2016年全国初中数学联赛试题及参考答案_第一试_
2016年全国初中数学联合竞赛(初二年级组)试题参考答案
word 格式-可编辑-感谢下载支持2016 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1．用[ x ] 表示不超过 x 的最大整数，把 x -[ x ] 称为 x 的小数部分.已知 t = a 是 t 的小数部分，2-3b 是 -t 的小数部分，则 1 - 1 =（ A）2b a13A.．B.．C.1．D. 3 ．222．三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案共有（ C ） AA ．9 种．B ．10 种．C ．11 种．D ．12 种．EDF Q3．如图，P 为△ ABC 内一点，∠ BAC ＝70°，∠ BPC ＝120°，BD 是∠ ABP 的P平分线， CE 是∠ ACP 的平分线， BD 与 CE 交于 F ，则∠ BFC ＝ （ C ）A. 85°． B ．90°． C ．95°． D ．100°．BCS20164．记 S n = 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + + 1+ 1 + 1，则＝ （ D）2 22 22 ( n +1) 21 2 2 3 n 2016A. 2016 ．B. 2017 ．C. 2017 ．D. 2018 ．2017 2016 2018 20175．点 D 、 E 、 F 分别在△ ABC 的三边 BC 、 AB 、 AC 上，且 AD 、 BF 、 CE 相交于一点 M ，若 AB + AC = 5 ，则 AM ＝ （ B ）BE CF MD A. 7 ． B. 3 ． C. 5 ． D. 2 ．22 6．设 a , b , c , d 都是正整数，且 a 5 = b 2 ， c3 = d4 ， a - c = 319 ，则 b - c ＝ （ B ） a 2dA. 15．B. 17．C.18．D. 20．二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1．如图，已知四边形 ABCD 的对角互补，且 ∠BAC = ∠DAC ， AB =15 ， AD =12 .过顶点 C 作CE ⊥ AB 于 E ，则 AE = ____9___．BE2．已知整数 a , b , c 满足不等式 a 2 + 2b 2 + c 2 + 211 < ab + 28b + 20c ，则 a + b - c ＝____2___． 3．若质数 p , q 满足： 3q - p - 4 = 0 ， p + q <111.则 pq 的最大值为1007 ．4．将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数）， 使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这 5 个和的最小值为 M ，则 M 的最大值为10．第二试一、（本题满分 20 分）如图，ABCD 为平行四边形，E 为 BC 的中点，DF ⊥ AE AD于 F ， H 为 DF 的中点，证明： CH ⊥ DF .H 证明 分别延长 AE 和 DC ，交于点 P .F因为 AB // CP ，所以 ∠ABE = ∠PCE ，又因为 CE = BE ， ∠AEB = ∠PEC ， BEC所以△ ABE ≌△ PCE ，所以 PC = AB .又 AB = CD ，所以 PC = CD ，故 C 为 PD 的中点.又 H 为 DF 的中点，所以 CH // PF .又已知 DF ⊥ AE ，所以 CH ⊥ DF .P二、（本题满分 25 分）设互不相等的非零实数 a , b , c 满足 a + 2 2 2 ，求 ( a + 2 2= b + = c + ) +b c a b2 2 2 2的值. (b + ) + ( c + ) c a 解 由 a + 2 = b + 2 = c + 2 可得 bc ( a -b ) = 2(b - c ) ，ab (c - a ) = 2( a -b ) ，ac (b - c ) = 2(c - a ) ，b c a三式相乘得 ( abc ) 2 ( a -b )(b - c )(c - a ) = 8( a -b )(b - c )(c - a ) ，而 a , b , c 互不相等，所以 ( abc ) 2 = 8 .设 a + 2 = b + 2 = c + 2 = k ，则 kb = ab + 2 ， kc = bc + 2 ， ka = ac + 2 ，于是可得 k (b - c ) =bc ab ( a -c ) ， k (c - a ) = c (b - a ) ， k ( a -b ) = a (c -b ) ， 三式相乘得 k 3 ( a -b )(b - c )(c - a ) = abc ( a - c )(b - a )(c -b ) ，而 a , b , c 互不相等，所以 k 3 = -abc .于是可得 k 6 = ( -abc ) 2 = 8 ，所以 k 2 = 2 .因此 ( a + 2 2 2 2 2 2 2) + (b + ) + ( c + ) = 3k = 6 .b c a三、（本题满分 25 分）已知 a , b 为正整数，求 M = 3a 2 - ab 2 - 2b - 4 能取到的最小正整数值.解 因为 a , b 为正整数，要使得 M = 3a 2 - ab 2 - 2b - 4 的值为正整数，显然有 a ≥ 2 .当 a = 2 时， b 只能为 1，此时 M = 4 ，故 M = 3a 2 - ab 2 - 2b - 4 能取到的最小正整数值不超过 4. 当 a = 3时， b 只能为 1 或 2.若 b ＝1，则 M = 18；若 b ＝2，则 M = 7.当 a = 4 时， b 只能为 1 或 2 或 3.若 b ＝1，则 M = 38；若 b ＝2，则 M = 24；若 b ＝3，则 M = 2.下面考虑： M = 3a 2 - ab 2 - 2b - 4 的值能否为 1？若 M =1 ，即 3a 2 - ab 2 - 2b - 4 =1，即 3a 2 - ab 2 = 2b + 5 ①，注意到 2b + 5 为奇数，所以 a是奇数， b 是偶数，此时， 3a 2 - ab 2 被 4 除所得余数为 3， 2b + 5 被 4 除所得余数为 1，故①式不可能成立，即 M ≠1.因此，M=3a2-ab2-2b-4能取到的最小正整数值为 2.。
2016年全国初中数学联赛试题+答案
2016年全国初中数学联赛试题+答案2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知123t =-，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-=（ ）.A 12 .B 32.C 1 .D32.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A9种.B10种.C11种.D12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=-2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）.A6858.B6860.C9260.D92623(B）.已知二次函数21(0)y ax bx a=++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b-为整数时，ab=（）.A0.B 14.C34-.D2-4.已知O e的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O e于点E,若8,AB=2CD=,则BCE∆的面积为（）.A12.B15.C16.D185.如图，在四边形ABCD中，090BAC BDC∠=∠=，5AB AC==1CD=,对角线的交点为M，则DM=( ).A 32.B53.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，3AD =,则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p、q满足：340,111,--=+<则pq的q p p q最大值为 .4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 —11:20)一、（本题满分20分）已知,a b为正整数，求22=---能取到的最小M a ab b324正整数值.二、（本题满分25分）(A).如图，点C在以AB为直径的O e上，CD AB⊥于点D,点E在BD上，,=四边形DEFM是正方形，AMAE AC的延长线与O e交于点N.证明:FN DE=.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xyyz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试(3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x的小数部分.已知123t =-，a 是t 的小数部分，b 是t-的小数部分，则112b a-=（ ）.A 12 .B 32.C 1 .D3【答案】A . 【解析】123,132,23t ==+<<-Q 3234,∴<+< 即34,t <<33 1.a t ∴=-= 又23,231,t -=--<<-4233,∴-<-<-(4)23,b t ∴=---=1123311,22222(23)31b a ∴-==-=--故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种.B 10种 .C 11种.D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858.B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B . 【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B .3(B ）.已知二次函数21(0)y axbx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ）.A 0 .B 14.C 34-.D 2-【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2b a a b a <-<++= 故0,b < 且1b a =--，(1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC =（第4题答案图） Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,∴∠=o114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==,1CD =,对角线的交点为M ，则DM =( ).A 32.B 53.C 22 .D 12（第5题答案图）【答案】D .【解析】过点A作AH BD⊥于点,H 则AMH∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAH CM∴=设,AM x = 则5,5CM x AH x=∴=-在Rt ABM ∆中，2225,BM AB AM x =+=+ 则255AB AMx AH BMx ⋅==+25,55x xxx =-+显然0x ≠，化简整理得2255100xx -+=解得5,2x =（25x =不符合题意，舍去），故5,2CM =在Rt CDM ∆中，2212DM CM CD =-=,故选D .6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 3【答案】C . 【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D .在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图）9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,,,C m A n m n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=，于是3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得33m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2. 【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠=060,DAC ∴∠= 从而090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠=⋅=o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=, BCQ ∥AD,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=,(第2题答案图)OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o2,2180,βααβ=+=o解得36,72αβ==oo，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x Q是三位数，10001003tx t +∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值. 又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q的可能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去. 当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .【答案】10. 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =； (2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.1 1 1 4 51 12 4 52 2 2 4 53 3 245 3 3 3 4 5第二试(3月20日上午9:50— 11:20)一、（本题满分20分） 已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑：22324M aab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241aab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a ab b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a ab m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a ab -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2. 二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC ABAD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN ABAD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅,AE AC =Q 2AE AM AN∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”) (B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.【解析】由已知得22221()()5ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a bc a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=-同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32)()()()t b t c t a b c t ab bc ca t abc--=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(3) 求111xyyz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=，去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z xy x y z y z x xyz--+--+--=，22222222222()()()3()0,y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【注：222222()()()2x y y z z x x y xyy z yz z x zx xyz+++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz=++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz=++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q点C关于直线AD的对称点为点E,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)BAD BCF∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AFAD AB∴=()225 5.AD AF AB ∴⋅=== （注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t =-a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ） .A 12.B 3.C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,t ==+<<Q 324,∴<+< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)L ，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=L ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦L 故选B . 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O e 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O e 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥Q 于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC Q 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE Q 是O e 的直径，90,B ∴∠=o 114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 2 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =Q,AMAHCM ∴=设,AM x = 则,CM x AH =∴=在Rt ABM ∆中，BM == 则AB AMAH BM⋅===显然0x ≠，化简整理得22100x -+=解得2x =（x =，故2CM =在Rt CDM ∆中，12DM ==,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠==o 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126o.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA Q 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC Q ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,Q ,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, Q ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=o Q2,2180,βααβ∴=+=o解得36,72αβ==o o ，72DBC BCD ∴∠=∠=o,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==o o 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3t x t +∴=x Q 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t Q 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时 167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =. (下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O e 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O e 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB Q 为O e 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=o,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠Q ,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠Q ,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =Q 2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F e 与直线AM 交于另一点P ,则F e 与AB 切于点E ,即AE 是F e 的切线，直线AMP 是F e 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F e 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y z xyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =Q ABD ACB ∴∠=∠Q 点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=225 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。
2016年全国初中数学联赛试题及参考答案_第一试_
解 设 Ｒｔ△ＡＢＣ 的 直 角 边 为ａ，ｂ，斜 边 为ｃ，
．
［答］１６７３３４．
设 两 个 三 位 数 分 别 为 和 ｙ，由 题 设 知
１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ
①
由①式 得 ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝ （３ｙ－１０００）
ｘ，故ｙ 是ｘ 的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整
数），代 入 ① 式 得 １０００＋ｔ＝３ｔｘ，所 以 ｘ ＝
１００３０ｔ＋ｔ．因 为 是 三 位 数，所 以 ｘ＝１００３０ｔ＋ｔ≥
［答］（Ｄ）．
作 ＡＨ ⊥ＢＤ 于 点 Ｈ ，易 知 △ＡＭＨ ∽
△ＣＭＤ，所
以ＡＨ ＣＤ
＝ＣＡＭＭ
，又
ＣＤ＝１，所 以
ＡＨ ＝ＣＡＭＭ
①
设 ＡＭ＝ｘ，则 ＣＭ＝槡５－ｘ．
在 Ｒｔ△ＡＢＭ 中，可得
ＡＨ ＝ＡＢＢ·ＭＡＭ
＝
槡５ｘ 槡５＋ｘ２
．
所以，由①式得 槡５ｘ ＝ ｘ ， 槡５＋ｘ２ 槡５－ｘ
奇数的立 方 差，则 称 这 个 正 整 数 为 “和 谐 数 ”。 如：２＝１３ － （－１）３，２６＝３３ －１３，２ 和 ２６ 均 为 “和谐数”．那 么，不 超 过 ２０１６ 的 正 整 数 中，所 有 的 “和 谐 数 ”之 和 为 （ ）．
（Ａ）６８５８ （Ｂ）６８６０ （Ｃ）９２６０ （Ｄ）９２６２． ［答］（Ｂ）． 注意到 （２ｋ＋１）３ － （２ｋ－１）３ ＝２（１２ｋ２ ＋ １），由 ２（１２ｋ２ ＋１）≤２０１６ 得｜ｋ｜＜１０． 取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即 得 所 有 的 不 超 过 ２０１６ 的 “和 谐 数 ”，它 们 的 和 为 ［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋ （５３－６３）＋ … ＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０． ４．已 知 ⊙Ｏ 的 半 径 ＯＤ 垂 直 于 弦 ＡＢ，交 ＡＢ 于点Ｃ，连接 ＡＯ 并延长交 ⊙Ｏ 于 点Ｅ，若 ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ 的面积为（ ）． （Ａ）１２ （Ｂ）１５ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８ ［答］（Ａ）． 设 ＯＣ＝ｘ，则 ＯＡ＝ ＯＤ＝ｘ＋２，在 Ｒｔ△ＯＡＣ 中，由勾 股 定 理 得 ＯＣ２ ＋ ＡＣ２＝ＯＡ２，即 ｘ２ ＋４２ ＝ （ｘ＋２）２，解 得 ｘ＝３．又 ＯＣ 为 △ＡＢＥ 的 中 位 线， 所以 ＢＥ＝２ＯＣ＝６． 所以直角 △ＢＣＥ 的 面 积 为 １２ＣＢ·ＢＥ＝ １２． ５．如 图，在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中，∠ＢＡＣ＝
2016年全国初中数学联赛试题及答案
2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a -= （ ）A.12． ． C.1． 【答】A.∵2t ==+324<+，∴31a t =-=.又∵2t -=-423-<-<-，∴(4)2b t =---=∴11122b a -===. 2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案共有 （ ）A ．9种．B ．10种．C ．11种．D ．12种．【答】C.设购买三种图书的数量分别为,,a b c ，则30a b c ++=，101520500a b c ++=，易得202b a =-，10c a =+，于是a 有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a 值，对应地可求出唯一的b 和c ， 所以，不同的购书方案共有11种.3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。
如: 3321(1)=--，332631=-，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）A ．6858．B ．6860．C ．9260．D ．9262．【答】B.注意到332(21)(21)2(121)k k k +--=+，由22(121)2016k +≤得||10k <.取k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过2016的“和谐数”，它们的和为 333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860--+-+-++-=+= .4．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB ＝8,CD ＝2，则△BCE 的面积为 （ ）A.12．B.15．C.16．D.18．【答】A.设OC x =，则OA =OD 2x =+，在Rt △OAC 中，由勾股定理得222OC AC OA +=，即2224(2)x x +=+，解得3x =.又OC 为△ABE 的中位线，所以26BE OC ==. 所以直角△BCE 的面积为1122CB BE ⋅=. 5．如图，在四边形ABCD 中，90BAC BDC ∠=∠=︒，AB AC ==1CD =，对角线的交点为M ，则DM ＝ （ ）．．． D.12． 【答】D.作AH BD ⊥于点H ，易知△AMH ∽△CMD ，所以AH AM CD CM=，又1CD =，所以 AM AH CM= ① 设AM x =，则CM x =.在Rt △ABM中，可得AB AM AH BM ⋅==.=，解得x =x =舍去）.所以2CM =，12DM ==. 6．设实数,,x y z 满足1x y z ++=，则23M xy yz xz =++的最大值为 （ ） A.12． B. 23． C.34． D. 1． 【答】C.23(23)(1)M xy yz xz xy y x x y =++=++--2234232x xy y x y =---++22221112[2()()]332()222y x y x x x x =-+-+--++-22112()22y x x x =-+--++ 2211332()()2244y x x =-+---+≤， 所以23M xy yz xz =++的最大值为34. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）B C1．已知△ABC 的顶点A 、C在反比例函数0)y x x=>的图象上，90ACB ∠=︒，ABC ∠＝30°，AB ⊥x 轴，点B 在点A 的上方，且AB ＝6，则点C 的坐标为_______．【答】2). 作CD AB ⊥于点D，易求得CD =，32AD =.设(C m，(A n ，结合题意可知0n m >>，(D n m，所以CD n m =-，AD m n =-，故2n m -=，32m n -=，联立解得2m =，n =所以，点C的坐标为(2)2. 2．在四边形ABCD 中，//BC AD ，CA 平分BCD ∠，O 为对角线的交点，CD AO =，BC OD =，则ABC ∠＝ ．【答】126︒.因为//BC AD ，CA 平分BCD ∠，所以DAC ACB ACD ∠=∠=∠，所以DA DC =，又CD AO =，所以AD AO =，所以ADO AOD ∠=∠.记DAC ACB ACD ∠=∠=∠＝α，ADO AOD β∠=∠=. 又//BC AD ，所以△ADO ∽△CBO ，结合AD AO =可得OC BC =，且CBO COB β∠=∠=. 又BC OD =，所以OC OD =，所以ODC OCD α∠=∠=.结合图形可得：2βα=且2180αβ+=︒，解得36α=︒，72β=︒.所以72DBC DCB ∠=∠=︒，所以BD CD AD ==，所以54DAB DBA ∠=∠=︒，于是可得126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒.3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 ．【答】167334.设两个三位数分别为x 和y ，由题设知10003x y xy += ①由①式得31000(31000)y xy x y x =-=-，故y 是x 的整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①式得10003t tx +=，所以10003t x t +=.因为x 是三位数，所以10001003t x t+=≥，从而可得1000299t ≤，又t 为正整数，故t 的可能的取值只能是1，2，3.验证可知：只有t ＝2符合题意.所以t ＝2，167x =，334y =，所求的六位数为167334.4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ，则M 的最大值为 ．【答】10.依据5个1分布的列数的不同情形分别求M 的最大值.若5个1分布在同一列，则M ＝5；若5个1分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=，所以10M ≤；若5个1分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=，所以10M ≤； 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，与题设矛盾. 综上所述，10M ≤； 另一方面，右边给出的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.题目和解答与（A ）卷第1题相同.2．题目和解答与（A ）卷第2题相同.3．已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当a b -为整数时， ab ＝ （ ）A ．0．B ．14． C ．34-． D ．2-． 【答】B.由于二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）和（0，1），故0a <，02b a-<，10a b ++=，所以0b <且1b a =--，于是可得10a -<<. 当21a b a -=+为整数时，因为1211a -<+<，所以210a +=，故12a =-，12b =-，所以14ab =. 4．题目和解答与（A ）卷第4题相同.5．题目和解答与（A ）卷第5题相同.6. 题目和解答与（A ）卷第6题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知△ABC 的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM ＝_______．【答】2.显然ABC ACB ∠≠∠.若ABC ACB ∠>∠，则由已知条件易知△ADM ≌△ADB ，所以BD =DM 12CM =.又因为AM 平分DAC ∠，所以，由角平分线定理可得12AD DM AC CM ==，即1cos 2DAC ∠=，所以DAC ∠＝60︒，进而可得90BAC ∠=︒，30ACD ∠=︒.在Rt △ADC中，AD =30ACD ∠=︒，可求得3CD =，所以1DM =.在Rt △ADM中，由勾股定理得2AM ==.若ABC ACB ∠<∠，同理可求得2AM =.2．题目和解答与（A ）卷第1题相同.3．若质数,p q 满足：340q p --=，111p q +<.则pq 的最大值为 ．【答】1007.由340q p --=得34p q =-，所以(34)pq q q =-，显然(34)q q -的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时pq 取得最大值.又因为111p q +<，即p q +＝44q -111<，所以29q <.因为q 为质数，所以q 的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q ＝23时，34p q =-＝65，不是质数；当q ＝19时，34p q =-＝53，是质数.所以，q 的最大值为19，pq 的最大值为53×19＝1007.4. 题目和解答与（A ）卷第3题相同.第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值. 解 因为,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，显然有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时4M =，故22324M a ab b =---能取到的最小正整数值不超过4.………………5分当3a =时，b 只能为1或2.若b ＝1，则M =18；若b ＝2，则M =7.当4a =时，b 只能为1或2或3.若b ＝1，则M =38；若b ＝2，则M =24；若b ＝3，则M =2.………………10分下面考虑： 22324M a ab b =---的值能否为1？若1M =，即223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+ ①，注意到25b +为奇数，所以a 是奇数， b 是偶数，此时，223a ab -被4除所得余数为3，25b +被4除所得余数为1，故①式不可能成立，即1M ≠.因此，22324M a ab b =---能取到的最小正整数值为2. ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD AB ⊥于点D ，点E 在BD 上，AE AC =，四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与⊙O 交于点N .证明：FN DE =.证明 连接BC 、BN .∵AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴90ACB ANB ADC ∠=∠=∠=︒.∵CAB DAC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴△ACB ∽△ADC ， ∴AC AB AD AC=，∴2AC AD AB =⋅. ……………………5分 又由DEFM 为正方形及CD AB ⊥可知：点M 在CD 上，B ADE DM EF MF ===.∵NAB DAM ∠=∠，ANB ADM ∠=∠，∴△ANB ∽△ADM ，∴AN AB AD AM =， ∴AD AB AM AN ⋅=⋅.∴2AC AM AN =⋅，又AE AC =，∴2AE AM AN =⋅.……………………15分 以F 为圆心、FE 为半径作⊙F ，与直线AM 交于另一点P ，显然：⊙F 与AB 切于点E .于是，由切割线定理可得2AE AM AP =⋅.∴AN AP =，∴点N 即为点P ，∴点N 在⊙F 上，∴FN FE DE ==.……………………25分三、（本题满分25分）已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=. （1）求111xy yz zx++的值. （2）证明：9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.解 （1）由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=得 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，展开整理得222222222222[()()()]()4x y z x yz xy z x y z y z x z x y x y z xyz ++-++++++++=， 即()()()()0xyz xy yz xz x y z xy yz xz x y z xyz ++-+++++++-=，所以[()](1)0xyz x y z xy yz xz -++++-=. ……………………10分 又因为1xy yz zx ++≠，所以()0xyz x y z -++=，所以xyz x y z =++，因此，1111xy yz zx++=. ……………………15分（2）因为,,x y z 为正数，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++-++＝9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx +++-++++ ＝2222226x y xy x z xz y z yz xyz +++++-＝222()()()0x y z y z x z x y -+-+-≥，所以9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）已知：5a b c ++=，22215a b c ++=，33347a b c ++=.求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.解 因为5a b c ++=，22215a b c ++=，所以22222()()()10ab bc ac a b c a b c ++=++-++=，所以5ab bc ac ++=. ……………………5分 结合恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---，可得4735(155)abc -=- 50=，所以1abc =-. ……………………10分 而22()()()a ab b a b a b c ab bc ac ++=+++-++5(5)55(4)c c =--=-. ……………15分 同理可得225(4)b bc c a ++=-，225(4)c ca a b ++=-，所以 222222()()()125(4)(4)(4)a ab b b bc c c ca a a b c ++++++=---125[6416545(1)]=-⨯+⨯--625=. ……………………25分三、（本题满分25分）如图，在等腰△ABC中，AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，EB 的延长线与AD 的延长线交于点F ，求AD AF ⋅的值. 解 连接AE 、ED 、CF ，由题设条件可知ABC ACB AED ∠=∠=∠，所以A 、E 、B 、D 四点共圆，于是可得BED BAD ∠=∠.……………………10分又因为点C 和点E 关于直线AD 对称，所以BED BCF ∠=∠.……………………15分因此BAD BCF ∠=∠，所以A 、B 、F 、C 四点共圆，又AB AC =，所以ABD ACB AFB ∠=∠=∠， ……………………20分所以△ABD ∽△AFB ，所以AB AD AF AB =，所以25AD AF AB ⋅==. ……………………25分E C。
2016初中数学联赛(初二组)初赛及答案
2016年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、A2、B3、D4、C5、A6、D二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、1275 8、1 9、6 10、13三、解答题（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，共70分）11、若关于x 的方程01)32()23(=-++++x n x m x 有无数多个解，求n m ,的值．解：原方程整理得：0132)123(=-++++n m x n m ， ………………5分由题意有：⎩⎨⎧=-+=++01320123n m n m ，………………………………………15分 解得⎩⎨⎧=-=11n m . ………………………………………………………20分12、已知实数a 、b 、c ，满足0≠abc 且0))((4)(2=----b a c b c a ，求b c a +的值． 解：因为222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+--+-=-+- （1）……5分222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+----=---（2）…………10分（1）-（2）得))((4)]()[()]()[(22b a b c b a b c b a b c --=-----+- 即：))((4)()2(22b a c b a c b c a ---=---+故0)2())((4)(22=-+=----b c a b a c b a c ， …………………20分即02=-+b c a ，故2=+bc a . …………………………………………25分 13、已知如图，在△ABC 中，C B ∠=∠2，且BD AB AC +=，求证：AD 是BAC ∠的平分线.证明1：延长AB 至G ，使BD BG =，则AC BD AB BG AB AG =+=+=， 所以ACG AGC ∠=∠； ………………………………5分又BDG BGD ∠=∠，所以ACB ABC AGD ∠=∠=∠21， 故DCG ACB ACG BGD AGC CGD ∠=∠-∠=∠-∠=∠；所以DC DG =； …………………15分又AD 是公共边，所以△AGD ≌△ACD ， …………………20分 所以CAD GAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.…………………25分证明2：作ABC ∠的平分线交AC 于E ，过D 作BE 的平行线交AC 于F ，交AB 的延长线于G ，则： 因为C ABC ∠=∠2，DF 平行BE ，所以FDC C EBC ∠=∠=∠，所以FD FC =，且ABC FDC C AFD ∠=∠+∠=∠…………5分 又BDG FDC C ABC ABE AGD ∠=∠=∠=∠=∠=∠21， 所以BG BD =，所以AC BD AB BG AB AG =+=+=， …………10分又ABC AFG C G ∠=∠∠=∠,，所以△AFG ≌△ABC ， …………………15分所以AB AF =，DB FC DF ==， …………………20分所以△ABD ≌△AFD ，故FAD BAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.……25分。
2016初二联赛试题与参考答案
。 ab 【答案】32. 1 1 2 4 8 16 。 2 4 8 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x16 ∴ a 16, b 16, a b 32 。 8．若实数 a, b 满足 2a 2 | b | 1 ，则 a 2 2 | b | 的取值范围为 【答案】 2 a 2 2 | b |
∴ n 14 或 7 或 2 或 5。
第二试（C）
一、（本题满分 20 分） 三只蚂蚁同时从点 A 出发，沿三角形道路 A B C A 爬行，已知第一只蚂蚁在
AB, BC , CA 上爬行速度分别为 12 厘米/秒，10 厘米/秒，15 厘米/秒；第二只蚂蚁在此三
段道路上的速度分别为 15 厘米/秒，15 厘米/秒，10 厘米/秒；第三只蚂蚁在此三段上的 速度分别为 10 厘米/秒，20 厘米/秒，12 厘米/秒。若三只蚂蚁同时回到 A 点，求 ABC 的 值。 解：记 AB c, BC a, CA b ， 则
由 2 x 2 y a ，可知 a 必为偶数， 又 1
22 为整数，所以 a 0, 4, 24, 20 。 a2
故选 C。 （ ）
2．定义运算 a b A.720 C.240 【答案】B。 代入求值的结果。
a ( a 1)( a 2) ( a b 2)( a 2 1
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
第 4 页 共 5 页
1 ∵ BE 平分 ABC ， ∴ ABE EBC ABC 29.5 。 2
又 BD BD, 故 ABD GBD 。……………………………………（10）
BAC 180 ABC ACB 180 59 30.5 90.5 ,
2016年全国初中数学联赛试题-含详细解析
2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题
第3页
三、（本题满分 25 分）
(A).已知正实数 x, y, z 满足： xy yz zx 1 ,且
(x2 1)( y2 1) ( y2 1)(z2 1) (z2 1)(x2 1) 4 .
xy
yz
zx
(1) 求 1 1 1 的值. xy yz zx
格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这
5 个和的最小值为 M ,则 M 的最大值为
.
第二试
(3 月 20 日上午 9:50 — 11:20) 一、（本题满分 20 分）
已知 a,b 为正整数，求 M 3a2 ab2 2b 4 能取到的最小正整数值.
上，ACB 900 , ABC 300 , AB x 轴，点 B 在点 A 的上方，且 AB 6, 则点 C 的坐
标为
.
1(B). 已 知 ABC 的 最 大 边 BC 上 的 高 线 AD 和 中 线 AM 恰 好 把 BAC 三 等 分 ，
AD 3 ,则 AM .
2(A). 在 四 边 形 ABCD 中 ， BC ∥ AD , CA 平 分 B C D, O 为 对 角 线 的 交 点 ，
30 本，那么不同的购书方案有
2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题
第4页
2016 年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）
(本题共有 6 个小题，每题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正 确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得 7 分；不选、选错或选 出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分.)
2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷
2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是（ ） A 、2- B 、2- C 、2 D 、22、关于x 的方程42312=++-x x ，其所有解的和是（ ） A 、1- B 、52-C 、53D 、1 3、若()b a a b bb a ≠-=43，则2222232b ab a b ab a +--+的值是（ ） A 、3- B 、31- C 、51D 、54、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形()b a ，沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形，则小正方形的边长为（ ）A 、2bB 、2aC 、2ba -D 、b a - 5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为（ ）A 、4B 、6C 、12D 、4或12 6、已知正数m ，满足01724=+-m m ，则mm 1+的值为（ ） babbA 、2B 、5C 、7D 、3 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是 .8、若0132=+++x x x ，则20162015321x x x x x ++++++ 的值为 . 9、设|5||4||3||2||1|+++++++++=x x x x x m ，则m 的最小值为 .10、如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 点在BC 边上，满足：4=BD ，5=DC ，若28=+AD AB ，则AD 等于 .三、（本大题满分20分）11、若关于x 的方程()()013223=-++++x n x m x 有无数多个解，求实数m 、n 的值。
2016初中联赛试题及答案
2016初中联赛试题及答案2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-=（ ）.A 12.B 2.C 1 .D2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（ ）.A 9种.B 10种 .C 11种.D 12种3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==,1CD =,对角线的交点为M，则DM =( ).A 2.B3.C 2.D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y =（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p、q满足：340,111,--=+<则pq的q p p q最大值为 .4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 —11:20)一、（本题满分20分）已知,a b为正整数，求22=---能取到的最小M a ab b324正整数值.二、（本题满分25分）(A).如图，点C在以AB为直径的O上，CD AB⊥于点D,点E在BD上，,AE AC=四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N.证明:FN DE=.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xyyz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B).如图，在等腰ABC∆中,5,==D为BC边上异AB AC于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB 的延长线与AD的延长线交于点,F求AD AF⋅的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t-的小数部分，则112b a-=（ ）.A 12 .B .C 1 .D【答案】A . 【解析】122,2t ==<-324,∴<< 即34,t <<3 1.a t ∴=-= 又221,t -=--<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a -==-=故选A .2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种.B 10种 .C 11种.D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩， 即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦故选B .3(B ）.已知二次函数21(0)y axbx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14.C 34-.D 2-【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2b a a b a <-<++= 故0,b < 且1b a =--，(1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B .4.已知O的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB⊥于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC =（第4题答案图）OC为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE是O的直径，90,B ∴∠=114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==,1CD =,对角线的交点为M ，则DM =( ).A 3 .B 5.C 2.D 12（第5题答案图） 【答案】D .【解析】过点A作AH BD⊥于点,H 则AMH∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =,AMAH CM∴=设,AM x = 则5,5CM x AH x=∴=-在Rt ABM ∆中，2225,BM AB AM x =+=+ 则255AB AMx AH BMx ⋅==+2555x xx ∴=-+显然x ≠，化简整理得2255100x x -+=解得5x =（25x =不符合题意，舍去），故52CM =在Rt CDM ∆中，2212DM CM CD =-=,故选D .6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12.B 23 .C 34.D 1【答案】C . 【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y=++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M取等号，故max34M=，故选C .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y =（x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D .在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD∆中，33sin CD BC B =⋅=（第1题答案图）9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，依题意知0,n m >>故33,CD n m AD m n=-=-，于是333332n m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪ 解得33m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭.1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM =.【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2ADDM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠=060,DAC ∴∠= 从而090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan603,CD AD DAC =⋅∠== 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠=.【答案】126.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=, BC∥AD,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=,(第2题答案图)OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,,CD AO =AD AO∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=,,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=2,2180,βααβ∴=+=解得36,72αβ==，72DBC BCD ∴∠=∠=,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠==故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3tx t +∴=x是三位数，10001003tx t +∴=≥，解得 1000,299t ≤t为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q的可能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去. 当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .【答案】10. 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =； (2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.综上所述，10.M≤另一方面，如下表的例子说明M可以取到10.故M的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 —11:20)一、（本题满分20分）已知,a b为正整数，求22=---能取到的最小324M a ab b正整数值.【解析】解：因,a b为正整数，要使得22=---的值为正整数，则有2M a ab b324a≥.当2M=故M能取到a=时，b只能为1，此时 4.的最小正整数值不超过4.当3b=，a=时，b只能为1或2.若1,18b M==;若2则7M=.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑：22324M aab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241aab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a ab b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a ab -被4除所得余数为3，而252(2)54(1)1b n n +=+=++被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O交于点N.证明:FN DE =.【证明】：连接BC 、.BN AB为O的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠,ACB ADC ∴∆∆∽,AC ABAD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知: 点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠,ANB ADM ∴∆∆∽,AN ABAD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅,AE AC =2AE AM AN∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F与AB 切于点E ,即AE 是F的切线，直线AMP 是F 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F 上，FN FE DE∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.ab c ++=求222222()()()aab b b bc c c ca a ++++++的值.【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(4)a ab b a bc a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++-125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .（1）求111xy yz zx++的值. （2）证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=，去分母得222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4z xy x y z y z x xyz--+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z xy xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式= 1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又,,x y z为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++. 【注：222222()()()2x y y z z x x y xyy z yz z x zx xyz+++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz=++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz=++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.第3（B ）题答案图） 【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =ABD ACB∴∠=∠点C关于直线AD的对称点为点E,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)BAD BCF∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AFADAB∴=(225 5.AD AF AB ∴⋅=== （注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。
全国初中数学联赛九年级第一试参考答案
2 1 1 2 则 c , m , AB m 1 1 m m
2 2
1 1 BC m m ,由题得 AB2 = BC 2 . m m
(
)
3 4
3 的距离. 4
这两条直线与 y 轴交点之间的距离为
7 7 . ，故直线间距离为 4 2 4
所以 a - c
教 州 奥 林
8x
2
2
得分
育
评卷人
((
) + (b - d ) )
2 2
=
min
49 . 32
二、填空题（本题满分 28 分,每小题 7 分） 本题共有 4 个小题,要求直接将答案写在横线上.
。
ww
(1,3) ,( 2,4) ,(3,1) ,(3,5) ,( 4,2) ,( 4,6) ,(5,3) ,(6,4) ，
ao
【解析】 a, b 共有 36 种情况，满足 a b 2 的只有 8 组： 所以 P =
li
2 9
C.
1 9
D.
1 18
奥 林
。
本题共有 6 小题,每题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个答案, 其中有且仅有一个是正确的 .将你所选择的答案的代号填在 题后的括号内.每小题选对得 7 分;不选、错选或选出的代号 字母超过一个一律得 0 分.
.
考号
二○一六年全国初中数学联合竞赛试题（C） （九年级参考答案） 一试分 第一试
（12 月 18 日上午 8:30--9:30） 考生注意：1.本试两个大题共 10 个小题,全卷满分 70 分. 2.用圆珠笔或钢笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 一、选择题（本题满分 42 分,每小题 7 分） 二试分 总 分 计分人
2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则
2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 1 页 共 3 页2016年全国初中数学联赛初赛试卷（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、C ． 2、C ． 3、D ． 4、C ． 5、B ． 6、A ． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 78、18．9、3．10三、（本大题满分20分）11、解：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分） 配方得(3a -c )2+(2a -b )2+(3b -2c )2=0， ············································· （10分） 所以3a -c =0，2a -b =0，3b -2c =0，即c =3a ，b =2a ． ······································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）解法二：由14(a 2+b 2+c 2)=(a +2b +3c )2，得13a 2+10b 2+5c 2-4ab -6ac -12bc =0， ············································· （5分）5[c 2-2(365a b +)c +(365a b +)2]+13a 2+10b 2-4ab -2(36)5a b +=0，5(c -365a b +)2+565a 2+145b 2-565ab =0，所以5(c -365a b +)2+145(2a -b )2=0， ··············································· （10分） 由此得，c -365a b+=0，2a -b =0， 解得b =2a ，c =3a ． ···································································· （15分）代入22223a b c ab ac bc++++得22223a b c ab ac bc ++++=222222827236a a a a a a ++++=3611． ··········································· （20分）四、（本大题满分25分）12、解：（1）由已知得，-x 2+2(m +1)x +m +3=0有两个不相同的实数解， 所以∆=[2(m +1)]2+4(m +3)= 4m 2+12m +16=(2m +3) 2+3＞0，可知m 是任意实数． ································································· （5分） 又因为点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上． 所以方程，-x 2+2(m +1)x +m +3=0的两根一正一负， 所以- (m +3)＜0，解得m ＞-3．所以所求m 的取值范围是m ＞-3． ··············································· （10分） （2）解法一：设点A (a ，0)，B (b ，0)，a ＞0，b ＜0，2016年全国初中数学联赛初赛试题————第 2 页 共 3 页则a =-3b ，且a +b =2(m +1)，ab =-(m +3)， 解得m =0．函数解析式为y =-x 2+2x +3． ······················································· （15分） 所以A (3，0)，B (-1，0)，C (0，3)。
2016年全国初中数学竞赛试题参考答案(精简篇)
2016年全国初中数学竞赛试题参考答案2016年全国初中数学竞赛试题参考答案2016年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1 2 3 4 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点．若，则的值为（）． P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2016的坐标是（）．（A）（B）（C）（D）（A）（2016，2）（B）（2016，2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．）（C）（2016，二、填空题）（D）（0，2）（A）a （B）a4 （C）a≤或a≥4 （D）≤a≤43．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于． CD＝，则AD边的长为（）． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了（A）（B） 10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．（C）（D）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．等于（）．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１ １ １ ４ ５ １ １ ２ ４ ５ ２ ２ ２ ４ ５ ３ ３ ３ ４ ５ ３ ３ ３ ４ ５
综 上 所 述 ，Ｍ ≤１０；
另一方面，右 边 给 出 的 例 子 说 明 Ｍ 可 以
取到１０．故 Ｍ 的最大值为１０．
第 一 试 （Ｂ）
一 、选 择 题 （本 题 满 分 ４２ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）
［答］（Ｂ）． 由于二次函 数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的 图象的顶 点 在 第 二 象 限，且 过 点 （１，０）和 （０，
１），故ａ＜０，－２ｂａ＜０，ａ＋ｂ＋１＝０，所 以ｂ＜０
且ｂ＝ －ａ－１，于 是 可 得 －１＜ａ＜０． 当ａ－ｂ＝２ａ＋１ 为 整 数 时，因 为 －１＜２ａ
＋１＜１，所 以
１．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 １ 题 相 同 ．
２．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ２ 题 相 同 ． ３．已知二次 函 数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋１（ａ≠０） 的图像的顶点在第二 象 限，且 过 点 （１，０）．当ａ －ｂ 为 整 数 时 ，ａｂ＝ （ ）．
（Ａ）０ （Ｂ）１４ （Ｃ）－４３ （Ｄ）－２
数学竞赛之窗
２０１６年全国初中数学联赛试题及 参 考 答 案 （第 一 试 ）
第 一 试 （Ａ） 一 、选 择 题 （本 题 满 分 ４２ 分 ，每 小 题 ７ 分 ） １．用［ｘ］表 示 不 超 过 ｘ 的 最 大 整 数，把 ｘ
－［ｘ］称为ｘ 的小数部分，已知ｔ＝ １ ，ａ 是
２－槡３
ｔ
的
小数
部
一个数），使 得 同 一 列 中 任 何 两 数 之 差 的 绝 对
值 不 超 过２．考 虑 每 列 中 各 数 之 和 ，设 这５ 个 和
的最小值为 Ｍ，则 Ｍ 的最大值为
．
［答］１０．
依据５个１分布的列数的不同情形分别
求 Ｍ 的最大值，
若５个１分布在同一列，则 Ｍ＝５；
若５个１分布在两列中，则由题 设 知 这 两
１．已知△ＡＢＣ 的顶点Ａ、Ｃ 在反比例函数
ｙ＝槡ｘ３（ｘ＞０）的 图 像 上 ，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ
＝３０°，ＡＢ⊥ｘ 轴，点 Ｂ 在 点 Ａ 的 上 方，且 ＡＢ
＝６，则点 Ｃ 的坐标为
．
［答］（槡２３，２）．
作 ＣＤ⊥ＡＢ 于 点 Ｄ，易 求 得 ＣＤ＝３ ２槡３，
ＡＤ＝３２．设 Ｃ（ｍ，槡ｍ３），Ａ（ｎ，槡ｎ３），结 合 题 意 可
点 ，ＣＤ ＝ＡＯ，ＢＣ＝ＯＤ，则
∠ＡＢＣ＝
．
［答］１２６°．
因为 ＢＣ ∥ ＡＤ，ＣＡ 平 分 ∠ＢＣＤ，所 以
∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，所以 ＤＡ＝ＤＣ，又
ＣＤ ＝ ＡＯ，所 以 ＡＤ ＝ ＡＯ，所 以 ∠ＡＤＯ ＝
∠ＡＯＤ．
记∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＣＤ＝α，∠ＡＤＯ
＝ ∠ＡＯＤ＝β． 又 ＢＣ∥ＡＤ，所 以 △ＡＤＯ∽ △ＣＢＯ，结 合
１．已知 △ＡＢＣ 的 最 大 边 ＢＣ 上 的 高 线 ＡＤ
和中线 ＡＭ 恰好把 ∠ＢＡＣ 三等分，ＡＤ＝槡３，则
ＡＭ＝
．
［答］２．
显 然 ∠ＡＢＣ ≠ ∠ＡＣＢ．若 ∠ＡＢＣ ∠ＡＣＢ，则 由 已 知 条 件 易 知 △ＡＤＭ ≌ △ＡＤＢ，
所以 ＢＤ ＝ ＤＭ ＝ ２１ＣＭ．又 因 为 ＡＭ 平 分
奇数的立 方 差，则 称 这 个 正 整 数 为 “和 谐 数 ”。 如：２＝１３ － （－１）３，２６＝３３ －１３，２ 和 ２６ 均 为 “和谐数”．那 么，不 超 过 ２０１６ 的 正 整 数 中，所 有 的 “和 谐 数 ”之 和 为 （ ）．
（Ａ）６８５８ （Ｂ）６８６０ （Ｃ）９２６０ （Ｄ）９２６２． ［答］（Ｂ）． 注意到 （２ｋ＋１）３ － （２ｋ－１）３ ＝２（１２ｋ２ ＋ １），由 ２（１２ｋ２ ＋１）≤２０１６ 得｜ｋ｜＜１０． 取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即 得 所 有 的 不 超 过 ２０１６ 的 “和 谐 数 ”，它 们 的 和 为 ［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋ （５３－６３）＋ … ＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０． ４．已 知 ⊙Ｏ 的 半 径 ＯＤ 垂 直 于 弦 ＡＢ，交 ＡＢ 于点Ｃ，连接 ＡＯ 并延长交 ⊙Ｏ 于 点Ｅ，若 ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ 的面积为（ ）． （Ａ）１２ （Ｂ）１５ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８ ［答］（Ａ）． 设 ＯＣ＝ｘ，则 ＯＡ＝ ＯＤ＝ｘ＋２，在 Ｒｔ△ＯＡＣ 中，由勾 股 定 理 得 ＯＣ２ ＋ ＡＣ２＝ＯＡ２，即 ｘ２ ＋４２ ＝ （ｘ＋２）２，解 得 ｘ＝３．又 ＯＣ 为 △ＡＢＥ 的 中 位 线， 所以 ＢＥ＝２ＯＣ＝６． 所以直角 △ＢＣＥ 的 面 积 为 １２ＣＢ·ＢＥ＝ １２． ５．如 图，在 四 边 形 ＡＢＣＤ 中，∠ＢＡＣ＝
知ｎ＞ｍ＞０，Ｄ（ｎ，槡ｍ３），所 以 ＣＤ＝ｎ－ｍ，ＡＤ
＝槡ｍ３－槡ｎ３，故ｎ－ｍ＝３ ２槡３，槡ｍ３－槡ｎ３＝
３ ２
，联
立
解得 ｍ ＝ 槡２３，ｎ＝２ 槡３．所 以，点 Ｃ 的 坐 标 为
（槡２３，２）．
２．在 四 边 形 ＡＢＣＤ
中，ＢＣ ∥ ＡＤ，ＣＡ 平 分
∠ＢＣＤ，Ｏ 为 对 角 线 的 交
于 是 可 得 ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＤＢＣ ＝
１２６°．
· ２６ · 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ
数学竞赛之窗
３．有位学生忘记写两个三位数间的 乘 号， 得到一个六位数，这个六位数恰好为原来 两 个 三 位 数 的 乘 积 的 ３ 倍，这 个 六 位 数 是
∠ＤＡＣ，所 以
，由 角
平
分
线
定
理
可
得ＡＤ ＡＣ
＝ＣＤＭＭ
＝
２１ ，即ｃｏｓ∠ＤＡＣ＝
１ ，所 ２
以 ∠ＤＡＣ＝６０°，进
而 可 得 ∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＤ＝３０°．
（下 转 第 ２４ 页 ）
· ２７ · 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ
＝ －３ｘ２ －４ｘｙ－２ｙ２ ＋３ｘ＋２ｙ
＝
－２［ｙ２＋２（ｘ－
１ ２
）ｙ＋
（ｘ－
１ ２
）２］－３ｘ２
＋３ｘ＋２（ｘ－
１ ２
）２
＝
－２（ｙ＋ｘ－
１ ２
）２－ｘ２＋ｘ＋
１ ２
＝
－２（ｙ＋ｘ－
１ ２
）２－
（ｘ－
１ ２
）２＋
３ ４
≤ ３４ ，
所以
Ｍ
＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ
的
最大
值
为３ ４
．
二 、填 空 题 （本 题 满 分 ２８ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）
分 ，ｂ
是
－ｔ
的
小
数
部
分
，则２１ｂ－
１ ａ
＝ （ ）．
（Ａ）１２ （Ｂ）槡２３ （Ｃ）１ （Ｄ）槡３
［答］（Ａ）．
∵ ｔ＝ １ ＝２＋槡３而３＜２＋槡３＜４， ２－槡３
∴ ａ＝ｔ－３＝槡３－１
又∵ －ｔ＝－２－槡３，而 －４＜ －２－槡３＜
－３，
∴ ｂ＝ －ｔ－ （－４）＝２－槡３．
题目 （２０１２ 年 全 国 初 中 数 学 联 赛 第二试（８）试 题）已 知 直 角 三 角 形 的 边 长 均 为 整 数 ，周 长 为 ６０，求 它 的 外 接 圆 的 面 积 ．
解 设 Ｒｔ△ＡＢＣ 的 直 角 边 为ａ，ｂ，斜 边 为ｃ，
∠ＢＤＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝槡５，ＣＤ＝１，对 角 线 的
交点为 Ｍ，则 ＤＭ＝（ ）．
（Ａ）槡２３ （Ｂ）槡３５
（Ｃ）槡２２ （Ｄ）１２
· ２５ · 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ
．
［答］１６７３３４．
设 两 个 三 位 数 分 别 为 和 ｙ，由 题 设 知
１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ
①
由①式 得 ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝ （３ｙ－１０００）
ｘ，故ｙ 是ｘ 的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整
数），代 入 ① 式 得 １０００＋ｔ＝３ｔｘ，所 以 ｘ ＝
１００３０ｔ＋ｔ．因 为 是 三 位 数，所 以 ｘ＝１００３０ｔ＋ｔ≥
∴ ２１ｂ－
１ ａ
＝２（２－１槡３）－槡３１－１＝２＋２槡３
－槡３２＋１＝ ２１ ．
２．三种 图 书 的 单 价 分 别 为 １０ 元、１５ 元 和 ２０元，某 学 校 计 划 恰 好 用 ５００ 元 购 买 上 述 图 书 ３０ 本 ，那 么 不 同 的 购 书 方 案 共 有 （ ）．
（Ａ）９ 种 （Ｂ）１０ 种 （Ｃ）１１种 （Ｄ）１２种 ［答］（Ｃ）． 设购买三种图 书 的 数 量 分 别 为 ａ，ｂ，ｃ，则 ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，１０ａ＋１５ｂ＋２０ｃ＝５００，易 得ｂ＝ ２０－２ａ，ｃ＝１０＋ａ，于是ａ 有１１ 种 可 能 的 取 值 （分别为０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０）．对 于 每 一个ａ 值，对应 地 可 求 出 唯 一 的ｂ 和ｃ，所 以， 不 同 的 购 书 方 案 共 有 １１ 种 ． ３．如 果 一 个 正 整 数 可 以 表 示 为 两 个 连 续
２ａ＋１＝０，ａ＝
－
１ ２
，ｂ＝
－
１ ，所 ２
以 ａｂ＝ ４１ ．
４．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ４ 题 相 同 ．
５．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ５ 题 相 同 ．
６．题 目 和 解 答 与 （Ａ）卷 第 ６ 题 相 同 ．
二 、填 空 题 （本 题 满 分 ２８ 分 ，每 小 题 ７ 分 ）