如图直角坐标系，则，，由，得，所以因为与共线所以所以由得定义域为……………………6分19．解：(1)当时,,令或,令,所以的递增区间为和,递减区间为.(2)由于有两个极值点,则在上有两个不等的实根,设，所以所以在上递减，所以即.(3)由题意知：只需成立即可.因为,所以，因为，所以，而，所以，所以在递增，当时，.所以在上恒成立，令，则在上恒成立，，又当时，,在递减,当时，,所以，所以；当即时，①即时，在上递增，存在，使得，不合；②即时，，在递减,当时，,所以，所以综上, 实数的取值范围为.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2 a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下：因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n a +bn ＝pq na p ＋b pn ＝q n．令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解．当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x－tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0，这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为|q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．如果n 为偶数，则方程①变为|q |n－tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个．这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中，因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ，又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC，所以 △ABC ∽△ADP ，所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ，所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ． 21B ．解：设M =，则有=，=，所以且解得，所以M =．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)． 21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－ 3x－y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。

2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)

2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ． 2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为3，则该三棱柱的体积是▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值；（2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点．（1）求证：AF ⊥DD 1；（2）求证：AD //平面1MBC ． 17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P 与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=．（1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低． 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，A BCP（17题图）FE求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x ＝fn (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，C2．5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．63 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中，点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600．两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)，其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144． 9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32． 11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2＝na n－n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=，所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-．而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ，若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分（2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =，因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=，所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分（2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点，∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ．∴AM // FE ，AM =FE ． ∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M CFDD解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ，联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ，消去y ，即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ，………………… 12分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ，所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S=⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =->则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分（方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分（方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增，存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下：因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bpn ＝q n ．令s ＝ap，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解．当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q＜0，则f(x)为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q＞0，且不妨设由f ′(x)＝0得f ′(x)有唯一零点x0＝log q tln q，于是当x＞x0时，f ′(x)恒大于0或恒小于0，当x＜x0时，f ′(x)恒小于0或恒大于0，这样f(x)在区间(0，x0)与(x0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解．……………………10分当q＜0时，如果t＞0．如果n为奇数，则方程①变为|q|n+tn+s＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．如果n为偶数，则方程①变为|q|n－tn－s＝0．由q＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个．这样，最多有3个正数满足方程①．对于t＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A中的元素个数最多有3个．………………………………12分再由当a n＝6n－8，，b n＝(－2)n，则a1＝b1，a2＝b2，a4＝b4．A＝{1，2，4}．由此，可知集合A中的元素个数最多有3个．…………………16分数学Ⅱ（附加题）21A．证明：连AC，在△ABC与△ADP中，因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ADP＝∠ABC，又因为AD·BC＝DP·AB，即ADDP＝ABBC，所以△ABC∽△ADP，所以∠BAC＝∠DAP．因为直线PA与圆O相切，所以∠DAP＝∠ACD，所以∠BAC＝∠ACD，所以，A B∥CD，所以圆内接四边形ABCD为等腰梯形，所以AD＝BC．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)． 21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷1理

B（第7题）A N江苏省南通基地2018年高考数学密卷（1）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合，，则 ▲ ．2．复数（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ．3．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4．某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为时，则输入的的值为 ▲ ．6．在平面直角坐标系中，圆被直线所截得的弦长为 ▲ ．7．如图，三个相同的正方形相接，则的值为 ▲ ．8．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为上一点，且．设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 ▲ ．9．已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若是的中点，则的长度为 ▲ ．10．若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC中，点为边BC的中点，且，点为线段的中点，若，则的值为▲．13．已知正数满足，则的最小值是▲．14．设等比数列{a n}满足：，其中，．则数列的前2 018项之和是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)已知，．（1）求的值；（2）设函数，，求函数的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点．设为椭圆在第一象限上的点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，且交轴于点，交轴于点．（1）求的值；（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；（3）求证：四边形的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n}的前n项和为，且满足：．（1）若，求a1的值；（2）若成等差数列，求数列{a n}的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．ABCDP2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知，．求满足方程的二阶矩阵．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系Oy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的参数方程为（为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设，证明：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥中，棱，，两两垂直，且长度均为1，（）．（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为120°，求实数的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行次抛币，游戏结束．（1）若m，n，求概率；（2）若，求概率（…）的最大值（用m表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．2．1 3．4．16 5．6．7．【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为，则．8．【解析】因为，所以三棱锥的体积是三棱锥体积的，所以三棱锥的体积是体积的．因为三棱锥与三棱锥体积相等，所以．9．6【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，所以，，所以．10．【解析】．由于是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是．11．8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为根，则这个正六边形垛的层数是，每一层的根数从上往下依次为：则圆钢的总根数为：由题意≤99即≤0，设函数，则在上单调递增．因为所以．此时剩余的圆钢根数为．12．【解析】由极化恒等式知，，则，所以．13．2【解析】设，，则．因为（当且仅当时取“”），所以，解得，所以的最小值是2．14．【解析】因为，所以，所以等比数列{a n}的公比．若，由知，当充分大，则，矛盾；若，由知，当充分大，则，矛盾，所以，从而，所以．则数列的前2 018项之和是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由，得，即，所以．因为，所以，所以，即．（2）由（1）知，，所以．令，得，所以函数的单调增区间是，．16．(本小题满分14分证明：（1）因为与所成角的大小为90°，所以⊥，因为，且N是A1C的中点，所以⊥．又，平面，故⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面．（2）取AC中点P，连结NP，BP．因为N为A1C中点，P为AC中点，所以PN//AA1，且PNAA1．在三棱柱中，BB1 // AA1，且BB1AA1．又M为BB1中点，故BM // AA1，且BMAA1．所以PN // BM，且PNBM，于是四边形PNMB是平行四边形，从而MN // BP．又平面，平面，故平面．17．(本小题满分14分解：（1）考虑时，利润．令得，，从而，即．（2）当时，由（1）知，所以当时，（万元）．当时，利润．因为（当且仅当即时，取“=”），所以（万元）．综上，当时，（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为万元．18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，，，其中，解得．因为，所以．（2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，①所以．从而直线的方程为：．②由①②得，．从而直线的方程为：．令，得，所以点的坐标为．（3）设（），且，即．则直线的方程为：，令，得．直线的方程为：，令，得．所以四边形的面积．19．(本小题满分16分)解：（1）因为，所以，即，解得或．（2）设等差数列的公差为d．因为，所以，①，②．③④⑤若，则，与矛盾，故．代入④得，于是．因为，所以，所以，即，整理得，于是．因为，所以，即．因为，所以．所以数列{a n}是首项为，公差为的等差数列．因此，．20．(本小题满分16分)解：（1）由，知．若，则恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．（2）由（1）知，当时，．因为对任意都成立，所以，所以．设，（），由，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在处取最大值，且最大值为．所以，当且仅当，时，取得最大值为．（3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围．①当时，由，，所以有零点．②当时，若，由，得；若，由（1）知，，所以无零点．③当时，，又存在，，所以有零点．综上，的取值范围是或．数学Ⅱ(附加题)．若21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．C．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以∠PAB＝∠ACB．因为PD∥AC，所以∠EDB＝∠ACB，所以∠PAE＝∠PAB＝∠ACB＝∠BDE．又∠PEA＝∠BED，故△PAE∽△BDE．D．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设，因为，所以解之得，所以A－1＝．所以．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l 的普通方程为，圆C 的参数方程化为普通方程为．因为直线l 与圆C 相切，所以．解得或，又，所以． D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得，即，所以．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）以为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —y ．因为，所以．依题意，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则所以取得，．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）依题意，，，，．设平面的一个法向量为，则即取得，．设平面的一个法向量为，则即取得，所以，解得或，因为，所以． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意，．（2）依题意，（…）．设则．而（＊）．（＃）因为的判别式（显然在时恒成立），所以．又因为，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．所以，即(当且仅当时，取“=”)，所以的最大值为，即的最大值为．- 11 -。

江苏省南通基地高考数学密卷(5)理(最新整理)

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（5)理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分．1．集合{0e },{101}x A B ==-，，，，若A B B =，则x = ▲ ． 2．若复数(1i)(1i)z a =+-(i 为虚数单位,a ∈R ）满足||2z =,则a = ▲ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ．4．函数()sin f x x x =+，[]0πx ∈，的单调减区间为 ▲ ． 5．下面求2582018++++的值的伪代码中，正整数m 的最大值为 ▲ ．6．如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s = ▲ ． 7．已知0x >,0y >，且121xy+≤，则x y +的最小值为 ▲ ．8．已知平面α ，β,直线m ，n ，给出下列命题：① 若//m α,//,n m n β⊥，则βα⊥；② 若//αβ，//,//m n αβ,则//m n ； ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥；④ 若βα⊥，,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号)．9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列,则10a = ▲ ． 10．设a 为实数，已知函数f （x ）＝｜x －1｜＋|x ＋1｜,且f （2a －3）＝f (a ），则满足条件的a 构成的集合为 ▲ ．11．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为 ▲ ．7 98 5 7 7 7 7 9 1 3第6题I ←2 S ←0While I ＜m S ←S ＋I I ←I ＋3 End While Print S第5题ＡＢＥＣＤＰＯ 12．已知向量，，a b c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切值为12-，b 与c 的夹角的正切值为13-，1=b ,则⋅a c 的值为 ▲ ．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4Cx y -+=：，动点P 在直线20x +-=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为 ▲ ．14．已知函数22e()ln 0x x a f x x x a ⎧⎪=⎨⎪<<⎩，≥，，．若对任意实数k ，总存在实数0x ,使得00()f x kx =成立,求实数a 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b,c,已知223acb =，且tan tan tan A C A C +．（1)求角B 的大小；(2）若△ABC 的外接圆的半径为a c <，求AC AB ⋅的值16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形,∠BCD ＝60°，点E 是BC 边的中点,AC ,DE 交于点O ，PO ＝23,且PO ⊥平面ABCD 。

2018年江苏省南通基地高考密卷数学(理)(6)(PDF版)

A ， B 两点．若△ ABC 为等边三角形，则实数 m 的值为
▲
． ▲ ．．
→ → 10．设正△ABC 的边长为 1，t 为任意的实数．则| AB ＋t AC |的最小值为
11．若函数 f ( x) loga x 1 1 （ a 0 且 a 1）没有最小值，则 a 的取值范围是 ▲ a x 1 1 12．数列{an }满足 a1 ＝，a2 ＝，且 a1 a2 +a2 a3 +…+an an +1 ＝na1 an +1 对任何正整数 n 成立，则 4 5 1
（第 21 题（A）
B ．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）二阶矩阵 M 对应的变换将△ABC 变换成△A1 B1 C1 ，其中△ABC 三个顶点坐标分别为
A(1，－1)、B(－2，1)，C(2，2)，△A1 B1 C1 中与 A、B 对应的两个坐标分别为 A1 (－1，－1)、B1 (0，－2)．求 C1 点的坐标．
C ．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）若两条曲线的极坐标方程分别为 ρ sin(θ ＋两点，求线段 AB 的长． π π )＝1 与 ρ ＝2sin(θ ＋ )，它们相交于 A、B 3 3
D ．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）求证：对任意 x，y∈R,不等式 x ＋xy＋y ≥3(x＋y－1)总成立．
3 2 ln 2 ； 2
(3)设 g ( x) f ( x) ln ax ，对于任意 a (0,2) 时,总存在 x [1,2] ，使 g ( x) k (a 2) 2 成立,求实数 k 的取值范围．
20． (本小题满分 16 分) 已知{an }为等差数列，{bn }为等比数列，公比为 q(q≠1)．令 A＝{k|ak ＝bk ，k∈N*}． (1)若 A＝{1，2}， ①当 an ＝n，求数列{bn }的通项公式； ②设 a1 ＞0，q＞0，试比较 an 与 bn (n≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合 A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．

江苏省南通基地2018年高考数学密卷5理

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（5）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合，若，则▲．2．若复数(为虚数单位，)满足，则= ▲．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为▲．4．函数，的单调减区间为▲．5．下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为▲．I←2S←0While I＜mS←S＋II←I＋3End WhilePrint S第5题6．如图是某学生次考试成绩的茎叶图，则该学生次考试成绩的标准差= ▲．7．已知，，且，则的最小值为▲．8．已知平面α，β，直线，，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，则；④若，，则.其中是真命题的是▲．（填写所有真命题的序号）．9．等差数列的前项和为，已知，且数列也为等差数列，则= ▲．10．设a为实数，已知函数f()＝|－1|＋|＋1|，且f(2a－3)＝f(a)，则满足条件的a构成的集合为▲．11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为，则双曲线的离心率为▲．12．已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为▲．13．在平面直角在平面直角坐标系中，已知圆，圆，动点在直线上的两点之间，过点分别作圆的切线，切点为，若满足，则线段的长度为▲．14．已知函数．若对任意实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值集合为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．（1）求角的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求的值16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边的中点，AC，DE交于点O，PO＝23，且PO⊥平面ABCD.（1）求证：PD⊥BC；（2）在线段AP上找一点F，使得BF∥平面PDE，并求此时四面体PDEF的体积．17．（本小题满分14分）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数模型．园区服务中心P在轴正半轴上，PO=百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点P，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点，过点E作一条斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，交直线于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．（1）当时，求；（2）当时，（ⅰ）求证：数列是等差数列；（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：．2018年高考模拟试卷（5）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于点. 求证：．B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）设点在矩阵对应变换作用下得到点．（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若曲线C 在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线C 的方程．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数），直线与曲线相交于两点．（1）求的长；（2）求点到两点的距离之积．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1ABAC 2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上．（1）若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段BP 的长度．A 1C 1B 1P23．（本小题满分10分）已知抛物线，过直线：上任一点向抛物线引两条切线（切点为，且点在轴上方）．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）抛物线上是否存在点，使得．2018年高考模拟试卷（5）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【答案】0．【解析】因为，所以，又，所以，所以．2．【答案】．【解析】因为，所以，所以．3．【答案】【解析】遇到红灯的概率为．4．【答案】．【解析】，由，及得函数的单调减区间为．5．【答案】2021．【解析】满足条件的正整数m的取值为2019，2020，2021，所以正整数m的最大值为2021．6．【答案】．【解析】学生8次考试成绩的平均值为87，则标准差为．7．【答案】．【解析】由，，得，当且仅当时等号成立，又，则，所以的最小值为．8．【答案】③④【解析】对于①②，平行的传递性仅限于相同的元素(点、线、面)，因此均不对．9．【答案】19．【解析】因为数列是等差数列，设公差为，则，所以，又也为等差数列，所以，所以．10．【答案】【解析】由由，得或或解得或．11．【答案】．【解析】如图所示AF的斜率为，所以且AF＝AB，所以是等边三角形，所以，所以，所以，由双曲线的定义可知，所以双曲线的离心率为．12．【答案】．【解析】令，则，所以，所以，由正弦定理可得，所以．13．【答案】．【解析】由得，所以，所以，设，所以，即，点P在圆上及圆内，所以EF为直线截圆所得的弦，所以EF=．14．【答案】．【解析】令，，所以函数在上递增，在上递减，又，所以，当且仅当时等号成立，因为对任意实数，总存在实数，使得成立，且过原点的直线与切于点，所以函数的图象是不间断的，故．二、解答题：15．解：（1）由，得，即．所以，即，所以．因为，所以．（2）因为△ABC的外接圆的半径为，由正弦定理得，，所以，所以．由余弦定理知，，即，所以，即，因为所以所以△ABC为直角三角形，且所以。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷(4)理

（第7题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则AB 共有 ▲ 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为，则双曲线C 的方程为 ▲ ．6．函数()f x 的定义域为 ▲ ．7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为 ▲ ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设P D A B A C λμ=+，则λμ+= ▲ ．11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则101i i a ==∑ ▲ ．12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．已知向量1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =．（1）求证：//PA 平面QBD ；（2）求证：BD AD ⊥．17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，//BC AD ， E ,F 在AD 上，且 12OE OF BC ==,EG FG =．（1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式；（2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．O AB CDEF（第18题）18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间；（2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项公式为12n na =，求证：{}n a M ∈；（2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）设4nn nb a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2BC ．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量．（1）求矩阵A 的另一个特征值；（2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-．求直线l 被曲线C 所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值；（2）求5(5)P 的值；（3）设1()nn n k A kP n k ==-∑，求证：10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．13+i 55【解析】1(1)(2)132(2)(2)5i i i i z i i i ++++===--+． 2．8【解析】由条件得{1,0,2}A B =-，所以A B 的子集有8个．3．10【解析】由题意可知133310S =+++=．4．150【解析】设第一个小矩形面积为x ，由61x =，得16x =，从而样本容量为256150⨯=．5．221x y -=【解析】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，因为双曲线C 的渐近线方程为x y ±=，所以a b =，又因为一个焦点为，所以c 1a b ==，所以双曲线C 的方程为221x y -=6．(,2]-∞-【解析】由已知得，1()402x -≥，所以2x ≤-7．4【解析】由图知函数的周期为()115224242πππ-⨯=，所以242ωπ==π．8．35【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有20种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为123205=． 9．14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=，所以1214V V =．10．23【解析】因为23BC BA BP +=，所以2()BC BP BP BA-=-，即2PC AP =，所以13AP AC =，所以11()33AD AP PD AC AB AC AB AC λμλμ=+=++=++，又点D 是BC 的中点，所以1122AD AB AC =+，所以111,232λμ=+=，所以23λμ+=． 11．3049 【解析】1132n n n a a -+-=⋅，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1322n -=⋅-，所以1013049i i a ==∑．12．83【解析】因为a b ∈R ，，a b >，22240a ab b ---=，所以()(2)4a b a b -+=．令a b t -=，42a b t +=，0t >，则()()142233a t b t t t =+=-，，所以41482()333a b t t -=+⋅=≥，当且仅当1t =时取等号．所以2a b -的最小值为83．13．222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得的弦长恒为4，所以224r b =+，设00(,)P x y ，由已知条件得，2222009b r x y +=++，所以22005x y +=，即点P 在圆225x y +=，所以点P 到直线2100x y +-==．14． 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()33()sin cos f k k θθ=--，题意即为()0f k ≥在(],2-∞-上恒成立，即min ()0f k ≥．由于[)0,2θπ∈，sin 0θ≥且cos 0θ≥，则0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当4πθ=时，()00f k =≥恒成立，符合；当(,]42ππθ∈时，33sin cos 0θθ->，所以()f k 在(],2-∞-上单调递增，不符合；当[0,)4πθ=时，33sin cos 0θθ-<，所以()f k 在(],2-∞-上单调递减，此时()33min ()(2)2sin cos 0f k f θθ=-=---≥，即332sin 2cos θθ令3()2f x x =（0x ≥），不等式即为(sin )(cos )f f θθ≤，由于1221()602f x x x -'=+≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，而当[0,)4πθ=时，sin cos θθ<，所以(sin )(cos )f f θθ≤恒成立．综上所述，θ的取值范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．解：（1）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，1()sin 222x xf x m n ∴=⋅= …… 2分ππsin cos cos sin 2323x x =+()πsin 23x =+， …… 4分所以函数()f x 的最小正周期为2π4π12T ==． …… 6分（2）1(sin )22x =，m ，1(3)22x =，n ，且//m n ，11sin 02222x x ∴-⨯=， …… 8分sin x ∴，(0,)2x π∈，cos x ∴=== …… 10分sin 22sin cos 2x x x ∴=⋅=， …… 12分225cos212sin 126x x =-=-⨯=，115(4)sin 2226f x x x ∴=+==…… 14分16．证明：（1）如图，连接OQ ，因为//AB CD ，2AB CD =，所2AO OC =， ………2分又2PQ QC =，所以//PA OQ ， …………4分又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ，所以//PA 平面QBD . ……… 6分（2）在平面PAD 内过P 作PH AD ⊥于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………8分又BD ⊂平面ABCD ，所以PH BD ⊥， …………………10分因为PAD ∆是锐角三角形，所以PA 与PH 不重合，即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAD ， …………………12分又AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥． …………………14分 17．解：连接,,,EF BE OB OG ， 12OE OF BC ==，∴BC EF =，∴BE EO ⊥， EG FG =，∴OG EF ⊥， ………2分（1）在Rt BEO ∆中，1BO =，AOB θ∠=， ∴cos EO θ=，sin BE θ=，∴2cos BC EF θ==， ………4分∴EGF ABCD S S S ∆=+梯形11()22AD BC BE EF OG =+⋅+⋅11(22cos )sin 2cos 122θθθ=++⨯⨯sin cos sin cos θθθθ=++，(0,2πθ∈． ………8分（2）令sin cos t θθ=+，(0,2πθ∈，则21sin cos 2t θθ-=，且)4t πθ=+∈， ………10分222111(1)12222t t S t t t -∴=+=+-=+-，t ∈， ………12分当t =4πθ=时，max 12S =即多边形ABCDFGE 面积S的最大值为12平方米． ………14分18．解：（1）因为椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，所以22222219144a c b b c a ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，，，…… 2分解得21a b c ===，，所以椭圆的方程为13422=+y x ． …… 6分（2）解法一：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)2(-=x k y ．由方程组22(2)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ，解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为22286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． …… 8分由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为),1(k -． …… 10分所以1(2)F M k =-，，()()222222286124912143434343k k k k F B k k k k ----=-=++++，，．若21BF MF ⊥，则222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++． …… 14分解得1092=k ，所以10103±=k ，即直线l 的斜率10103±． …… 16分解法二：由（1）可得12(10)(10)F F -，，，，设),(00y x B （20≠x ），则12432020=+y x ①， …… 8分直线)2(2:00--=x x y y l ，由MA OM =知，点M 在OA 的中垂线1=x 上，又M 在直线l 上，所以M 点坐标为()0012yx --，． …… 10分所以()01022yF M x -=-，，200(1)F B x y =-，，若21BF MF ⊥，则220000120002(1)(2)2(1)022y x x y F M F B x x x ---⋅=--==--，所以)2)(1(2002--=x x y ②， …… 12分由①②可得04241102=+-x x ，即0)2)(211(00=--x x ，所以1120=x 或20=x (舍)，111060±=y ．所以002l y k x ==-l 的斜率10103±． …… 16分 19．解：（1）当a =0时，()(1)e x f x x =-，()e x f x x '=，令()0f x '>，得0x >，所以()f x 的单调增区间为(0)+∞，． …… 3分（2）()(e 2)x f x x a '=+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以()f x '≥0在R 上恒成立． …… 5分当0x =时，()(e 2)0x f x x a '=+=，()f x '≥0显然成立；当0x >时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≥恒成立，此时12a -≥；当0x <时，()(e 2)0x f x x a '=+≥恒成立，则e 20x a +≤恒成立，此时12a -≤．综上，12a =-． …… 8分（3）不妨设12x x <，当0a >时，()(e 2)x f x x a '=+，函数()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增．因为(0)10f =-<，所以1(0)x ∈-∞，，2(0)x ∈+∞，，2(0)x -∈-∞，，…… 10分 ()f x 在(0)-∞，上单调递减，所以要证120x x +<，即证12x x <-，即证12()()f x f x >-，又因为12()()f x f x =，所以即证22()()f x f x >-（*）．12分记()()()(1)e (1)e x x g x f x f x x x -=--=-++，[0)x ∈+∞，，2(e 1)()e x xx g x ⋅-'=，所以()0g x '≥在[0)+∞，上恒成立，所以函数()g x 在[0)+∞，上为增函数，又因为(0)0g =，20x >，所以2()(0)0g x g >=，即22()()0f x f x -->，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分 20．解:（1）因为12n n a =，所以11()1121()12212n n n S -=⨯=--， …… 2分所以111131311()1()()1102222224n n n n n a S ++-=-+=-≤⨯-=-<，所以1n n a S +≤，即{}n a M ∈． …… 4分（2）设{}n a 的公差为d ，因为{}n a n M +∈，所以1121(1)(1)(1)n n a n a a a ++≤+++++++（*），特别的当1n =时，2121a a ≤++，即1d ≤-， …… 6分由（*）得11(1)(1)122n n n n a nd n na d -++++≤++，整理得211131()10222d n a d n a ++----≥，因为上述不等式对一切*n ∈N 恒成立，所以必有102d +≥，解得1d ≥-，又1d ≤-，所以1d =-， …… 8分于是11()110a n a --≥+，即1()()110a n -≥+，所以110a +≥，即11a ≥-，所以5151111(2288)9a a a a a d a a --=+=+=-+≥-，因此512a a -的取值范围是[)9,-+∞． …… 10分（3）由1n n a S +≤得1n n n S S S +-≤，所以12n n S S +≤，即12n nS S +≤，所以1312112×2n n n nS S S S S S S S ++=⨯⨯≤，从而有11122n n n S S a +≤⨯⨯=，又1n n a S +≤，所以2112n n n a S a ++≤≤⨯，即212)3(n n a a n -≤⨯≥，又222112a S a -⨯=≤，12112a a -⨯<，所以有2*12()n n a a n -≤⨯∈N ，所以144×2n nn a a ≥， …… 12分假设数列{}n b （其中4nn nb a =）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn b +(b 为常数)，则存在*m ∈N ，m n ≥，使得11444×22m m m n m a a dn b b a +≥=≥⨯=，即2112n da n ba ++≥， …… 14分设2*2()32n n f n n n +=∈≥N ,,，则222323(1)2(1)(1)()0222n n n n n n f n f n ++++--+-=-=<，即9(1)()(3)132f n f n f +<≤=<，于是当3n ≥时，222n n +>，从而有：当3n ≥时211da n ba n +>，即2110n da n ba --<，于是当3n ≥时，关于n 的不等式2110n da n ba --<有无穷多个解，显然不成立，因此数列{}n b 中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．证明：连接OD因为DC 为切线且点D 为切点，所以BDC BAD ∠=∠ 因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠ 又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠ 故OAD BDC ≅ 所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分 B ．解：（1）由条件得，2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩，解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩ ………2分因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-， ………4分令()0f λ=，解得3,2λλ=-=．所以矩阵A 的另一个特征值为2． ………5分（2）因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-， ………7分所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦． ………10分 C ．解：把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为：22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=， ………2分 ∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为3410x y +-=， ………6分 ∴圆心C 到直线l 的距离为65， ………8分直线l 被曲线C所截得的弦长为=． ………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成） D ．证明：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ ，当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号． ………10分 22．解：（1）由已知有1123432101()3C C C P A C +==，所以事件A 的发生的概率为13．…3分（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2． ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C +===； 11342104(2)15C CP X C === ． ………6分所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =． ………10分23．解：（1）21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=． ………2分（2）111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=． ………4分（3）证明：()()k n n n k P n k C P n k --=-，11k k n n kC nC --=，∴11111()()(0)()(0)n n n kn n n n nn k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑ 11111111()(0)()(0)n n k k n n kn n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑，1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n knn k n k n C P n k nP --==+-+∑ 0(1)()n n k n P n k ==+-∑． ………10分。

江苏省南通基地2018年高考密卷数学(理)(9)

（第3题）2018年高考模拟试卷（9）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2．若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5．为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8．已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B 为顶点，且A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则c o s (2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++（第4题）1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过点(,1)3M π．（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程；（2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1()g s的大小；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列，求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD∥CE， AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．DA（第21-A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=．（1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑．2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i＝2－i ，所以z 1＝2+i ．MC 1B 1A 1CBA（第22题）3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π，可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2，所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×328．【答案】【解析】对于椭圆，显然1,c b a ==，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。

高考南通市数学学科基地密卷

高考南通市数学学科基地密卷LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08-（第3题）2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2．若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ．5．为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为元，随机分配成5份，金额分别为元，元，元，元，元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．（第4题）7．已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8．已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B为顶点，且离心率为2，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过点(,1)3M π．（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面（第16题）17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程；（2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1(g s的大小；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列，求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD ∥CE ，AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅DA（第21-B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．内．作答．22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=．（1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑． 2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50MC 1B 1A 1CBA（第22【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（，）（，），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π，可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2，所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥P ABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×39348．【答案】2300(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l 的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷3理

（第11题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（3）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合，集合，则．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则的值为．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为．4．从1个黑球，1个黄球，3个红球中随机取出三个球，则三球颜色互不相同的概率是．5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值为．6. 在平面直角坐标系Oy 中，双曲线x 216－y 29＝1的顶点到其渐近线的距离为．7. 各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，则的值为．8. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，若成等比数列，则的值为．9．已知实数，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则的最大值与最小值之和为． 10．已知函数，，则的解集是．11．将函数的图象向左平移3个单位，得函数（）的图象（如图），点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为．12．已知正实数满足，则的最小值为．13．已知是圆;的直径,为坐标原点,直线;与轴垂直,过圆上任意一点(不同于)作直线与分别交直线于两点, 则的值为 .14.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，过的平面分别与，交于点，．（1）求证：平面平面；（2）求证：∥．16．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角；（2）若a＋b＝4，设D为AB的中点，求线段CD长的最小值．17．(本小题满分16分)在平面直角坐标系Oy中，圆O：，直线l：．为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l，求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为 cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（本小题满分16分）已知函数，．（1）求函数的单调增区间；（2）若函数有三个互不相同的零点0，，，其中．（ⅰ）若，求a 的值；（ⅱ）若对任意的，都有成立，求a 的取值范围．20．(本小题满分16分)在数列中，，，，为常数，．（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）是否存在正整数（），使得与都为等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2018年高考模拟试卷（3）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，，，是圆上不共线的三点，于，和分别交的延长线于和，求证：．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征向量，求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线的方程为，圆的方程为，试判断直线与圆的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．（本小题满分10分）某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种抽奖方案，方案A 的中奖率为，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品．（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为，若≤3的概率为79，求P 0；（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？23．（本小题满分10分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．( 第23题 ) A B CD FE M （1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）设平面与平面所成二面角的大小为（），求的取值范围．2018年高考模拟试卷（3）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．答案：解析：由并集定义可得．2．答案：25 解析：因为即为复数a ＋b i 模的平方，且，所以，即的值为253．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为，所以100名学生中丁专业抽取人数为人.4．答案：解析：将黑球标记为，黄球标记为，红球标记为基本事件有共计10种，其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为.5．答案：7 解析：第1次，，；第2次，，；第三次，，．6. 答案：解析：顶点坐标为，渐近线方程为，由对称性不妨取顶点，渐近线方程为，故顶点到其渐近线的距离为.7.答案：解析：方法一：正四棱柱的体积为，正四棱锥的高为，底面积为，故体积为，所以正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，即.方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为.因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为.8. 答案：80解析：因为成等比数列，所以.又，设公差为,故，即，又公差不为零，故.即.所以.9. 答案：解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A处取到最大值.又，故.在点C处取到最小值.又,故.所以的最大值与最小值之和为10．答案：解析：，所以在上单调递增，在上为常数函数，则，解得．11．答案：解析：将函数的图象向左平移3个单位，得函数,所以，由余弦定理可得，，.12．答案：解析：方法一：因为，所以.又，所以.当且仅当时取等号.方法二：因为，所以，即.故当且仅当时取等号.方法三：因为，所以，当且仅当时取等号.13．答案：1解析：设直线的倾斜角分别为,则,，记直线;与轴的交点为,，则,,.即的值为114.【答案】【解析】方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示，所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）证：（1）因为平面，平面，所以．因为底面是矩形，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）底面是矩形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面．因为平面，平面平面，所以∥．16．（本小题满分14分）解：（1）因为，所以，所以．又因为，所以．（2）法一：因为D是AB中点，所以，所以，即，所以，当且仅当时等号成立．所以长的最小值为．法二：在中，由余弦定理得，可设．在中，由余弦定理得，可设．所以，所以．下同法一．法三：以C为原点，CA为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以，所以，所以，下同法一．17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为，由条件得，，解得，即直线MN的方程为．因为，，所以，即，所以．又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，所以△PMN的面积为．（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设，则直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为．联立方程组解得点的坐标为，所以，由于，，所以，所以，即，所以直线PM与圆O相切，得证．18．（本小题满分16分）解：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L=cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则=．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．19．（1），其判别式．①当时，，恒成立，所以的单调增区间为．………………………………………1分②当时，由，得或，所以的单调增区间为，．3分综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，．4分（2）（ⅰ）方程，即为，亦即，由题意，是方程的两个实根，………………5分故，，且判别式，得．由，得，，………………………………………8分故，所以．………………………………………9分（ⅱ）因为对任意的，恒成立．因为，，所以，所以或．①当时，对，，所以，所以．又，所以．………………………………………12分②当时，，由（1）知，存在的极大值点，且．（方法1）由题得，将代入化简得，解得．…14分又，所以．因此．…………………………15分综上，a的取值范围是．………………………………………16分（方法2），由题得，将，代入化简得，得，故，因为在上递减，故．综上，a的取值范围是．……………………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）将代入，得，由，，得．（2）由，得，即．当时，，因为，所以．因为也适合上式，所以．（3）由（2）知，．假设存在正整数且，使得与同时成等差数列，则且，即，整理得，（*）设，，则所以单调递减数列．①若，当时，则，所以左边，右边，显然等式不成立，当时，得，解得，所以，，符合题意．②若，因为，所以，所以，所以，所以，所以不存在，即时，不存在符合题意的．综上，存在，，，使得与同时成等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证：连接，因为，，所以，又，所以，又因为，，所以，所以，，，四点共圆，所以.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由题意，，即，所以解得，所以．设上一点在的作用下得到直线上一点，则，即所以代入直线，得，即直线的方程为.C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由，得，所以直线直角坐标方程为．由，得，所以圆的直角坐标方程为，即． …… 8分所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）解：设，即所以的最小值为，所以．当时，不等式即为，解得，矛盾；当时，不等式即为，解得，所以；当时，不等式即为，解得，所以．综上，实数的取值范围是．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“＝5”．因为P (＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (＝5)＝1－23P 0＝79，所以P 0＝13．（2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为1，都选择方案B 抽奖的中奖次数为2，则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (21)，选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (32)．由已知可得，1～B (2，23)，2～B (2，P 0)，所以E (1)＝2×23＝43，E (2)＝2P 0，从而E (21)＝2E (1)＝83，E (32)＝3E (2)＝6P 0．若E (21)>E (32)，则83>6P 0⇒0<P 0<49，若E (21)<E (32)，则83<6P 0⇒49<P 0<1，若E (21)＝E (32)，则83＝6P 0⇒P 0＝49．综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值较大；当P 0＝49时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等． 23．（本小题满分10分）解：（1）在△ABC 中，，，，则，所以，即．因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． …… 2分建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，当时，，所以．所以，，所以，所以，即异面直线与所成角的大小为．（2）平面的一个法向量，设，由，得即，所以，．设平面的法向量，因为即取，则，，所以平面的一个法向量，因为，所以．因为，所以．。

2018年高考南通市数学学科基地密卷

2018 年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．复数z a i （a R ，i是虚数单位），若z2是实数，则实数 a 的值为▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，角的始边为射线Ox，点P1，2 在其终边上，则 sin 的值为▲．3．设全集 U 是实数集R，M x x 3，N x x 2，则图中暗影部分所表示的频次会合为▲．组距U（第 3题）视力（第 4题）4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45 名学生的高校招生体检表中视力状况进行统计，其结果的频次散布直方图如右上图．若某高校开始A专业对视力要求不低于，则该班学生中最多有▲人能报考 A 专业．5．袋中共有大小同样的 4 只小球，编号为 1， 2， 3，4．现从中任取 2 只小球，则拿出的 2 只球的编号之和S0 n 2n n+1n+1 MnS S+log 2M是奇数的概率为▲ ．否6．履行如下图的算法，则输出的结果是▲ ．S≥22 2 是x y 输出 S 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 1k k 3 结束的一个焦点为 ( 5,0) ，则该双曲线的离心率为▲ ．（第 6题）8．现用一半径为10 cm，面积为80? cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定连接部分及铁皮厚度忽视不计，且无消耗），则该容器的容积为▲ cm 3．9．平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝ 3，∠ BAD ＝ 60°，点 E ，F 分别知足→→ → → uur uur▲ ．AE ＝ 2ED ， DF ＝ FC ，则 AF BE 的值为10．设 S n 是等比数列 { a n } 的前 n 项和，若知足a 4 + 3a 11= 0，则S 21 = ▲ ．S1411．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 ykx 被圆 x 2 y 2 2mx 2 3my 3m 21 0截得的弦长是定值（与实数 m 没关），则实数 k 的值为 ▲ ．12．在△ ABC 中， cos A 2sin B sin C ， tan B tanC 2 ，则 tanA 的值为▲ ．13．设 F 是椭圆x2＋y2＝ 1(a ＞0，且 a ≠2)的一焦点，长为3 的线段 AB 的两个端点在椭a24圆上挪动．则当 AF BF 获得最大值时， a 的值是▲ ．·14．设函数 f ( x)2k 17 x 2 ，x ≤ 0，k x4，此中 k0 ．若存4 g( x) x2，x 0 ，3在独一的整数 x ，使得 f (x)g (x) ，则实数 k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分．15． (本小题满分 14 分)3在△ ABC 中， A 为锐角，且 sin A．5（1）若 AC2， BC6，求 AB 的长；5 （ 2）若 tan AB1，求 tanC 的值．316． (本小题满分 14 分 )如图，在三棱锥P ABC 中， AC BC ，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC //平面 PDE．P（1）求证：DE //平面 PBC；（2）若平面 PCD⊥平面 ABC，求证：平面 PAB⊥平面 PCD ． AEC DB17． (本小题满分14 分（第 16 题）设 l1， l2， l3是同一平面内的三条平行直线，l1与 l 2间的距离是1 m，l2与l3间的距离是 2 m，△ ABC 的三个极点分别在l1， l2， l3．（ 1）如图 1，△ ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（ 2）如图 2，△ ABC 为直角三角形，且 B 为直角极点，求 AB 4BC 的最小值．Al1 Al1Bl2Bl2l 3 l3C C图 1 图 218． (本小题满分16 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设 P 为圆O：x2 y 2 2 上的动点，过P 作 x 轴的uuur uuuur y 垂线，垂足为Q，点 M 知足PQ 2MQ ．A （1）求证：当点 P 运动时，点 M 一直在一个确立的椭圆上；PT·M （2）过点 T 2 ，t (t R ) 作圆 O 的两条切线，切点分别O Q xB为 A，B．①求证：直线AB 过定点（与t 没关）；（第 18 题）②设直线 AB 与（ 1）中的椭圆交于C， D 两点，求证：AB ≤2．CD19． (本小题满分16 分 )设等差数列a n是无量数列，且各项均为互不同样的正整数，．（ 1）设数列a n其前n项和为S n，b n Sn1， n N *．a n①若 a2 5 ， S540 ，求 b2的值；②若数列b n为等差数列，求b n；（ 2）求证：数列a n中存在三项（按本来的次序）成等比数列．20． (本小题满分16 分 )已知函数f ( ) e x， g( x)2 x mx ．（ 1）若直线y kx 1与 f (x) 的图象相切，务实数k 的值；（ 2）设函数h( x) f ( x) g( x) ，试议论函数 h(x) 在 (0 ，) 上的零点个数；（ 3）设x1，x2 R ，且 x1 x2 ，求证： f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( x1)．2 x2 x12018 年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附带题 )21．【选做题】此题包含 A、 B、 C、 D 四小题，请选定两题，并在相应的答题地区内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ． [ 选修 4—1：几何证明选讲 ]( 本小题满分10 分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD ， BA 、 CD 的延伸线交于点 E ．求证： AE 均分DAF ．B FAC D E（第 21— A 题）B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换](本小题满分10 分)1 aT M把直线l： 2x y 3 变换为自己，务实数已知矩阵 M 所对应的变换b 3a ，b 的值．C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程](本小题满分10 分 )x t cos mC：x 5cos已知直线 l ：（ t 为参数）恒经过椭圆y （ ?为参数）y t sin 3sin 的右焦点，务实数m 的值．D ． [选修 4－ 5：不等式选讲]( 本小题满分10 分 )设 a1，a2 ，a31 1 1a2 a3≥ 9 ．均为正数，且a21 ，求证： a1a1 a3【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，合计20 分．请在答卷纸指定地区内作答．．．．．．．．．22． (本小题满分 10 分 )设随机变量ξ的散布列为 P( k ) k k !，此中 k N *，k 6 ，c为常数．c（1）求 c 的值；（2）求ξ的数学希望 E(ξ?)．23． (本小题满分10 分)已知数列 a nC1n 1 C n2 2 C n3 3 C n n n * 知足 a n C n 2 22 23 2n ，n N ．（1）求a1，a2，a3的值；（2）猜想数列a n的通项公式，并证明．2018 年高考模拟试卷（7）参照答案一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．1．【答案】 0【分析】 z221 2ai 是实数，则a 0 ．a ia22．【答案】2 55【分析】依据三角函数定义，2 2 5．sin22( 1)2 53．【答案】2,3【分析】图中暗影部分所表示的会合为( C U M ) I N ，即为 2,3 ．4．【答案】 18【分析】校 A 专业对视力要求不低于的学生数为45 1 0.75 0.25 0.2 18 ．5．【答案】23【分析】从 4 只小球中任取 2 只小球共有 6 种取法，此中 2 只球的编号之和是奇数的有4 种，则所求概率为 2 ．36．【答案】 2【分析】依据循环，挨次获得n, M , S 的值分别为3, 44 ；3 ,log 2 34,5, log 24log 2 5 ，， 11, 12, log 2 4 log 2 5 L log 2 12 ，4 3 411 3 4 11由于 Slog 2 4log 2 5 L log 2122≥ 2 ，因此最后的输出结果为2．3 4117．【答案】52【分析】由题意， 2k3 5 ，即 k4，因此双曲线为x 2y 21 ，因此离心率为5． 428．【答案】 128π【分析】设圆锥底面半径为 r ，高为 h ，由题意， πr 1080π，得 r 8 ．因此 h 6 ，容积为 1πr 2h 1 π 82 6 128π．3 39．【答案】 6uur 2 uuur uur uuur uuur uuur 1 uur uur uuruur 2 uuuruur由于 AEAD ， AFAD DFAD2 AB ； BE BA AE AD AB ，那么33uur uuruuur 1 uur 2 uuur uuur2 uuur 2 1 uur 2 2 uur uuur8 4 6 ．AF BEAD ABADABAD AB 3 AB AD 6233 210．【答案】 76【分析】由 a 411q71，因此 S211 q 21 7 ．+ 3a = 0，知3 S141q 14611． ?【答案】3322【分析】由 x2y22mx 2 3my 3m 21 0 得， x my 3m m21 ，km 3m2则圆心 m ， 3m 到直线 y kx 的距离为，设截得的半弦长为 p ，1 2k22 3k 1 m 2 k 222k3 m211（与实数 m 没关），则 pm 1 k21 2k因此 3k1 0 ， k3 ．312． ?【答案】 1【分析】由 cosA 2sin B sinC 得， cos BC 2sin B sin C ，即 cosBcosC sin Bsin C 2sin Bsin C ，因此 tan B tanC1 ，因此 tan Atan BCtan B tan C2 1 ．tan B tanC 1 1 1813．【答案】 3或 3．【剖析】当 a ＞2 时，设椭圆的此外一个焦点为F ′，联络 AF ′， BF ′．则 AF ′＋ BF ′≥|AB |＝ 3．故 AF ＋ BF ＝ 4a － (AF ′＋ BF ′)≤4 a － 3．AFBF 2 4 a － 3 24 a － 3因此 AF BF ≤(·) ≤() ．当且仅当线段AB 过点 F ′，且 AF ＝ BF ＝时，·222上式等号建立，此时， AB ⊥ x 轴，且 AB 过点 F ′．于是224 a － 3 23 222 234c ＝ |FF ′|＝(2 ) － (2) ＝ 4a － 6a ，即 c ＝ a － 2a ．3 8则 a 2＝ 4＋ (a 2－2a)，得 a ＝3．近似地，当 0＜ a ＜ 2 时，可得 a ＝ 3． 14． ?【答案】17 ，63【剖析】当 k16时， f (x) ，g ( x) 的图象相切； k6 时， f (x) ，g ( x) 的图象均过点32，4 ， 4，16 ，故独一的正整数 x 3 ，同时k 17≤k ，进而17≤k ≤6 ．4 3二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15． (本小题满分 14 分)解：（ 1）由于 sin A3 ， A0 ，π，5 224因此 cos A1 sin 2A 1 33 分55 ．2b2c2a22 2 c 26ABCcos A452bc52 2 cc8AB8655321tan Asin A5 38cos A4 45tan A tan A B3 1 13 tan Btan AA B43 111 tan A tan AB 1 3 194 3ABCAB Cπ3 13tanCtan A Btan Atan B49 7914tan A tan B13131 34916(14)1BC //PDE BCABCPDE IABC=DEBC DE.3DEPBC BC PBCDE //PBC621BCDEABCE AC D ABACBCABCD9PCDABCPCD I ABCCD ABABCAB PCD 12AB PABPABPCD1417(14解：（ 1）如图 1，过点 B 作 l 2 的垂线，分别交 l 1 ， l 3 ，于点 D ， E ，设 DBA，则 EBC2 ．DAl 13则 AB1 ， BC 2Bl 2． 2 分coscos 2π312 ，l由于 ABBC ，因此EC3cos cos2π图 13化简得 5cos3sin，因此 tan5 3，则 cos2 3 ，37因此边长 AB12 21 ．6 分3cos（2）如图 2，过点 B 作 l 2 的垂线，分别交 l 1 ， l 3 于点 D ， E ．设 DBA，则 EBCπ ，DAl21 则 AB1， BC 2．Bl 2cos sin于是 AB4 BC1 8．8 分cos sin记 f ( ) 18πE Cl 3cossin ，0 ，2 ．图 2求导，得 f ( )sin 8cos sin 38cos 3tan 38． 10 分cos2sin2sin 2cos 2sin 2 cos 1令 f () 0 ，得 tan2 ．记 tan2 ，列表：0 ， 0，π2 f ( ) － 0＋f ( )↘极小值 ↗当0 时， f ( ) 取最小值，此时 sin2 5 ， cos5， f ( 0 )5 5 ．5512 分答：（1）边长AB为2 21m；（ 2） AB 4 BC 长度的最小值为 5 5 m． 14 分318． (本小题满分 16 分 )解：（1）设点 M ( x，y) ，由uuuur uuur2MQ PQ ，得 P x ， 2 y ．由于 P 为圆O： x2 y2 2 上的动点，因此 x222 ，即x 2y22 y 1 ，2因此当点 P 运动时，点M 一直在定椭圆x2y 2 1 上． 4 分2（2）①设 A( x1，y1 ) ， B(x2，y2 ) ，当 y1 0 时，直线 AT 的方程为： y y1 x1 x x1，即 x1x y1 y x12y1 2 ，y1由于 x12 y1 2 2 ，因此 x1x y1 y 2 ，当 y1 0 时，直线 AT 的方程为：x 2 ，综上，直线 AT 的方程为： x1x y1 y 2 ．同理，直线 BT 的方程为： x2 x y2 y 2 ．又点 T 2 ，t (t R ) 在直线 AT， BT 上，则 2 x1 ty1 2 ，①2 x2 ty2 2 ，②由①②知，直线 AB 的方程为：2x ty 2 ．因此直线 AB 过定点1，0 ．9 分②设 C( x3，y3 ) , D (x4，y4 ) ，则 O 到 AB 的距离 d2， AB 2 r 2 d 2 22t 2 4．11 分4 t2 t 2 42x ty 2由 22 ，得 (t 2 8) y2 4ty 4 0 ，x1 2 y于是 y 3 y 44t ， y 3 y 44，t 2t 2 88t22 t22t 2因此 CD1y 3y 448，13 分4t 28于是AB22(t 8) t 2 ， CD(t 2 4) t 2 4AB≤ 2(t 28) t 22≤ 2(t 28)2 t 22 ≤ 2 (t 2 4)2 t24CD( t 24) t 24t 4 (t 2 6) ≥ 0（明显）因此AB≤ 2 ．16 分CD19． (本小题满分 16 分)解：设等差数列a n的公差为 d ．由于无量数列 a n 的各项均为互不同样的正整数，因此 a 1 N * ， d N * ．（1）①由 a 25 ， S 540得， a 1 d 5 ， 5a 1 5 4 d 40 ， 2 分2解得 a 1 2 ， d 3 ．因此 b 2 S 2 1 a 1 2 ． 4 分a 2a 25②由于数列 b n 为等差数列，因此 2b 2 b 1 b 3 ，即 S 2 1S 1 1 S 3 1． 2 a 1 a 3a 22 2a 1 d 13 a 1 d ，解得 a 1 d （ d 0 已舍）． 6 分因此 a 1 da 1 2 dn n1此时， b nS n 12 a 11n 18 分．a nna21（ 2）由于 a a 1 1 a 1a 1 1 1 d 是数列 a n 的第 a 1 1 项，a a 1 (d 2) 1a 1a 1 (d 2) 1 1 d 是 a n的第 a 1 (d2) 1 项，且aa 12a 121 d 2， a 1 a a 1 ( d 2) 1a 1a 1 a 1(d 2)d ，1因此 a a 1 2a 1 a a 1 ( d 2) 1 ．1又 a 1 a 1 1 a 1 ( d 2) 1，因此数列a n 中存在三项 a 1 ， a a 1 1 ， a a 1 ( d 2) 1 按本来的次序）成等比数列．16 分20． (本小题满分 16 分)解：（ 1）设直线 y kx 1 与 f (x) 的图象的切点为 (x 0 ，e x 0 ) ．由于 f (x)x，因此e x 0k， 2 分ekx 0e x1因此 e x 0 ( x 0 1) 1 0 ．令 (x) e x ( x 1) 1 ， ( x) e x x ．令 (x) 0 得 x 0 ．x (，0) 0 (0， ) ( x) － 0＋( x)↘↗因此 min ( x) (0) 0 ，因此 x 0 （ 2） h( x) e xmx 2 (x 0) ．令令 t ( x)e x m (x0) ， t (x)2xx(0 ，2)t (x) －t (x)↘0 ，因此 k 1．4 分h( x)0 得 e xm ．x 2e x (x 2) ． x 32(2， ) 0＋↗当 x 2 时， t( x) 有最小值 t (2) e 2m ．4由于 t( x) 在 (0 ， ) 上的图象是连续不停的，当 me 2时， t(x)0在 (0， ) 上恒建立，因此 h( x) 在 (0 ， ) 无零点；4当e 2 时， t min ( x) 0 因此 h(x) 在 (0 ， ) 有且仅有一个零点；4 m21 1当 me时，此时 t min ( x)t(2) 0 ，由于 t 1m 2e mm m2e m10 ，4mm因此 t( x) 在 (0 ，2) 上有且仅有一个零点．3m又由于 t(3m)e 2 m1 2 (e 3m 9 m 3 ) ，9m9m令 u( x)ex1x 3 ， x (2,) ，3则 u (x)e x x 2 ， u (x) e x 2 x ，因此 u (x) e x 2 0 ．因此 u (x) 在 (2， ) 上单一递加，因此 u (x)u (2)e 2 4 0 ，因此 u ( x) 在 (2， ) 单一递加，因此 u ( x) u (2)e 2 4 0 ，因此 u (x) 在 (2，) 单一递加，因此 u( x)u(2)28 0 ，e3因此 e x1 x 3 在 (2， ) 恒建立，3因此 e 3 m 9m 3 ，即 t(3m) 0 ，因此 t (x) 在 (2， ) 上有且仅有一个零点．因此 h(x) 在 (0 ， ) 上有两个零点．综上所述， me 2 时， h(x) 在 (0 ， ) 无零点；4m e 2 时， h( x) 在 (0 ， ) 有且仅有一个零点；4me 24 时， h( x) 在 (0 ，) 有两个零点．10 分（ 3）由于 f (x) e x 在，上单一增，且 x 2x 1 ，因此 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ， x 2x 1 0 ，f (x 1 ) f ( x 2 )f ( x 2 ) f (x 1 )ex1ex2ex2ex1x 2 x 1因此2x 2 x 12x 2 x 1 21(x 2 x 1 )e x2x 111( x 2 x 1 ) 12( ) ．2e x 2x 1 1 2e x2 x11令 (x)x 21( x 0) ， (x)1 2e x(e x1)2．2 e x1 2 (ex1)22(ex1)2由于 x 0 ，因此 ( x) 0 ，因此 (x) 在 (0 ， ) 上单一递加，因此(x)(0) 0 ，因此 ( ) 式建立，因此 f ( x 1 ) f (x 2 )f ( x 2 ) f ( x 1 ) ．2x 2 x 1x x e2e 1xxe2e 116 分数学Ⅱ (附带题 )21．【选做题】此题包含 A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或．演算步骤．C ． [ 选修 4—1：几何证明选讲 ]( 本小题满分10 分)F证明：由于四边形ABCD 是圆的内接四边形， BA因此 EAD BCD ．2 分由于 BCBD ，因此 BCDBDC ．4 分 C DE又 BAC EAF ， 6 分（第 21—A 题）BACBDC ，8 分因此 EADEAF ，即 AE 均分 DAF ．10 分D ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]( 本小题满分10 分)解：设 P(x ，y) 是 l ： 2 x y3 上随意一点，在矩阵 M1 a ( x ，y ) ，b 对应的变换获得点为31 a xx x x ay ，5 分由3 y，得y bx3 y ，by代入直线 l ： 2x y 3 ，得 ( 2 b)x (2 a3) y 3 ，7 分因此2 b 2 ，1 ，b 4 ．10 分2a3 1 解得 a，C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ](本小题满分10 分)解：将直线 l 化为一般方程，得 ytan (x m)3 分将椭圆 C 化为一般方程，得x 2 y 2 ．6 分259 1由于 a 5,b 3,c 4 ，则右焦点的坐标为 (4,0) .8 分而直线 l 经过点 (m,0) ，因此 m4 .10 分D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]( 本小题满分 10分)证明：由于 a 1，a 2，a 3 均为正数，且111 1 ，a 1 a 2a 311a 3 )1111113因此 a 1 a 2 a 3 ( a 1 a 2 ≥3 a 1a 2 a 3 3 3 9 ，a 1 a 2a 3a 1 a 2 a 3（当且仅当 a 1 a 2 a 3 3 时等号建立）8 分因此 a 1a 2 a 3≥ 9 .10 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分． 22． (本小题满分 10 分)解：（ 1）由于 k k!( k 1)1 k! (k 1) k ! k ! (k1)! k! ，5又由概率散布的性质可知P(k) 1 ，k 15k k ! 1 51 51 719 即k k!(k 1)! k !6! 1! 1 ， k 1 c c k 1c k 1cc 因此 c ??719．3 分（ 2）由（ 1）知P(k) k k ! kN *，k 6719 ，，于是 P(2) 2 2! 4 ， P(1)1 ， P(3) 3 3! 18 ，719 719719 719 719P( 4)4 4! 96 ， P(5)5 5! 600 ．8 分719 719 719 719因此 ξ的数学希望 E( ξ?) 112 43 184 965 600719719719 7197193447 ． 10 分71923． (本小题满分 10 分)解：（ 1） a 1= 2 ， a 2 = 4 ， a 3 = 8 ．3 分（ 2）猜想： a n = 2n ．证明：①当 n 1，2， 3 时，由上知结论建立；5 分②假定 n k 时结论建立，则有 a kC 1k 1 C k 2 2C k 3 3K C k kkk．C k22 22 3 2 k2则 n k 1 时， a k 1C 1k 1 1 C k 2 1 2 C 3k+1 3K C k+k+11k+ 1．C k 122 23k+ 12 2由 C n k 11C n k 1 C n k 得1 02 13 2a k 1C k 0 C k 1 C k 1 C k 22 2 C k 2C k 33 C k 3K22kk- 1k+ 1C k+kC k+kC k+ 1 k+ 1kk+ 1222k12k 1k+ 1C k 1C k 2C k 3 K C k k C k+ 1 k+ 1 ，2 2223 2k 2 k+1a k 1k1 0 C 1k2 C k 23 C k k 1k C k+k+ 11 k+ 1 )2(C k 11 2 2 K k 1 2 k22 22 k1 0C 1k 2 C k 2 3 K C k k11k-1C k+k 1 k + C k+k+ 11 k ) ．(C k 1 2122 2 k 1 2k2k+ 1(2 k 1)!(2 k 1)!( k 1)1(2 k 1)!(2 k2)1 k+ 1又2k=k !(k 1)! (k 1)k !( k1)!(k 1)!(k 1)!2 C k+ 1 k 1 C k+ 1k 0C 1k 2 C k 2 3 K C k k 11 k -1 C k+k 1 k C k+k+ 11k 1 ) ，2 1 (C k 1 1 2 2 k 1 k k 12 22 2 2 于是 a k 2 k1 12ak 1．因此 a k12k 1 ，故 n k 1 时结论也建立．由①②得， a n = 2 n ，nN * ．10 分。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷(3)理

开始输出k结束S >10S ←1Y NS ←S ⨯k （第5题） k ←k ＋2k ←1 （第11题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（3）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分． 1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|1B x x =>，则AB = ．2．若（a ＋b i)（3－4i)＝25 （a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则22a b +的值为． 3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为．4．从1个黑球，1个黄球，3个红球中随机取出三个球,则三球颜色互不相同的概率是．5．右图是一个算法的流程图,则输出的k 的值为．6。

在平面直角坐标系xOy 中，双曲线错误!－错误!＝1的顶点到其渐近线的距离为．7. 各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值为．8。

已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26a =，若137,,a a a 成等比数列，则72S S +的值为． 9．已知实数x ，y 满足条件错误!则yz x=的最大值与最小值之和为． 10．已知函数2()||2x f x x +=+,x ∈R ，则2(2)(2)f x x f x -<-的解集是．11．将函数()π3sin 4y x =的图象向左平移3个单位，得函数()π3sin 4y x ϕ=+（πϕ<）的图象（如图)，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点,设MON θ∠=, 则()tan ϕθ-的值为．12．已知正实数,x y 满足111x y+=，则3411x y x y +--的最小值为． 13．已知AB 是圆C ：222x y r +=的直径，O 为坐标原点，直线l :2r x c=与x 轴垂直，过圆C 上任意一点P (不同于,A B ）作直线PA 与PB 分别交直线l 于,M N 两点，则2OM ONr ⋅的值为 .14.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与PB ,PC 交于点E ，F ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）求证：AD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,已知π1sin()cos 62C C +-=．(1）求角C ；（2）若a ＋b ＝4，设D 为AB 的中点，求线段CD 长的最小值．17．(本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O :224x y +=,直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为圆O 内一点,弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ．（1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．PABCDEF（第15题）（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1)试用x ,y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗)？19．（本小题满分16分）已知函数32()3(2)f x x x a x =-+-，a ∈R ． (1）求函数()f x 的单调增区间;yx26cm30cm图1图2（2）若函数()f x 有三个互不相同的零点0,1t ，2t ，其中12t t <．（ⅰ)若213t t =，求a 的值；（ⅱ)若对任意的12[]x t t ∈，，都有()16f x a -≤成立，求a 的取值范围．20．(本小题满分16分）在数列{}n a 中，11a =,283a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数,*n ∈N ． (1）求λ的值；（2）设nn a b n=,求数列{}n b 的通项公式; (3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在,求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．2018年高考模拟试卷(3）数学Ⅱ（附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD AB ⊥于D ,BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：OBP CQP ∠=∠．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b ∈R ，，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是二阶矩阵24a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属性特征值3的一个特征向量，求直线:230l x y --=在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线l '的方程．C ．［选修4-4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分)在极坐标系中，已知直线l 的方程为()πcos 24ρθ-=，圆C 的方程为4sin 2cos ρθθ=-，试判断直线l 与圆C 的位置关系．D ．［选修4—5：不等式选讲］（本小题满分10分)对任意实数t ，不等式|3||21||21||2|t t x x -++-++≥恒成立,求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题,每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种抽奖方案,方案A 的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为P 0（0<P 0<1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品．QPDCBAO（第21-A ）( 第23题 )ABCDFEM （1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为错误!，求P 0；(2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？23．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中,1AB =，2AD =,π3ABC ∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =,点M 在线段EF 上运动，且EM EF λ=． (1）当12λ=时，求异面直线DE 与BM 所成角的大小；（2）设平面MBC 与平面ECD 所成二面角的大小为θ（π02θ<≤），求cos θ的取值范围．2018年高考模拟试卷（3）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．答案:{}|0x x > 解析：由并集定义可得AB ={}|0x x >．2．答案：25 解析：因为22a b +即为复数a ＋b i 模的平方,且2534abi i+=+，所以25534a bi i+===+，即22a b +的值为25 3．答案：18 解析:由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为3:3:8:6,所以 100名学生中丁专业抽取人数为6601820⨯=人.4．答案：310解析：将黑球标记为a ,黄球标记为b ，红球标记为123,,c c c 基本事件有123122313122313123,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,a b c a b c a b c a c c a c c a c c b c c b c c b c c c c c 共计10种，其中颜色互不相同有3种,故所求事件概率为310. 5．答案:7 解析：第1次，1S =，3k =；第2次，3S =，5k =;第三次，1510S =>,7k =．6。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷10理

江苏省南通基地2018年高考数学密卷（10）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合，，则▲．2．在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为▲．3．用系统抽样方法从名学生中抽取容量为的样本，将名学生随机地编号为，按编号顺序平均分为个组．若第组中用抽签的方法确定抽出的号码为，则第组抽取的号码为▲．4．幂函数的单调增区间为▲．5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值为▲．6．在矩形中中，，在上任取一点，则△ABP的最大边是的概率为▲．7．已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为▲．8．设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的▲条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”之一）9．已知正三棱柱的所有棱长都为3，则该棱柱外接球的表面积为▲．10．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点横坐标为，则的值为▲．11．已知函数若函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是▲．12．如图，已知正方形的边长是2，是的中点，是以为直径的半圆上任意一点，则的取值范围是▲．13．已知正数满足，则的最小值为▲．14．已知等差数列的首项，若数列恰有6项落在区间内，则公差的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)1C 1D 在△ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，，．（1）求的值；（2）求c 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 上一点，F 为 PO 的中点.（1）若PD ∥平面ACE ，求证：E 为PB 的中点；（2）若AB ＝PC ，求证：CF ⊥平面PBD .17．(本小题满分14分已知椭圆：的右准线的方程为，左、右两个焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）过两点分别作两条平行直线和交椭圆于两点（均在轴上方），且等于椭圆的短轴的长，求直线的方程.18．(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心在梯形内部，∥，60°，，设．（1）求梯形的面积；（2）当取何值时，四棱柱的体积最大？并求出最大值．（注：木材的长度足够长）19．(本小题满分16分)已知数列的首项（），其前项和为，设（）．（1）若，，且数列是公差为3的等差数列，求；（2）设数列的前项和为，满足．①求数列的通项公式；②若对且，不等式恒成立，求a的取值范围．20．(本小题满分16分)已知函数，（，）．（1）当时，①若函数与在处的切线均为，求的值；②若曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，设，若函数存在两个不同的零点求证：．2018年高考模拟试卷（10）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）（第22题）如图，圆的半径与互相垂直，为圆上一点，直线与圆交于另一点，与直线交于点，过点的切线交线段于点．求证：．B ．[选修42：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵，．若矩阵满足，求矩阵的特征值和相应的特征向量． C ．[选修44：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在极坐标系中，设P 为曲线C ：上任意一点，求点P 到直线l ：的最大距离．D ．[选修45：不等式选讲] （本小题满分10分）已知，且，求证：≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，已知定点，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且．（1）求动点的轨迹；（2）过点任作一条直线与相交于，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）．求证：动点在定直线上．23．（本小题满分10分）已知数列是公差为的等差数列．在的每相邻两项之间插入这两项的算术平均数，得到新数列，这样的操作叫做该数列的1次“”扩展．连续次“”扩展，得到新数列．例如：数列1，2，3第1次“”扩展后得到数列1，，2，，3；第2次“”扩展后得到数列1，，，，2，，，，3．（1）求证：为等差数列，并求其公差；（2）已知等差数列共有项，且．若的所有项的和为，求使成立的的取值集合．2018年高考模拟试卷（10）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．【答案】2．【答案】3．【答案】3914．【答案】5．【答案】4【解析】当时，，此时不成立．6．【答案】【解析】设，当时，，所以所求概率为：．7．【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程可知；又由题意，那么，双曲线方程为．8．【答案】必要不充分【解析】由，因为，所以要使，必须，即，所以“”是“”的必要不充分条件．9．【答案】【解析】如图，外接球的球心为上下底面中心连线的中点，连结，，所以三角形为直角三角形，，，所以，所以该棱柱外接球的表面积为．10．【答案】【解析】令，即，所以，因为，所以，即，从而．11．【答案】【解析】依题意，即记函数结合函数图象知，．12．【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，，所以，其中，且．由于，所以，所以．13．【答案】【解析】，令，则，记，由得，．经检验，当时，，所以的最小值为．14．【答案】【解析】设等差数列的公差为，则由，由数列恰有6项落在区间内，得即令，则时，该不等式表示的区域为如图所示的四边形内部，及其边、(不含顶点、)，其中，，，．，，此时，，，即，，公差的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．(本小题满分14分)解：（1）在△ABC中，因为，，，由正弦定理得，，……2分于是，即，……4分又，所以．……6分（2）由（1）知，，则，，……10分在△ABC中，因为，，所以．则． ……12分由正弦定理得，． …… 14分16．(本小题满分14分) 【证】（1）连接，因为PD // 平面ACE ，面，面面，所以PD //OE . …… 3分因为四边形ABCD 是正方形知，所以为中点，所以E 为PB 的中点. …… 6分（2）在四棱锥P －ABCD 中，AB ＝PC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以，所以.因为F 为PO 中点，所以. …… 8分又因为PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD ，所以PC ⊥BD . …… 10分而四边形ABCD 是正方形，所以，因为平面，，所以平面， …… 12分因为平面，所以. 因为平面，，所以CF ⊥平面PBD . …… 14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题设，，， …… 3分得，，故椭圆方程为. …… 6分（2）连结BO 并延长交椭圆E 于D ，则易证，所以. 因为，所以，所以三点共线. …… 8分当轴时，不合题意；ABCD POEF当CD不与轴垂直时，设，代入椭圆方程并化简得，……10分设，则，所以.又，所以，得，……13分所以直线的方程为. ……14分18．(本小题满分16分)【解】（1）由条件可得，，所以梯形的高．又，，……3分所以梯形的面积……5分（）．……8分（2）设四棱柱的体积为，因为，所以．……10分设，因为，所以，所以，．由，……12分令，得，与的变化情况列表如下：……15分答：当时，四棱柱的体积取最大值为．16分19．(本小题满分16分)解：（1）由条件知，即，……2分所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为3．由，，所以，即，所以，．所以．……5分（2）①由，得（），由于符合上式，所以（），……7分所以．所以，即，所以数列为等比数列，且公比为，因为，所以（）．……10分②不等式即为，由于，所以不等式即为．当是奇数时，，，所以，即对且恒成立，所以，解得．……13分当为偶数时，，，由，得对且恒成立，所以，解得，因为，所以a的取值范围是．……16分19．(本小题满分16分)20．(本小题满分16分)解：（1）当时，，所以，．①由题意，切线的斜率，即，所以．……2分②设函数，．“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”．求导，得．（ⅰ）当时，由，得，所以函数在单调递减．因为，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．……5分（ⅱ）当时，，当变化时，与的变化情况列表如下：所以当时，．注意到，且，若，则，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．若，取，，所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．若，取，由于，所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的取值范围是或．……9分（2）当时，．因为，所以，即．令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以在处有极大值，所以．令，，……12分则，所以在上单调递增，从而，所以，而在上递减，且，所以，即．……16分数学Ⅱ(附加题)．若21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)【证】连结，则，因为，所以．……2分因为，所以，因为，所以，所以，……6分所以．因为是圆的切线段，所以，所以．……10分B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设，由，即，得解得所以．……5分设，令，得，．当时，，取；当时，，取．……10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．因为，所以，……2分将其化为普通方程，得3y60．……4分将曲线C：化为普通方程，得2y24．……6分所以圆心到直线l：3y60的距离d3．……8分所以P到直线l的最大距离为d25．……10分D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)【证】因为，且，所以……5分≥，所以≥．……10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)（1）解：设，，．由，得，即．……2分因为，所以，所以．所以动点的轨迹为抛物线，其方程为．……5分（2）证：设直线的方程为，代入，得，设，，则有．直线的方程为；直线的方程为，所以交点．7分设，注意到及，则有，因此动点在定直线（）上．……10分23．(本小题满分10分)（1）证：①当时，与的算术平均数为，则为常数，所以当时，数列为等差数列，且公差．……2分②假设当时，数列为等差数列，且公差，则当时，数列中相邻两项与的算术平均数为，由，知数列中任意相邻两项的差为常数，所以当时，数列为等差数列，且公差．由①②可知，为等差数列，且公差．……5分（2）解：（方法一）由已知可知，设数列的项数为，则，且，所以，所以，即．所以．……7分则．令，则．由可知，，，所以，所以在上单调递增．又因为，所以使成立的的集合为．……10分（方法二）同上可得，令，则，则单调递增，以下同上．……10分。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷3理

（第11题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（3）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合，集合，则．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则的值为．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为．4．从1个黑球，1个黄球，3个红球中随机取出三个球，则三球颜色互不相同的概率是．5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值为．6. 在平面直角坐标系Oy 中，双曲线x 216－y 29＝1的顶点到其渐近线的距离为．7. 各棱长都为的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，则的值为．8. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，若成等比数列，则的值为．9．已知实数，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则的最大值与最小值之和为． 10．已知函数，，则的解集是．11．将函数的图象向左平移3个单位，得函数（）的图象（如图），点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为．12．已知正实数满足，则的最小值为．13．已知是圆;的直径,为坐标原点,直线;与轴垂直,过圆上任意一点(不同于)作直线与分别交直线于两点, 则的值为 .14.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，过的平面分别与，交于点，．（1）求证：平面平面；（2）求证：∥．16．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角；（2）若a＋b＝4，设D为AB的中点，求线段CD长的最小值．17．(本小题满分16分)在平面直角坐标系Oy中，圆O：，直线l：．为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l，求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．18．（本小题满分16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm ，宽26 cm ，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为 cm 和y cm ，窗芯所需条形木料的长度之和为L ．（1）试用，y 表示L ；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm ，每个菱形的面积为130 cm 2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（本小题满分16分）已知函数，．（1）求函数的单调增区间；（2）若函数有三个互不相同的零点0，，，其中．（ⅰ）若，求a 的值；（ⅱ）若对任意的，都有成立，求a 的取值范围．20．(本小题满分16分)在数列中，，，，为常数，．（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）是否存在正整数（），使得与都为等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2018年高考模拟试卷（3）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，，，是圆上不共线的三点，于，和分别交的延长线于和，求证：．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是二阶矩阵的属性特征值3的一个特征向量，求直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线的方程为，圆的方程为，试判断直线与圆的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．（本小题满分10分）某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了A 、B 两种抽奖方案，方案A 的中奖率为，中奖可以获得2分；方案B 的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品．（1）若顾客甲选择方案A 抽奖，顾客乙选择方案B 抽奖，记他们的累计得分为，若≤3的概率为79，求P 0；（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？23．（本小题满分10分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．( 第23题 ) A B CD FE M （1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）设平面与平面所成二面角的大小为（），求的取值范围．2018年高考模拟试卷（3）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．答案：解析：由并集定义可得．2．答案：25 解析：因为即为复数a ＋b i 模的平方，且，所以，即的值为253．答案：18 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为，所以100名学生中丁专业抽取人数为人.4．答案：解析：将黑球标记为，黄球标记为，红球标记为基本事件有共计10种，其中颜色互不相同有3种，故所求事件概率为.5．答案：7 解析：第1次，，；第2次，，；第三次，，．6. 答案：解析：顶点坐标为，渐近线方程为，由对称性不妨取顶点，渐近线方程为，故顶点到其渐近线的距离为.7.答案：解析：方法一：正四棱柱的体积为，正四棱锥的高为，底面积为，故体积为，所以正四棱锥与正四棱柱的体积之比为，即.方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为.因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为.8. 答案：80解析：因为成等比数列，所以.又，设公差为,故，即，又公差不为零，故.即.所以.9. 答案：解析：将所给约束条件画出如下图所示的可行域.的几何意义为可行域中的任一点与原点连线的斜率.由图形可得：在点A处取到最大值.又，故.在点C处取到最小值.又,故.所以的最大值与最小值之和为10．答案：解析：，所以在上单调递增，在上为常数函数，则，解得．11．答案：解析：将函数的图象向左平移3个单位，得函数,所以，由余弦定理可得，，.12．答案：解析：方法一：因为，所以.又，所以.当且仅当时取等号.方法二：因为，所以，即.故当且仅当时取等号.方法三：因为，所以，当且仅当时取等号.13．答案：1解析：设直线的倾斜角分别为,则,，记直线;与轴的交点为,，则,,.即的值为114.【答案】【解析】方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示，所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）证：（1）因为平面，平面，所以．因为底面是矩形，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）底面是矩形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面．因为平面，平面平面，所以∥．16．（本小题满分14分）解：（1）因为，所以，所以．又因为，所以．（2）法一：因为D是AB中点，所以，所以，即，所以，当且仅当时等号成立．所以长的最小值为．法二：在中，由余弦定理得，可设．在中，由余弦定理得，可设．所以，所以．下同法一．法三：以C为原点，CA为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以，所以，所以，下同法一．17．（本小题满分14分）解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为，由条件得，，解得，即直线MN的方程为．因为，，所以，即，所以．又因为直线与直线间的距离，即点到直线的距离为3，所以△PMN的面积为．（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设，则直线的斜率，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为．联立方程组解得点的坐标为，所以，由于，，所以，所以，即，所以直线PM与圆O相切，得证．18．（本小题满分16分）解：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L=cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则=．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．19．（1），其判别式．①当时，，恒成立，所以的单调增区间为．………………………………………1分②当时，由，得或，所以的单调增区间为，．3分综上，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，．4分（2）（ⅰ）方程，即为，亦即，由题意，是方程的两个实根，………………5分故，，且判别式，得．由，得，，………………………………………8分故，所以．………………………………………9分（ⅱ）因为对任意的，恒成立．因为，，所以，所以或．①当时，对，，所以，所以．又，所以．………………………………………12分②当时，，由（1）知，存在的极大值点，且．（方法1）由题得，将代入化简得，解得．…14分又，所以．因此．…………………………15分综上，a的取值范围是．………………………………………16分（方法2），由题得，将，代入化简得，得，故，因为在上递减，故．综上，a的取值范围是．……………………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）将代入，得，由，，得．（2）由，得，即．当时，，因为，所以．因为也适合上式，所以．（3）由（2）知，．假设存在正整数且，使得与同时成等差数列，则且，即，整理得，（*）设，，则所以单调递减数列．①若，当时，则，所以左边，右边，显然等式不成立，当时，得，解得，所以，，符合题意．②若，因为，所以，所以，所以，所以，所以不存在，即时，不存在符合题意的．综上，存在，，，使得与同时成等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证：连接，因为，，所以，又，所以，又因为，，所以，所以，，，四点共圆，所以.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由题意，，即，所以解得，所以．设上一点在的作用下得到直线上一点，则，即所以代入直线，得，即直线的方程为.C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由，得，所以直线直角坐标方程为．由，得，所以圆的直角坐标方程为，即． …… 8分所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）解：设，即所以的最小值为，所以．当时，不等式即为，解得，矛盾；当时，不等式即为，解得，所以；当时，不等式即为，解得，所以．综上，实数的取值范围是．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（1）由已知得，甲中奖的概率为23，乙中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分≤3”的事件为C ，则事件C 的对立事件为“＝5”．因为P (＝5)＝23P 0，所以P (C )＝1－P (＝5)＝1－23P 0＝79，所以P 0＝13．（2）设甲、乙都选择方案A 抽奖的中奖次数为1，都选择方案B 抽奖的中奖次数为2，则这两人选择方案A 抽奖累计得分的均值为E (21)，选择方案B 抽奖累计得分的均值为E (32)．由已知可得，1～B (2，23)，2～B (2，P 0)，所以E (1)＝2×23＝43，E (2)＝2P 0，从而E (21)＝2E (1)＝83，E (32)＝3E (2)＝6P 0．若E (21)>E (32)，则83>6P 0⇒0<P 0<49，若E (21)<E (32)，则83<6P 0⇒49<P 0<1，若E (21)＝E (32)，则83＝6P 0⇒P 0＝49．综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案A 进行抽奖时，累计得分的均值较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值较大；当P 0＝49时，他们都选择方案A 或都选择方案B 进行抽奖时，累计得分的均值相等．23．（本小题满分10分）解：（1）在△ABC 中，，，，则，所以，即．因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． …… 2分建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，当时，，所以．所以，，所以，所以，即异面直线与所成角的大小为．（2）平面的一个法向量，设，由，得即，所以，．设平面的法向量，因为即取，则，，所以平面的一个法向量，因为，所以．因为，所以．。

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2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数i z a =+（a ∈R ，i 是虚数单位），若2z 是实数，则实数a 的值为 ▲ ． 2．在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为射线Ox ，点()12P -，在其终边上，则sin α的值为 ▲ ．3．设全集U 是实数集R ，{}3M x x =>，{}2N x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校 A 专业对视力要求不低于，则该班学生中最多有 ▲ 人能报考A 专业．5．袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ▲ ．6．执行如图所示的算法，则输出的结果是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2213x y k k -=- 的一个焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．现用一半径为10 cm ，面积为80cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器频率组距视力（第4题）（第3题）U（第6题）（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3． 9．平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅u u r u u r的值为 ▲ ．10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆2222310x y mx m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．设F 是椭圆22x a ＋24y ＝1(a ＞0，且a ≠2)的一焦点，长为3的线段AB 的两个端点在椭圆上移动．则当AF ·BF 取得最大值时，a 的值是 ▲ ．14．设函数2172 2 044()()3 0k x x f x g x k x x x ⎧+⎛⎫-+⎪⎛⎫ ⎪==-⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩≤，，，，，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =．（1）若2AC =，65BC =，求AB 的长；（2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．16．(本小题满分14分)（第16题）A如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．(本小题满分14分设1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1 m ，2l 与3l 间的距离是2 m ，△ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l ．（1）如图1，△ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（2）如图2，△ABC 为直角三角形，且B 为直角顶点，求4AB BC +的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：222x y +=上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ =u u u r u u u r ．（1）求证：当点P 运动时，点M（2）过点T ()2()t t -∈R ，作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．① 求证：直线AB 过定点（与t 无关）；（第18题）BCAl 3l 2l 1 图1BCl 3l 2l 1 图2A② 设直线AB 与（1）中的椭圆交于C ，D两点，求证：ABCD19．(本小题满分16分)设等差数列{}na 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，．（1）设数列{}n a 其前n 项和为n S ，1nn nS b a =-，*n ∈N ． ① 若25a =，540S =，求2b 的值； ② 若数列{}nb 为等差数列，求n b ；（2）求证：数列{}n a 中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数()e x f x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数；（3）设12x x ∈R ，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 、CD 的延长线交于点E ．求证：AE 平分DAF ∠．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换T M 把直线l ：23x y -=变换为自身，求实数a b ，的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（为参数）的右焦点，求实数m 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设123a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=，求证：1239a a a ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． ABFCDE（第21—A 题）22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为!()k k P k cξ⋅==，其中*6k k ∈<N ，，c 为常数．（1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】0【解析】()222i 12i z a a a =+=-+是实数，则0a =．2．【解析】根据三角函数定义，sin α==．3．【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N I ，即为(]2,3． 4．【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=． 5．【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为23．6．【答案】2【解析】根据循环，依次得到,,n M S 的值分别为2443,,log 33；225454,,log log 434+，…，22212451211,,log log log 113411+++L ，因为2224512log log log 223411S =+++=L ≥，所以最后的输出结果为2．7．【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=．8．【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =．所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=．9．【答案】6-因为23AE AD =u u r u u u r ，12AF AD DF AD AB =+=+u u r u u u r u u u r u u u r u u r；23BE BA AE AD AB =+=-u u r u u r u u r u u u r u u r ，那么AF BE ⋅=u u r u u r()()1223AD AB AD AB +⋅-u u u r u u ru u u r u u u r22212323AD AB AB AD =--⋅u u u r u u r u u r u u u r6846=--=-． 10．【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q =-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =2km -，设截得的半弦长为p ，则()221p m =+-(2221k mk -=+)2222111m k k -+++（与实数m无关），10-=，k =．12．【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=，即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-，所以()tan tan 2tan tan 1tan tan 111B C A B C B C +-=-+===---．13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′．则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AF ·BF ≤(AF ·BF2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14．【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】当163k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f x g x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，，所以4cos 5A ==． ……3分在△ABC 中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得，()2226254522c c+-=⨯⨯，解得85c =，所以AB 的长为85． ……6分（2）由（1）知，3sin 35tan cos 445A A A ===， ……8分所以()()()31tan tan 1343tan tan 3191tan tan 143A AB B A A B A A B +--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯． ……11分在△ABC 中，πA B C ++=，所以()313tan tan 7949tan tan tan tan 13133149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． ……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC //平面PDE ， BC ⊂平面ABC ，平面PDE I 平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ……6分（2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点．因为AC BC =，所以AB CD ⊥， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD I 平面ABC =CD ，AB ⊂平面ABC ，则AB ⊥平面PCD ． ……12分因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-．则1cos AB θ=，()22πcos 3BC θ=-．……2分因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-，化简得5cos θθ=，所以tan θ=，则cos θ=，所以边长1cos AB θ==． ……6分（2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ．设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-，则1cos AB θ=，2sin BC θ=．于是184cos sin AB BC θθ+=+． ……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，．求导，得333222221sin 8cos sin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=，列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ=，cos θ，．……12分BCAl 3l 2l 1 图2DB CAl 3l 2l 1图1D E答：（1）边长AB；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分18．(本小题满分16分)解：（1）设点()M x y ，PQ =u u u r u u u r，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点，所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分（2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+，因为22112x y +=，所以112x x y y +=，当10y =时，直线AT的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=．同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上，则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB 过定点()10-，． ……9分 ②设33()C x y ，,44()D x y ，，则O 到AB的距离d =AB ==． ……11分由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=，于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-， ……13分于是AB CD ，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD． ……16分19．(本小题满分16分) 解：设等差数列{}na 的公差为d ．因为无穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ．（1）①由25a =，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分 ②因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S S Sa a a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． ……8分（2）因为()111111a a a a d +=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}n a 的第()11a +项， ()1(2)111(2)11a d a a a d d ++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}n a 的第()1(2)1a d ++项，且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++，所以数列{}na 中存在三项1a ，11a a +，1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列． ……16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为00(e )x x ，．因为()e xf x '=，所以000e e 1xx kkx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分所以00e (1)10x x -+=．令()e (1)1x x x ϕ=-+，()e x x x ϕ'=⋅．令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e x h x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e x m x=．令2e ()xt x m=- (0)x >，3e (2)()x x t x -'=．当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-．因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的，当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点；当2e 4m =时，min ()0t x = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点．又因为33322e 1(3)(e 9)99mm t m m m m m=-=-，令31()e 3x u x x =-，(2,)x ∈+∞，则2()e x u x x '=-，()e 2x u x x ''=-，所以()e 20x u x '''=->．所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->，所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->，所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 03u x u >=->，所以31e 3x x >在(2)+∞，恒成立，所以33e 9m m >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点．所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点．综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点；2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；2e 4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分（3）因为()e x f x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >，所以21()()f x f x >，210x x ->，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-122121e e e e 2x x x x x x +-⇔>-212121e e 2e e x x x x x x --⇔>+ 2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+．令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++．因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增，所以()(0)0x ϕϕ>=，所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分) 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以EAD BCD ∠=∠． …… 2分因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠． …… 4分又BAC EAF ∠=∠， …… 6分 BAC BDC ∠=∠， …… 8分所以EAD EAF ∠=∠，即AE 平分DAF ∠． …… 10分 D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设()P x y ，是l ：23x y -=上任意一点，在矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换得到点为()x y ''，，由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得3x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，， …… 5分代入直线l ：23x y -=，得(2)(23)3b x a y --+-=， …… 7分所以22231b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得14a b ==-，． …… 10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线l 化为普通方程，得tan ()y x m α=- …… 3分将椭圆C 化为普通方程，得221259x y +=． …… 6分因为5,3,4a b c ===，则右焦点的坐标为(4,0). …… 8分而直线l 经过点(,0)m ，所以4m =. …… 10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=，所以123a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（第21—A 题）（当且仅当1233a a a ===时等号成立） …… 8分所以1239a a a ++≥. …… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）因为[]!(1)1!(1)!!(1)!!k k k k k k k k k ⋅=+-⋅=+⋅-=+-，又由概率分布的性质可知51()1k P k ξ===∑，即()[]()555111!111719!(1)!!6!1!1k k k k k k k k k c c c c c ===⋅=⋅=+-=-==∑∑∑，所以c 719． (3)分（2）由（1）知!()719k k P k ξ⋅==，*6k k ∈<N ，，于是22!4(2)719719P ξ⨯===，1(1)719P ξ==，33!18(3)719719P ξ⨯===，44!96(4)719719P ξ⨯===，55!600(5)719719P ξ⨯===． …… 8分所以ξ的数学期望E (ξ )14189660012345719719719719719=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3447719=． ……10分23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分（2）猜想：2n n a =．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立，则有123012323C C C C C 22222kk k k k k kk kk a ++++=+++++=K ．则1n k =+时，123101112131111231C C C C C 2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++K ．由111C C C k k k n n n +++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++K11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C 222222k k+kk k k k k k+k+k k+-+++++=++++++K ， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k ka -++++++-=++++++K1211023********C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+kk k k+-+++++++-=++++++K ．又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++K ，于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=，故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。