海明码最通俗易懂的讲解
海明码的计算（精）
海明码的计算（精）海明码的计算：码距：是不同码字的海明距离的最小值。
（1）可查出多少位错误：可以发现“≤码距-1”位的错误（2）可以纠正多少位错误：可以纠正“<码距/2”位的错误，因此如果要能纠正n位错误，则所需最小的码距是：2n+1。
计算：海明码是放置在2的幂次位上的即1,2,4,8,16,32,而对于信息位为m的原始数据，需加入k位的校验码，它满足m+k+1<.海明码的求法：一、有一种简单的方法，则是从第1位开始，遇到校验位留下空格。
如原始信息为101101100,并采用偶校验：1011011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13二、然后概据以下公式填充校验位：1，2，4，8B1=B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕0⊕1⊕0⊕1⊕0=1B2=B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1=1B4=B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0三、最后将结果填入，得到结果：11100110011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13海明码的纠错：如下给出一个加入了校验码的的信息，并说明有一位的错误，要找出错误位：11100110010001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13将B1，B2，B4，B8代入上式的公式中：B1=B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1 B2=B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1⊕0=1B4=B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1然后从高位往下写，B8+B4+B2+B1=1011=11（十进制）即11位出错。
海明码纠错原理
海明码纠错原理海明码（Hamming Code）是一种用于检错和纠错的编码方式，由理查德·海明在1950年提出。
它可以发现并纠正单一位错误，也可以检测并纠正双位错误。
海明码的纠错原理是通过增加校验位来实现的，下面我们来详细了解一下海明码的纠错原理。
首先，海明码是一种线性分组码，它的编码方式是将数据位和校验位按照一定规则排列组合而成。
在传输数据时，发送端会对数据进行编码，添加校验位后发送出去；接收端收到数据后，会对接收到的数据进行解码，并根据校验位进行错误的检测和纠正。
其次，海明码的纠错原理是基于奇偶校验的。
在海明码中，校验位的位置是通过2的幂次方来确定的，例如第1、2、4、8、16位是校验位，其余位是数据位。
对于校验位而言，每一个校验位都负责一定范围内的数据位的奇偶校验。
当接收端接收到数据后，会对每个校验位进行奇偶校验，如果发现某个校验位的奇偶校验与接收到的数据不一致，就会根据校验位的位置确定出错的位置，并进行纠正。
最后，海明码的纠错原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设发送端要发送一个4位的数据1010，按照海明码的规则，需要添加3个校验位。
经过编码后，发送的数据变为1010101。
在传输过程中，如果某一位发生了错误，例如1010101中的第4位发生了错误，接收端在接收到数据后，会对每个校验位进行奇偶校验，发现第2位和第4位的奇偶校验不一致，根据校验位的位置，可以确定出错的位置是第4位，然后进行纠正，将错误的位从0变为1。
最终，接收端得到的数据是1010，错误被成功纠正。
综上所述，海明码的纠错原理是通过增加校验位来实现的，通过对校验位的奇偶校验来检测错误，并根据校验位的位置进行错误的定位和纠正。
海明码在通信领域有着广泛的应用，能够有效地提高数据传输的可靠性和稳定性，是一种非常实用的纠错编码方式。
海明码，汉明码，hamming
海明码，汉明码，hamming code--计算法则最近最海明码很感兴趣，查了些资料，有⼀篇资料极好，所以贴出来，希望供有需求的⼈能有个参考。
1 海明码原理概述 海明码是R. Hamming提出的, ⼀种可以纠正⼀位错的差错控制编码。
了解海明码之前, 先回顾⼀下简单的奇偶校验码的情况。
若信息位为K=n- 1位, 表⽰为a1～an- 1, 加上⼀位偶校验位(冗余位)a0, 构成⼀个n位的码字a0～an- 1, 在接收端校验时, 可按关系式: s=a0+a1+a2+…an- 1来计算, 若S=0, 则⽆错, 若S=1, 则有错。
上式可称为监督关系式, S称为校正因⼦。
在奇偶校验情况下, 只有⼀个监督关系式和⼀个校正因⼦, 其取值只有两种(0或1),分别代表了⽆错和有错的情况, ⽽不能指出差错所在的位置。
不难想象, 若增加冗余位, 也相应地增加监督关系式和校正因⼦, 就能区分更多的情况。
如, 若有两个校正因⼦, 则其取值就有4种可能: 00、01、10或11, 就能区分4种不同情况。
若其中⼀种表⽰⽆错, 另外三种不但可以⽤来指出有错, 还可以⽤来区分错误的情况, 如指出是哪⼀位错等。
⼀般⽽⾔, 信息位为K位, 增加r位冗余位, 构成n=k+ r位码字。
若希望⽤r个监督关系式产⽣的r个校正因⼦来区分⽆错和在码字中的n个不同位置的⼀位错, 则表⽰:或。
2 构造海明码的冗余位和监督关系式的⽅法 按上述设计思路, 为了叙述清楚, 下⾯以信息位K=7来讨论海明码的冗余位和监督关系式的具体构造过程和⽅法。
因为且k=7, 所以≥4, 即⾄少需要4位冗余位(对应产⽣4个校正因⼦和4个监督关系式), 形成24=16种不同取值, ⽤其中11种分别表⽰⽆错和a0～a10中⼀位错的情况。
构造表如表1: 冗余码如下: a0=a8+a9+a10 (1) a1=a5+a6+a7 (2) a2=a4+a6+a7+a9 (3) a3=a4+a5+a7+a8+a10 (4) 监督关系式如下: s0=a0+a8+a9+a10 (5) s1=a1+a5+a6+a7 (6) s2=a2+a4+a6+a7+a9 (7) s3=a3+a4+a5+a7+a8 (8)3 构造校正因⼦和监督关系式时应遵循的原则 上表1中, 构造4个校正因⼦和4个监督关系式的过程中, 为了体现前⾯所述设计思想,应遵循如下原则: 图1中共有11列, 每⼀列应保证各不相同, 即s0 s1 s2 s3 的16种组合中, 取“0000”组合表⽰⽆错, 剩下15种中取其中11种⽤来表⽰a0～a10中某⼀位出错的情况, 所以,下表2有错, 因为a5 和a7 两列均为“0111”。
海明码的计算方法
海明码的计算方法海明码是一种具有纠错功能的校验码。
本文简单地介绍海明码的计算方法。
海明码的目的是能够纠正一位误码。
假设信息码共有 n 位，海明码共有 h 位，那么总共的码长为 n + h 位。
为能检测出 n + h 位编码中其中一位的错误，海明码必须能够表示至少 n + h + 1 种状态，其中 n + h 种表示 n + h 位编码中有一位错误，另外还需要一种来表示整个编码正确无误。
则海明码的长度需要满足下列关系：2 h>= n + h + 1于是根据这个式子我们可以得出以下的关系表：h 2 3 4 5 6 7 8n 1 2~4 5~11 12~26 27~57 58~120 121~247以 4 位信息位为例，由上表可以看出需要的海明码长度为 3。
设信息位为 x4x3x2x1，添加的 3 位海明码为 a3a2a1，信息码和海明码组合之后得到的码为 H7H6H5H4H3H2H1。
错误无H1H2H3H4H5H6H7C101010101C1= H1+ H3+ H5+ H7= 0C200110011C2= H2+ H3+ H6+ H7= 0C300001111C3= H4+ H5+ H6+ H7= 0如上表，在H1～H7中添加的 3 位海明码使得 C1～C3的值为零。
其中C1～C3为校验和。
这样当 Hn 传输出错时，有 (C3C2C1)2= n。
令 H1 = a1, H2= a2, H4= a3,则得出H 7H6H5H4H3H2H1= x4x3x2a3x1a2a1将上面的关系代入C1～C3的计算公式，得到C 1 = H1+ H3+ H5+ H7= a1+ x1+ x2+ x4= 0C 2 = H2+ H3+ H6+ H7= a2+ x1+ x3+ x4= 0C 3 = H4+ H5+ H6+ H7= a3+ x2+ x3+ x4= 0即a 1 + x1+ x2+ x4= 0a 2 + x1+ x3+ x4= 0a 3 + x2+ x3+ x4= 0即a 3 = x4+ x3+ x2a 2 = x4+ x3+ x1a 1 = x4+ x2+ x1。
海明码详解(精)
海明码详解这两天也在研究海明码的问题，把我的理解说给你吧，按照我说的可以顺利得到海明码步骤：一、确定校验码的位数k二、确定校验码的位置三、数据的位置四、求出校验位的值首先，海明码的作用是：在编码中如果有错误，可以表达出第几位出了错，二进制的数据只有0和1，修改起来很容易，求反即可，这需要加入几个校验位。
重要的知识点：海明码的组成，不是简单的在后面加上校验位，海明码≠数据位+检验位那检验位该怎么加呢？它是根据总的位置来加的，加在【2的几次幂】的位置上，这个位置不是我们通常的从右向左数位置，刚好相反，是从左右如下图：P是校验位， D是数据位：原始的数据是：101101 校验位是插到了 1 2 4 8这几个位置上的。
位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1步骤一、确定校验码的位数k公式：m+k+1≤2^k (m是数据位的位数，K是要加的校验位的位数数据长是4位，校验码就是3位4+k+1≤2^kK最小只能是3数据长是5,6,7,8,9,校验码就是4位5+k+1≤2^kK最小就只能取4101101 数据位是6位，那校验位应该是4位，那总位数是：6+4=10位步骤二、确定校验码的位置位置M1M2M3M4M5M6M7M8M9M10甲P1 P2 D1P3 D2D3D4P4 D5D6乙10 110 1（图1）注意：【位置是从左----------右编码】（网上好多都反了，都是从右往左的，这应该是错的）校验位就插在2的幂次方的位置上。
4个检验位就是插到，2的0次方=1，2的1次方=2，2的2次方=4，2的3次方=8的位置上。
始上（图1）步骤三、数据的位置数据位置就按顺序写入进去就OK了，不要写到校验位就是的了。
步骤四、求出校验位的值也就是求图1中：p1 p2 p3 p4 的值。
那这几个数该如何求值呢？这里就要引进一个线性码的概念了，就是这4位校验码和图1中的那些位置上的数有关系呢？这里有一个进制转换的问题要先解决：因为是4位校验码，所以我们可以s4 s3 s2 s1 这个数来表示这个4位校验码，也就是p4 p3 p2 p1M1号位是十进制的1 转成四位二进制数就是：0001 即M1 和s1有关系同样的道理M2 变成四位二进制数： 0010 0010----s4 s3 s2 s1 s2的位置上是1 ，所以M2和S2有关系。
海明码计算过程
海明码计算过程嘿，朋友们！今天咱就来讲讲海明码计算过程。
这海明码啊，就像是一个神秘的魔法盒子，等你打开它，就会发现里面藏着好多奇妙的东西呢！咱先来说说啥是海明码。
简单来说，它就是一种能帮我们检测和纠正数据传输过程中错误的好帮手。
你想想看，数据就像一群小士兵，在传输的道路上可能会遇到各种“妖魔鬼怪”，比如干扰啦、出错啦。
这时候海明码就像一位英勇的将军，站出来保护这些小士兵，让它们能准确无误地到达目的地。
那怎么计算海明码呢？别急，听我慢慢道来。
首先，我们得确定要保护的数据有多少位，这就好比要知道有多少小士兵需要保护。
然后呢，根据这个数量来确定需要多少位的海明码。
这就像给小士兵们配备合适数量的将军。
接下来，就开始计算啦！这过程就好像是给小士兵们排兵布阵。
我们要把数据位和海明码位按照一定的规则放好，就像是让小士兵们站在各自的位置上。
然后，根据一些巧妙的算法，给每个海明码位赋予特定的任务。
比如说，某个海明码位要负责检查某些数据位的奇偶性。
这就好像它是个小侦探，专门盯着那几个小士兵，看它们有没有出问题。
如果数据传输过程中真的出了错，这个小侦探就能迅速发现，然后发出警报！再比如说，另一个海明码位要同时关注好几个数据位，就像是个更厉害的大侦探，能从更宏观的角度发现问题。
计算海明码的过程可不简单哦，就像解一道复杂的谜题。
但你可别被它吓住，只要一步一步来，就一定能搞明白。
你想想，要是没有海明码，那我们的数据在传输过程中出错了可咋办？那不就乱套了嘛！所以说，学会计算海明码可是很重要的呢。
而且啊，这海明码的应用可广泛了呢。
不管是在网络通信中，还是在各种电子设备里，都能看到它的身影。
它就像一个默默无闻的守护者，一直在背后为我们的数据安全保驾护航。
哎呀，说了这么多，你是不是对海明码计算过程有点感觉了呢？别犹豫，赶紧自己去试试吧！相信你一定能掌握这个神奇的技能，让数据传输变得更加可靠。
加油哦！。
海明码详解
海明码详解①海明校验的基本思想将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位，做奇偶测试，就能提供多位检错信息，以指出最大可能是哪位出错，从而将其纠正。
实质上，海明校验是一种多重校验。
②海明校验的特点它不仅具有检测错误的能力，同时还具有给出错误所在准确位置的能力。
一．校验位的位数校验位的位数与有效信息的长度有关设:N--为校验码的位数 K--是有效信息位 r--校验位（分成r组作奇偶校验，能产生r位检错信息）海明码应满足 N=K＋r≤2r－1 若r=3 则N=K＋r≤7 所以K≤4二．分组原则`在海明码中，位号数（1、2、3、……、n）为2的权值的那些位，即：1(20)、2(21)、 4(22)、8(23)、…2r-1位，作为奇偶校验位并记作: P1、P2、P3 、P4、…Pr，余下各位则为有效信息位。
例如： N=11 K=7 r=4 相应海明码可示意为位号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11P占位P1 P2 × P3 × × × P4 × × ×其中×均为有效信息，海明码中的每一位分别被P1P2P3P4… Pr 中的一至若干位所校验，其规律是：第i位由校验位位号之和等于i的那些校验位所校验如：海明码的位号为3，它被P1P2（位号分别为1,2）所校验海明码的位号为5，它被P1P3（位号分别为 1,4）所校验归并起来: 形成了4个小组，每个小组一个校验位，校验位的取值，仍采用奇偶校验方式确定。
如表2·6 、表2·7所示：三．编码、查错、纠错原理以4位有效信息(b1、b2、b3、b4)和3位校验位(P1、P2、P3)为例: K=4 r=3 海明序号 1 2 3 4 5 6 7海明码 P1 P2 b1 P3 b2 b3 b4根据表2-8可以看到（1）每个小组只有一位校验位，第一组是P1、第二组是P2、第三组是P3。
计算机基础：海明码是什么？
计算机基础：海明码是什么？海明码：奇偶校验码的⼀种扩充。
只能检验和恢复⼀位。
例如：求1011 的海明码？答案：1010101其中：红⾊所在位数 1,2,4,8，... 为计算出的验证码，⿊⾊的信息为原信息码：1011。
计算⽅法：1.先计算需要⼏位海明码？1011 是四位 ,它有四种只错⼀位的情况，（0011,1111,1001,1010）再加上x位海明码的错⼀位情况。
再加上⼀种全部位都正确的情况。
所以海明码需要 x+4+1 中可能。
所以需要海明码x位可以表⽰出 x+4+1 中可能。
即： x+4+1 <=2**x (2**x 表⽰2的x⽅)，计算得到3，海明码最少是3，当然4,5,6位都可以，就像⽤101 校验和0101 00101 000101 00000000101 都能校验⼀样，只是⽐较浪费。
所以计算出了海明码的位数为3。
（其实也就是往原编码内填充1,2,4,8,16，这些地⽅，填完为⽌。
）2. 开始计算。
1011 中间插⼊三位验证码位数7654321信息101x1x x在第7位：7=2**2+2**1+2**0=4+2+16 对应位置为0，不算在内。
5=2**2 +2**0 = 4 +13=2**1+2**0 =2+1这样得到(2**0) 出现三次，所以在最低位为1 ，（出现偶数次就是0，奇数次就是1,)(原计算⽅法是⽤异或计算 1 xor 1 =0 , 1xor 0 =1 , 0 xor 0=0 ,这⾥结果都⼀样）(2**1)出现两次，所以第⼆位是0，(2**2)出现两次，所以第三位是0，所以就得到位数7654321信息10101013.验证和举例我们传输这个得到的海明码，和⼀个错误的海明码：正确的验证 1010101 ：1.得到海明码（1,2,4 位，如果更长的话就是8,16,32。
位）001。
2.信息码为剩下的 1011，同步骤⼆：计算得到001，3.和上⾯的到的海明码001 异或（001 xor 001 ) =000,正确错误的验证 1110101 ：1.得到海明码 001。
海明码
1.海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。
它必需满足以下关系式：2^r>=n+1 或2^r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中k为信息位位数r为增加冗余位位数[font class="Apple-style-span" style="font-weight: bold;"id="bks_cu2htj1g"]2.[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"][font]海明码的原理[/font]在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。
海明不等式：校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<=2的K次-1-K能被校验。
海明码的编码规则：1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.海明玛的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。
一个例题：4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7 [/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"]海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4)的逻辑表达式分别异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验G1=b1 b3 b5 b7的异或G2=b2 b3 b6 b7的异或G3=b4 b5 b6 b7的异或若G1G2G3为001是第四位错若为011是第六位错[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal;"] [/font]3.海明码的生成与接收特注：以下的+均代表异或方法一：1)海明码的生成。
对海明码的理解
对海明码的理解海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。
它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。
用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。
每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。
实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
一个n位二进制数位串在传输过程中哪一位都有出错的可能，也就是说有n个发生错误的可能性。
针对此情况，如果发送方只抽出其中一位制置奇偶校验位值，以便对其它位进行偶校验或奇校验，虽然也能检错，但无法确定错码的位置，不能纠错。
如果发送方抽出其中r位（放在1，2，4，8，16……位上）,给每个位制置奇偶校验位值，以便对从其它位中选择的有差异的r个位组进行偶校验或奇校验，这样，就能用含r个校验位值的逻辑组合（其所在位置可以不连续，但是，其在逻辑上是连续的）所衍生出的2r种状态对可能发生的错误进行相应范围的检测。
进一步思考：如果让2r种可能发生的状态中除去一种状态反映整个位串传输正确外，剩下的2r-1种状态一一对应地反映位串中可能发生的n种错误，那么，对r会有多大的数量要求呢？显然，r应满足下列关系式：2r-1>=n (1)这样，r个校验位所衍生出的2r种状态才能覆盖可能产生的n种错误。
每种错误发生时才不至于漏检。
从n中扣出r个校验位n-r=k，这k个位是信息位。
n=k+r，代入（1）式得：2r-1>=k+r (2)移项得：2r-r>=k+1 (3)按(3)式进行试算（试算不包括”>”——取最小值）表1根据经验表2此即r以其所衍生出的状态能覆盖的信息位数量。
反过来，从k的数量，可以倒推需要多少校验位对其进行检测。
知道了信息位数量与校验位数量的关系后，怎样编海明码呢？用一道例题加以说明。
例题现有8位二进制数信息位串10011101等待传输，问怎样将海明校验位编入以资校验？根据前述，8个信息位要有4个校验位来检测，于是整个位串长就是8+4=12位。
海明码编码计算、检错和纠错原理解析
一、海明码检错/纠错基本思想海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网。
它的检错、纠错基本思想如下：（1）将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位通过异或运算进行校验，得出具体的校验码（2）在接收端同样通过异或运算看各组校验结果是否正确，并观察出错的校校组，或者多个出错的校验组的共同校验位，得出具体的出错比特位（3）对错误位取反来将其纠正二、海明码计算海明码计算要按以下步骤来进行：计算校验码位数→确定校验码位置→确定校验码1. 计算校验码位数假设用N表示添加了校验码位后整个传输信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位数，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1（是为了确保r位校验码能校验全部的数据位，因为r位校验码所能表示的最大十进制数为2r-1，同时也确保各位码本身不被其他校验码校验）信息码位数12~45~1112~2627~5758~120121~247校验码位数2 3 4 5 6 7 82. 确定校验码位置海明码的校验码的位置必须是在2n次方位置（n从0 开始，分别代表从左边数起分别是第1、2、4、8、16……），信息码也就是在非2n次方位置3. 确定校验码校验位置选择原则：第i位校验码从当前校验码位开始，每次连续校验i位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。
确定每个校验码所校验的比特位：P1校验码位校验的码字位为：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。
P2校验码位校验的码字位为：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。
P3校验码位校验的码字位为：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。
海明码
海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码功能的纠错码，所以它也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网中，因为如果信道特性不好的情况下，出现的错误通常不是一位。
海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位进行奇偶性测试，然后产生多位检测信息，并从中得出具体的出错位置，最后通过对错误位取反（也是原来是1 就变成0，原来是0 就变成1）来将其纠正。
要采用海明码纠错，需要按以下步骤来进行：计算校验位数→确定校验码位置→确定校验码→实现校验和纠错。
下面来具体介绍这几个步骤。
1. 计算校验位数要使用海明码纠错，首先就要确定发送的数据所需要的校验码（也就是“海明码”）位数（也称校验码长度）。
它是这样的规定的：假设用N 表示添加了校验码位后整个信息的二进制位数，用K 表示其中有效信息位数，r 表示添加的校验码位，它们之间的关系应满足：N=K ＋ r ≤ 2r-1。
如K=5，则要求2r-r ≥ 5+1=6，根据计算可以得知r 的最小值为4，也就是要校验5位信息码，则要插入4 位校验码。
如果有效信息位数是8，则要求2r-r ≥ 8+1=9，根据计算可以得知r 的最小值也为4。
根据经验总结，得出信息码和校验码位数之间的关系如表5-1所示。
表5-1 信息码位数与校验码位数之间的关系2. 确定校验码位置上一步我们确定了对应信息中要插入的校验码位数，但这还不够，因为这些校验码不是直接附加在信息码的前面、后面或中间的，而是分开插入到不同的位置的。
但不用担心，校验码的位置很容易确定的，那就是校验码必须是在2n 次方位置，如第1 位，2 位，4 位，8 位，16 位，32 位……（对应20，21，22，23，24，25，……，从最左边的位数起），这样一来就知道了信息码的分布位置，也就是非2n 次方的位置，如第3 位，5 位，6 位，7 位，9 位，10 位，11 位，12 位，13 位，……（从最左边的位数起）。
海明校验码（靠谱的解释）
海明校验码（靠谱的解释）
【定义】
海明码（Hamming Code）是利⽤奇偶性来检错和纠错的校验⽅法。
海明码的构成⽅法是在数据位之间的确定位置插⼊k个校验位，通过扩⼤吗距来实现检错和纠错。
对于数据位m的数据，加⼊k位的校验码,它应满⾜：
2^k>m+k+1
【例⼦】
设数据为01101001，试采⽤校验位求其偶校验⽅式的海明码。
（1）确定数据位D和校验位Ｐ在海明码中的位置：
由海明码编码规则可知：
p i在海明码的第2i-1
⽐如P4=2^(4-1)=8，所以位于第8位
（2）确定校验关系
这个难点在于如何确定校验位组。
举⼀个例⼦来说：H3=D0,海明码下标为3，我们必须⽤已知的校验位所对应的海明码下标（P1,P2,P3,P4，它们的海明码下标分别是1,2,4,8）来表⽰3，这⾥3就可以等于1+2。
H5为什么是1+4⽽不是2+3呢？因为H3不是校验位，是数据位。
⽐如P1 的校验位为表格中红⾊标记出来所对应的海明码的位数
故：P1校验：P1,D0,D1,D3,D4,D6
P1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=1⊕0⊕1⊕0⊕1=1
⊕符号：代表异或，相同则为0，不同则为1。
只要仔细⼀定可以计算正确。
P2、P3、P4的海明码计算也是如此，关键是要找出正确的校验位组，所以海明校验码：011001001101。
计算机组成原理--海明码的编码和校验方法（易懂）
计算机组成原理--海明码的编码和校验⽅法（易懂）海明码（也叫汉明码）具有⼀位纠错能⼒。
本⽂以1010110这个⼆进制数为例解释海明码的编码和校验⽅法。
编码 确定校验码的位数x 设数据有n位，校验码有x位。
则校验码⼀共有2x种取值⽅式。
其中需要⼀种取值⽅式表⽰数据正确，剩下2x-1种取值⽅式表⽰有⼀位数据出错。
因为编码后的⼆进制串有n+x位，因此x应该满⾜2x-1 ≥ n+x 使不等式成⽴的x的最⼩值就是校验码的位数。
在本例中，n=7，解得x=4。
确定校验码的位置 校验码在⼆进制串中的位置为2的整数幂。
剩下的位置为数据。
如图所⽰。
位置1234567891011内容x1x21x3010x4110 求出校验位的值 以求x2的值为例。
为了直观，将表格中的位置⽤⼆进制表⽰。
位置00010010001101000101011001111000100110101011内容x1x21x3010x4110 为了求出x2,要使所有位置的第⼆位是1的数据（即形如**1*的位置的数据）的异或值为0。
即x2^1^1^0^1^0 = 0。
因此x2 = 1。
同理可得x1 = 0, x3 = 1, x4 = 0。
位置00010010001101000101011001111000100110101011内容01110100110 因此1010110的海明码为01110100110。
校验 假设位置为1011的数据由0变成了1，校验过程为： 将所有位置形如***1, **1*, *1**, 1***的数据分别异或。
***1: 0^1^0^0^1^1 = 1 **1*: 1^1^1^0^1^1 = 1 *1**: 1^0^1^0 = 0 1***: 0^1^1^1 = 1 以上四组中，如果⼀组异或值为1，说明该组中有数据出错了。
***1 **1* 1***的异或都为1，说明出错数据的位置为1011。
海明码简单分析确定校验位个数海明码的码组长度需要符合：2^r – 1 （r代表校验位个数）为什么是这个公式呢？因为：只有这样才能保证校验位⾜够覆盖整个需要校验的码组。
一直不理解网络里的海明码？看完这个，你想说不理解还真难。
一直不理解网络里的海明码？看完这个，你想说不理解还真难。
海明码是一种多重奇偶检错系统，它具有检错和纠错的功能。
海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。
每一个这种奇偶校验位和信息位被编在传输码字的特定位置上。
这种系统组合方式能找出错误出现的位置，无论是原有信息位，还是附加校验位。
设海明码校验位为k，信息位为m，则它们之间的关系应满足m+k+1≤2的k次方。
下面以原始信息101101为例，讲解海明码的推导与校验过程。
（1）确定海明码校验位长m是信息位长，则m=6 。
根据上述关系式m+k+1≤2的k次方，得到7+k≤2的k次方。
解得最小k为4，即校验位为4。
信息位加校验位总长度为10位。
（2）推导海明码1.填写原始信息。
从理论上讲，海明码校验位可以放在任何位置，但习惯上校验位被从左到右安排在1、2、4、8、...的位置上。
原始信息则从左至右填入剩下的位置。
如图1所示，校验位处于B1、B2、B4、B8位，剩下位为信息位，信息位依从左至右的顺序先行填写完毕。
图1 填入原始信息位2.计算校验位。
依据公式得到校验位：P1=B3⊕B5⊕B7⊕B9=1⊕0⊕1⊕0=0P2=B3⊕B6⊕B7⊕B10=1⊕1⊕1⊕1=0 P3=B5⊕B6⊕B7=0⊕1⊕1=0 P4=B9⊕B10=1⊕1=0注：⊕表示异或运算。
这个公式常用，但是死记硬背很困难，要换个方式去理解记忆。
把除去1、2、4、8（校验位位置值编号）之外的3、5、6、7、9、10这些值转换为二进制位，如表1所示。
将所有信息编号的二进制的第1位为1的Bi进行“异或”操作，结果填入P1。
即上述的结果P1=B3⊕B5⊕B7⊕B9=1⊕0⊕1⊕0=0；同理，将所有信息编号的二进制的第2位为1的Bi进行“异或”操作，结果填入P2。
即上述结果P2=B3⊕B6⊕B7⊕B10=1⊕1⊕1⊕1=0；以此类推，将所有信息编号的二进制的第3位为1的Bi进行“异或”操作，结果填入P3；将所有信息编号的二进制的第4位为1的Bi 进行“异或”操作，结果填入P4。
校验码（海明码）
校验码（海明码）
海明码⼀般指汉明码，与其他的错误校验码类似，汉明码也利⽤了的概念，通过在后⾯增加⼀些⽐特，可以验证数据的有效性。
利⽤⼀个以上的校验位，汉明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。
确定校验码的位数x
设数据有n位，校验码有x位。
则校验码⼀共有2x种取值⽅式。
其中需要⼀种取值⽅式表⽰数据正确，剩下2x-1种取值⽅式表⽰有⼀位数据出错。
因为编码后的⼆进制串有n+x位，因此x应该满⾜
2x-1 ≥ n+x
使不等式成⽴的x的最⼩值就是校验码的位数。
在本例中，n=7，解得x=4。
就是说，当n=校验位的值的时候，X等于多少？
题⽬⼀般会说给出⼀定位数的数据。
⾸先根据下⾯这个表格，⼆进制次⽅表。
看看这个位数对应多少次⽅，只能⼤不能⼩
⽐如说32位的校验码。
根据上⾯的公式，2x ≥ 32+1+X ,将位数代⼊到N⾥。
将1移到右边。
简化公式就是：2x ≥ 33+X 根据这个简化公式，其实就可以理解为，2的多少次⽅可以⼤于等于33
根据2次⽅表就可以知道，6个次⽅！！
最后代⼊公式，26 ≥ 33+6 即26 ≥ 39 ，即X=6 就是说需要加⼊6位校验码
遇到此种题⽬，⾸先看给出的信息位是多少，⽐如16，那么2的多少个次⽅可以⽐16⼤？。
2的4次⽅刚好是16，2的5次⽅⽐16⼤。
那么就代⼊公式看看，答案是5次⽅。
海明码
1.海明码概念：海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。
它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。
用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。
每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。
实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
它必须满足以下瓜葛式：2^r=n+1或2^r=k+r+1。
海明码的编码效率为：R=k/(k+r)(式中k为信息位位数，r为增长冗余位位数)1.>表名称的词诠释：码字：表示一个帧包孕的k个数据位，r个校验位，n=k+r，则此n比特单元称为n位码字。
码距：两个码字之间差别的比特位数量。
例如，000与010的码距为1；000与110的码距为2；000与111的码距为3。
2.海明码的步骤：1.>0确定最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、…、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定。
2．>原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。
选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。
3．>对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。
4．>如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。
如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。
3海明码的编码规则1.>每一个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.>海明玛的每中央电视台位(Hi)是由多个/一个校验值进行校验的，被校验码的位置码是所有校验这位的校验位位置码之和。
4海明码的特点1.>如果两个码字之间的码距为d，则需要d个比特就可以把一个码字转换成另外一个码字2.>为了检查出d个纰缪(单比特错)，需要使用的码距为d+一个编码3.>为了纠正d个纰缪，需要使用码间隔为2d+1的编码5编码步调(1)按照信息位数，确定校验位数，2的k次方≥k+r+1，其中，k为信息位数，r 为校验位数。
海明码（汉明码）
海明码（汉明码）海明码（汉明码）概念汉明码（Hamming Code），是在电信领域的⼀种线性调试码，以发明者理查德·卫斯⾥·汉明的名字命名。
汉明码在传输的消息流中插⼊验证码，当计算机存储或移动数据时，可能会产⽣数据位错误，以侦测并更正单⼀⽐特错误。
由于汉明编码简单，它们被⼴泛应⽤于内存（RAM）。
——百度百科编码⽅式海明码可以对⼀位⽐特错误起到检错和纠错的作⽤，对于海明码的编码⽅式包涵以下⼏个过程确定校验位数在海明码中，校验位(x)和信息位(y)满⾜如下关系：2x≥x+y根据此公式容易求出检验位和信息位的数量，有如下对应关系：信息位位数12~45~1112~2627~5758~120校验码位数234567确定校验位位置海明码中校验位位置是固定的均为2的幂次的位置（1,2,4,8，……）确定校验位的值海明码编码时对于每个校验位会将信息位分组，每⼀个校验位会覆盖多个信息位，对每个校验位其能覆盖的信息位有如下特点：h为信息位地址p为校验位地址p&q>0对于每个校验位所覆盖的区域，采⽤校验⽅式确定校验码的值，⼀般为偶校验纠错和检错确定校验位数在得到海明码之后，我们可以通过总位数来计算出相应的信息位和检验位各有多少，根据上述公式即可，同理即可得到校验位地址，并获得各个校验码检错假设各个校验码是由偶校验得到的，那么我们再次计算接收端的海明码对应的各个校验位的值，然后将新得到的校验位的值与发送来的值相⽐较，相同则证明该校验位覆盖的范围内的信息位全部是正确的，否则则该校验码所覆盖的范围内的信息位存在错误，通过各个校验码的⽐较我们可以确定那⼏个分组存在错误，通过查看分组的交集，便可以确定错误的信息位的位置纠错得到错误的信息位之后，对其取反即可⽰例发送端信息码：1010110信息码位数为7，所以可以确定校验码位数为4，海明码总位数为11校验码位置为：1,2,4,8计算校验码的值：(偶校验⽅式)p1=偶校验(h1,h3,h5,h7,h9,h11)=0p2=偶校验(h3,h6,h7,h10,h11)=1p4=偶校验(h5,h6,h7)=1p8=偶校验(h9,h10,h11)=0获得海明码为：01110100110接收端海明码为：01110100111确定校验位：1,2,4,8计算校验码值：p1=偶校验(h1,h3,h5,h7,h9,h11)=1p2=偶校验(h3,h6,h7,h10,h11)=1p4=偶校验(h5,h6,h7)=0p8=偶校验(h9,h10,h11)=1 Processing math: 100%由此确定错误位为11位，因为特殊的分组⽅式，所以这⾥计算结果从⾼位开始排出为1011（⼆进制）=11，也可确定错误位。
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M1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 M10
甲 P1
P2
P3
P4
③ 确定数据的位置 这个很简单，除了校验码的位置其余的就是数据的位置，填充进去就可以了，于是可以
把数据信息先填进去，见“乙”行，下面就是最关键的部分，求出校验位的值啦！！！
M1 甲 P1
乙
M2 M3
P2
D1
1
M4 M5 M6 M7
P3
D2
D3
D4
0
1
1
M 8 M 9 M10
P4
D5
D6
0
1
④ 求出校位的值 这个公式不是难，99%左右的考生都能看懂海明码的求解过程，但是真正能够过目不忘
的相信就是极少数了，很多考生在论坛抱怨躺在床上眼睛一闭，一睁，就忘记了一半。眼睛
再一闭，一睁，基本上就等于没有看了。与其这样，倒不如考前几天突击一下。其实完全没
e1 M1 M 3 M 5 M 7 M 9 = 0 1 1 1 0 = 1 e2 M2 M 3 M 6 M 7 M10 =0 1 1 1 1 = 0 e3 M4 M 5 M 6 M 7 =0 1 1 1 = 1 e4 M8 M 9 M10 = 1 0 1 = 0 按照 e4、e3、e2、e1的排序方式得到的二进制序列为：0101，恰好对应十进制 5，是不
M1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 M10
甲 P1
P2
D1
P3
D2
D3
D4
P4
D5
D6
乙0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
即最后的海明码为：0010011101； 但是考研知识点还没有完，知道了怎么编写海明码，当然需要知道怎么校验，如下： 现在假设第五位出错了，也就是第五位在传输的过程中被改为”1“了。即得到的数据 为 0010111101。现在要找出错误的位置（假设现在不知道出错的位置）。 继续使用：
态来表示数据正确的情况，所以 2r 1 k r 才能检查一位错误，即 2r k r 1。例如， 信息数据有 4 位，由 2r k r 1得 r>=3，也就是至少需要 3 位监督数据才能发现并改正 1
位错误。比如：给 8 个学员进行编号，可以用三位数来编码：学号为 000 、001 ……、111； 也可以用五位数来编号：学号为 00000 、00001 、00010 、……、00111，但是没有必要用 五位呀，只要能满足编码的要求就可以了，所以我们只需要求出满足条件的最小的 k 值即可。
公式：
e1 M1 M 3 M 5 M 7 M 9 e2 M2 M 3 M 6 M 7 M10 e3 M4 M 5 M 6 M 7 e4 M8 M 9 M10
然后将第③步求出那张表中的数据对应过来，即
e1 P1 D1 D2 D4 D5 e2 P2 D1 D3 D4 D6 e3 P4 D2 D3 D4 e4 P8 D5 D6 如果海明码没有错误信息， e1、e2、e3、e4 都为 0，等式右边的值也得为 0，由于是异 或，所以 Pi （i 取 1,2,3…）的值跟后边的式子必须一样才能使整个式子的值为零，故： P1 D1 D2 D4 D5 P2 D1 D3 D4 D6 P3 D2 D3 D4 P4 D5 D6
是找到了出错的位置？那赶快把第五位取反吧。
让我们再来总结一下吧：
编写海明码的过程：
① 确定校验位的位数
② 把数值为按序写出来，M1,..... M N ，校验码 Pi（i 取 1,2,3,4）在编码中的位置为 2i1 ，
将校验码的位置写出来，然后按序写出数据位
③ 求出出错位 e1,..... em 与 M1,..... M N 的对应关系，然后就可以写出 Pi 与数据位的对应 关系，进而求出 Pi
海明码求解具体步骤： ① 确定校验码的位数 k ② 确定校验码的位置 ③ 确定数据的位置 ④ 求出校验位的值 下面开始实战练习。假设我们要推导 D= 101101 这串二进制的海明码，按照步骤一步步
来： ① 确定校验码的位数 k
数据的位数 k=6，按照上面说的公式来计算满足条件 r 的最小值，如下公式：
海明码（又称汉明码）：海明码是在信息字段中插若干位数据，用于监督码字里的哪一位数 据发生了变化，具有一位纠错能力。假设信息位有 k 位，整个码字的长度就是 k+r；每一位
的数据只有两种状态，不是 1 就是 0，有 r 位数据就应该能表示出 2r 种状态，如果每一种状
态代表一个码元发生了错误，有 k+r 位码元，就要有 k+r 种状态来表示，另外还要有一种状
2r 1 k r 即： 2r 7 r
解此不等式得：满足不等式的最小 r=4，也就是 D=101101 的海明码应该有 6+4=10 位， 其中原数据 6 位，校验码 4 位。 ② 确定校验码的位置
不妨设设这 4 为校验码分别为 P1 、P2 、P3 、P4 ；数据从左到右为 D1 、D2 、……、D6 。 编码后的数据共有 6+4=10 位，设为 M1 、 M 2 、…… M 10 。
④ 最后将 Pi 填入数据位，海明码就形成了
校验海码的过程：
① 直接上来写出出错位 e1,..... em 与 M1,..... M N 的对应关系，计算出 e1,..... em 的值 ② 求出二进制序列 em ,..... e1 对应十进制的值，则此十进制数就是出错的位数，取反即
可得到正确的编码。
补充两个概念：
（1）海明码如果要检测 d 位错误，需要一个海明距为 d+1 的编码方案；如果要纠出 d 位错误，需要一个海明距为 2d+1 的编码方案，记住即可；
（2）海明码的纠错能力恒小于等于检错能力。 以上为海明码全部考研知识点。
有必要死记硬背，该公式是有规律可循的，基本没有任何一本教材讲过，笔者也是无意中在
一篇论文中看见，所以与大家分享。
假设出错位为 e1、e2、e3、e4 ，现在我们需要做的就是将 M1 、M 2 、…… M 10 和 e1、e2 、 e3、e4 的关系对应出来，只要这个关系出来了，所有的问题都解决了。演示几个，剩下 的考生自己推导（看了肯定会）。 M1 下标中的 1 可以表示成 0001，这里的 0001 分别对应 e4、e3、e2、e1（倒过来看），由于 e1 的值为 1，所以 M1 只和 e1 有关。 M 3 下标中的 3 可以 表示成 0011，所以 M 3 和 e1、e2 有关；M 7 下标中的 7 可以表示成 0111，所以 M 7 和 e1、e2 、 e3 有关；其他以此类推，只需要将这些有关的用异或符号 连接起来即可，最后可得如下
下面只需要将值代入计算即可，
P1 D1 D2 D4 D5 = 1 0 1 0 = 0 P2 D1 D3 D4 D6 = 1 1 1 1 = 0 P3 D2 D3 D4 = 0 1 1 = 0 P4 D5 D6 = 0 1 = 1 大功告成，把 Pi 的值填写到第③步求出的那张表中，看“丙”行，就可以得到海明码。