有限元法简介

有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用 有限个容易分析的单元来表示复杂的对象， 单元之间通过有限个结点相互连接，然后 根据变形协调条件综合求解。由于单元的 数目是有限的，结点的数目也是有限的， 所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
有限元法的孕育过程及诞生和发展 牛顿(Newton) 莱布尼茨(Leibniz G. W.)
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者 进行有限划分，但积分运算为实现有限元技 术准备好了一个理论基础。
.. .体..(三..维实.体..).............
线性
二次
一维波传导问题 点 单元
线 单元
线 单元
点 单元
面 单元
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
技术路线：
发展过程： 如何处理 对象的离散化过程
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
..
轴对称实体)
. .
...
. .
...
线性
二次
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
低阶单元
更高阶单元
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
瑞利(Rayleigh)
在19世纪末及 20世纪初，数 学家瑞利和里 兹（Rayleigh Ritz）首先提出 可对全定义域 运用展开函数 来表达其上的 未知函数。
1915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库 朗德第一次提出了可在定义域内分片地使 用展开函数来表达其上的未知函数。这实 际上就是有限元的做法。
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随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
X
0.056
0.058
X
0.06
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
受垂直载荷的托架
体单元
•线性单元 / 二次单元 – 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
各（ 力对 学象 学、 科变 分量 支、 的方 关程 系、
求 解 途 径 ）
任意变形体力学分析的基本变量及方程 研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题
圆形隧道
三维模型
(2) 中华和钟 (3) 矿山机械
(4) 压力容器的成形
变形体及受力情况的描述
求解方法
有限元方法的思路及发展过程
高斯(Gauss)
在牛顿之后约一百年， 著名数学家高斯提出了 加权余值法及线性代数 方程组的解法。这两项 成果的前者被用来将微 分方程改写为积分表达 式，后者被用来求解有 限元法所得出的代数方 程组。
拉格朗日(Lagrange J.)
在18世纪，另 一位数学家拉 格朗日提出泛 函分析。泛函 分析是将偏微 分方程改写为 积分表达式的 另一途径。