有限元法讲课教案

体响应； ➢ 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有
限单元”。
2）节点（node） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有
限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有
物理特性，且存在相互物理作用。
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有
一定响应，相互之间存在物理
作用。
单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。
有限元法
Finite Element Method
主要内容
• 有限元法的基本概念 • 有限元法的分类 • 有限元法的求解步骤（重点） • 常用有限元软件简介
随着生产的发展，不断要求设计高质量、高 水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在 产品加工中，在分析产品性能过程中，往往需要 了解产品在承受载荷的情况下的应变与位移、温 度场、流场、磁场的分布情况等，从而为产品的 性能设计提供依据。
.
.
3 节点
单元
4 节点
单元
如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应， 就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据 是通过单元形函数推导出来的。 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择 并接受该种单元类型所假定的单元形函数。 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下， 必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确 描述所要求解的问题。
载荷
Leabharlann Baidu
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
1 node
...
A
B
.. .
A
B
...
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由
一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。
同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、 不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、 材料非线性的物理系统，对这些系统经典理论解 决起来相当困难，有时甚至无法解决，也就是无 法求得解析解。因此，寻求离散数值分析法就成 了必由之路。
常用的数值分析法有两种：差分法和有限元 法。
差分法是在传统方法的基础上，将传统方法 建立的微分方程中的微分dx、dy、dz变成差分Δx， Δy，Δz，从而把微分方程变成代数方程，用一 步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离散 点的物理量，用差分离散解代替连续解。
这种方法要求能建立微分方程，并能给出边 界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的 几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
每个单元的特性是通过一些线性方程式来描 述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了 整体结构的数学模型。
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
出风口
网格节点步长为
进 风
40mm,共1113040
口
个单元
膨化饲料床层
Z X
膨化饲料带式干燥机有限元模型
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
有限元法是一种以计算机为手段，通过离散 化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学 模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、 应变、位移等参数的数值计算方法。
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个 通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度 的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结 构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局 部坐标系和整体坐标系的确定。
梯子的有限元模型不到100个方程；
在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。
单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
4）单元形函数（node） 有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形
函数是一种数学函数，规定了从节点响应值到单 元内所有点处响应值的计算方法,因此，单元形 函数提供一种描述单元内部结果的“形状”。
单元形函数描述的是给定单元的一种假定的 特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度 直接影响求解精度。
响应值二次分布
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.
二次曲线的线性近似 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
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1 节点
单元
2 节点
单元
线性近似(更理想的结果)
真实的二次曲线
.. . . .
二次近似 (接近于真实的二次近 似拟合) (最理想结果)
蓄水后大坝的 位移与应变情 况、地震时大 坝的位移与应 变情况等
三峡大坝的受力情况
温度场分布
航天飞机飞行 中的受热分析
导弹、飞机飞 行的流体动力 学分析
流场分布
磁场分布 分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响
传统方法在处理这类问题时，往往要对一个 实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、 连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经 典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形 式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如 用方程描述三峡大坝每一点的位移和应变，但这 样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这 对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些 领域，就不能满足实际的需要了。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
其中最主要的是离散化方法，把问题归结为 只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变 成有限个自由度。
把一个连续体分割成有限个单元，即把一个 复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组 成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元 组合起来代表原来的结构，以得到复杂问题的近 似数值解。这种方法称为有限元法（The Finite Element Method ）。
2.几个基本概念
1）单元（element） 将求解的工程结构看成是
由许多小的、彼此用点联结的 基本构件如杆、梁、板和壳组 成的，这些基本构件称为单元。
在有限元法中，单元用一 组节点间相互作用的数值和矩 阵（刚度系数矩阵）来描述。
单元具有以下特征： ➢ 每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷
下的响应； ➢ 模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总