平面图形的面积(全套的哦)
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
《面积》知识点总结
《面积》知识点总结面积是几何学中的一个重要概念，它描述了一个平面图形所占据的区域大小。
在现实生活和学习中，我们经常需要计算图形的面积，以求解各种问题。
面积的概念和计算方法有很多重要的知识点，下面将对这些知识进行总结。
一、基本概念1.面积的定义：面积是指平面上其中一个面或者图形所占据的区域大小。
2. 面积的单位：常用的面积单位有平方米（m²）、平方厘米（cm²）、平方毫米（mm²）等。
3.面积的符号：表示面积通常使用大写字母A表示。
二、常见平面图形的面积计算1.矩形：矩形的面积计算公式是A=长×宽。
2.正方形：正方形的面积计算公式是A=边长×边长。
3.三角形：三角形的面积计算公式是A=底×高÷24.平行四边形：平行四边形的面积计算公式是A=底×高。
5.梯形：梯形的面积计算公式是A=（上底+下底）×高÷26.圆：圆的面积计算公式是A=π×半径²（π取近似值3.14或3.1415）。
7.扇形：扇形的面积计算公式是A=弧长×半径÷2或A=半径²×弧度÷2（其中，弧度等于圆心角的度数除以360度再乘以2π）。
三、复杂图形的面积计算1.复杂图形的分解法：将复杂的图形分解成多个简单的图形，计算出各个简单图形的面积，再将各个简单图形的面积相加，即可得到复杂图形的面积。
这种方法适用于不规则图形、多边形等复杂图形的面积计算。
2.高度法：对于有高度的梯形、三角形等图形，可以利用垂直高度计算面积。
通过画高线，将图形分成上下两个部分，分别计算上下两部分图形的面积，再将两部分面积相加，即可得到整个图形的面积。
3.面积差法：对于有相似图形或同心图形的给定面积的图形，可以通过面积差法计算图形的面积。
将给定面积的图形与另一规定图形进行重合，计算重合图形的面积，再用给定面积减去重合图形的面积，即可得到所求图形的面积。
图形面积体积公式大全
图形面积体积公式大全一、平面图形的面积公式。
1. 正方形的面积公式。
正方形的面积公式为，A = a²，其中a为正方形的边长。
2. 长方形的面积公式。
长方形的面积公式为，A = l w，其中l为长方形的长度，w为长方形的宽度。
3. 圆的面积公式。
圆的面积公式为，A = πr²，其中π为圆周率（取3.14），r为圆的半径。
4. 三角形的面积公式。
三角形的面积公式为，A = 0.5 b h，其中b为三角形的底边长，h为三角形的高。
5. 梯形的面积公式。
梯形的面积公式为，A = 0.5 (a + b) h，其中a、b分别为梯形的上底和下底长，h为梯形的高。
6. 正多边形的面积公式。
正n边形的面积公式为，A = 0.25 n a² / tan(π/n)，其中n为边数，a为边长。
二、立体图形的体积公式。
1. 正方体的体积公式。
正方体的体积公式为，V = a³，其中a为正方体的边长。
2. 长方体的体积公式。
长方体的体积公式为，V = l w h，其中l为长方体的长度，w为长方体的宽度，h为长方体的高度。
3. 圆柱体的体积公式。
圆柱体的体积公式为，V = πr²h，其中r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高。
4. 圆锥体的体积公式。
圆锥体的体积公式为，V = 0.33 πr²h，其中r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高。
5. 球体的体积公式。
球体的体积公式为，V = 4/3 πr³，其中r为球的半径。
6. 锥体的体积公式。
锥体的体积公式为，V = 0.33 πr²h，其中r为锥的底面半径，h为锥的高。
三、不规则图形的面积公式。
1. 长方形的面积公式。
不规则图形的面积可以通过分割成多个规则图形来计算，然后相加得到总面积。
2. 圆形的面积公式。
对于不规则的圆形，可以通过近似法来计算其面积，将其分割成多个小扇形，然后相加得到总面积。
3. 其他不规则图形的面积公式。
各种形状的面积计算公式
各种形状的面积计算公式
一、正方形。
1. 公式：面积 = 边长×边长，用字母表示为S = a×a=a^2（其中S表示面积，a 表示正方形的边长）。
二、长方形。
1. 公式：面积 = 长×宽，用字母表示为S = a×b（其中S表示面积，a表示长，b 表示宽）。
三、三角形。
1. 公式：面积 = 底×高÷2，用字母表示为S=(1)/(2)ah（其中S表示面积，a表示底，h表示高）。
四、平行四边形。
1. 公式：面积 = 底×高，用字母表示为S = ah（其中S表示面积，a表示底，h 表示高）。
五、梯形。
1. 公式：面积=(上底 + 下底)×高÷2，用字母表示为S=((a + b)h)/(2)（其中S 表示面积，a表示上底，b表示下底，h表示高）。
六、圆形。
1. 公式：面积=π×半径的平方，用字母表示为S=π r^2（其中S表示面积，r表示半径，π通常取3.14）。
平面图形的面积
= 2∫
π
0
1 + a cos xdx ,
2 2
设椭圆的周长为 s 2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
π
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
= 2∫
0
π
(sin t )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
0
1 + a 2 cos 2 t dt
= 2∫
π
0
1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
0 x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 xy ′ = y 2 y′ 1 积分 ⇒ 2 ln | y |= ln | x | + c 1 = ⇒ y x
∴ y = cx , 其中c = ± e .
2
c1
9 ∴ y = x , 因为 f ( x ) 为单调函数 2 3 2x. 所以所求曲线为 y = 2
例 3
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
4
y ∈ [−2, 4] −
y2 dy = 18. A = ∫ y+4− −2 2
x = 1+sh dx =ch dx c c b x sh x b ∴ s =2∫ ch dx =2c c 0 0 c xb 1 x = 2csh (cch )′ =c⋅ sh c c c c
小学五年级数学 平面图形的面积计算
算法（2）：12×5÷2=30（平方厘米）
× 算法（３）：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
练习：选取有效的条件进行计算它们的面积。（单位：厘米）
５ ４ ８
５
８
１２
６ ５ １０
８ ４
１、平行四边形面积：８×４＝３２（平方厘米） ２、梯形面积：（８＋１２）×４÷２＝４０（平方厘米） ３、三角形面积：１０×５÷２＝２５（平方厘米）
Байду номын сангаас
练习： １２
６分米
（？）
１０
５米
Ｓ＝１０平方米
（１）： ６×１０÷１２＝５（分米） 或：１２x＝６×１０
（２）： ５x÷２＝１０ 或：１０×２÷５＝４（米）
1.5米
2米
3米
(1)求梯形面积: (1.5+2)×3÷2=5.25(平方米)=525(平方分米) (地板面积)
(2)求地砖面积: 20×20=400(平方厘米) =4(平方分米) (3)单位转换:(想一想) (4)求砖的块数: 525÷4=131.25≈132(块)
长方形、正方形 平行四边形 三角形 梯形
长方形
长方形面积=长×宽
S=ab
平行四边形
平行四边形面积=底×高
S=ah
正方形
正方形面积=边长×边长 S=a 2（a的平方）
三角形
三角形面积=底×高÷２
S=ah÷２
梯形
梯形面积=（上底＋下底）×高÷２
S=（a＋b）h÷2
练习：求下面图形的面积
单位：厘米
12 65
各种图形的面积公式
各种图形的面积公式
长方形周长=(长+宽)×2 C=2（a+b）
正方形周长=边长×4 C=4a
圆的周长=圆周率×直径C=πd C =2πr
半圆的周长=圆周长的一半+直径πr+d
面积公式：长方形面积=长×宽 S=ab
正方形面积=边长×边长 S=a2
平行四边形面积=底×高 S=ah
三角形面积=底×高÷2 S=ah÷2
梯形面积=（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)h÷2
圆的面积=圆周率×半径的平方S=πr2
圆柱的侧面积=底面周长×高 S=Ch
表面积公式：长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S=(ab+ah+bh)×2
正方体表面积=边长×边长×6 S=6a2
圆柱体侧面积=底面周长×高 S=C h
圆柱体表面积=侧面积+底面积×2 S=S侧+2 S底
体积公式：长方体体积=长×宽×高 V=abh
正方体体积=棱长×棱长×棱长 V=a3
圆柱体体积=底面积×高 V=Sh
（将近似长方体平放得到：圆柱体体积=侧面积的一半×半径V=Ch÷2×r=2πr÷2×r=πr×r）
圆锥体体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3或1/3Sh。
平面图形的面积公式
三、三角形
1-复制一个同样的三角形
2-将复制的旋转180度
3-拼成一个平行四边形，就可以按平行四 边形面积的一般计算三角形的面积
四、梯形
1-复制一个同样的梯形
2-将复制梯形旋转180度
3.和原梯形拼成一个平行四边形，按新平 行四边形的一半计算面积
4-加一辅助线（红线），将梯形分成两个 三角形更简单
平面图形的面积公式
目录
一、长方形-矩形 二、平行四边形 三、三角形 四、梯形 五、圆形
一、长方形-矩形
长方形的面积等于底×高
二、平行四边形
1-沿高剪切平行四边形
2-形成一个直角三角形和一个直角梯形
3-将剪下的直角三角形粘到另一边
4-形成一个长方形，就可以按长方形面积 公式计算面积
五、圆形
三角形是最简单的平面 图形，任何一个平面图 形的ห้องสมุดไป่ตู้积都可以拆成很 多个三角形计算
1.计算原的面积就是把圆拆成无数三角形， 在拼接成一个平行四边形
2.平行四边形的长等于一半圆周，高等于 半径，按平行四边形公式就可以求圆面积
三角形是最简单的平面 图形，任何一个平面图 形的面积都可以拆成很 多个三角形计算
高等数学课件6-2平面图形的面积
例 Example 4 (习题6-2，9）求位于曲线y=e
x
x
下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴 yy e 上方之间的图形的面积。 x 解 设切点为 ( x 0 , e ) (1,e)
0
y ( x0 ) e
'
xo
切线方程为 Y e x
x0
o
x
把点 ( x 0 , e ) 代入方程 , 得 e
1
4
解2 选y为积分变量
y 0 ,1 , dA
1
(
2
y y ) dy
2
A
( y y ) dy
0
3 1
x y
2
1 2 2 1 3 y y 3 3 0 3
y x
2
$2平面图形面积
5
例
E x a m p le
2
2
计 算 由 曲 线 y x
一、直角坐标系情形 Case of rectangular coordinate system
y
y f (x)
y
y f2( x ) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
x x
b
x
曲边梯形的面积
A
曲边梯形的面积
A
a
b
f ( x ) dx
a [ f 2 ( x )
A 4 ydx 4 b sin td ( a cos t )
0
a
0
1 4 ab sin t dt 4 ab ab . 0 2 2 2 当 a b 时， A a
常用图形面积公式
尺寸符号圆形d为圆形直径；S为面积。
尺寸符号正方形a为正方形边长；S为面积。
尺寸符号常用平面图形面积计算图形图形图形长方形a为长方形一边边长；b为另一边边长；S为面积。
尺寸符号三角形a为三角形底边边长；h为三角形的高；S为面积。
尺寸符号图形图形平行四边形a为平行四边形底边边长；h为平行四边形的高；S为面积。
尺寸符号梯形a为梯形上底边边长；b为梯形下底边边长；h为梯形的高；S为面积。
尺寸符号图形图形圆环d1为外圆直径；d2为内圆直径；S为面积。
尺寸符号扇形n为扇形角度，单位为度；r为扇形半径；S为面积。
尺寸符号图形图形正六边形d为正六边形内切圆直径；S为面积。
尺寸符号正n边形，n为偶数d为正n边形内切圆直径；φ为各边所对圆心角。
S为面积。
尺寸符号图形图形正n边形，n为奇数d为正n边形内切圆直径；D为正n边形外接圆直径；φ为各边所对圆心角。
S为面积。
尺寸符号菱形a为菱形对角边长；h为菱形另一对角边长；S为面积。
尺寸符号图形图形任意四边形a为四边形对角边长；b为四边形形另一对角边长；c为夹角，输入单位为角度；S为面积。
尺寸符号椭圆A为四边形对角边长；b为四边形形另一对角边长；c为夹角，输入单位为角度；S为面积。
尺寸符号图形图形球体D为球体直径；S为面积。
尺寸符号球冠r为球冠边半径，D=2r；R为球的半径；H为球冠的高；S为面积。
尺寸符号图形图形球缺r为球缺边半径，D=2r；R为球的半径；H为球缺的高；S为面积。
尺寸符号圆柱D为圆柱上下表面直径；h为圆柱高度；S为总面积，S1为侧面积，S2 为上表面面积。
尺寸符号图形图形圆锥D为圆锥底面直径；L为圆锥母线长度；S为总面积，S1为侧面积，S2 为底面面积。
尺寸符号圆台D为圆台底面直径,R为圆台底面半径；d为圆台顶面直径,r为圆台顶面半径；L为圆锥母线长度；S为总面积，S1为侧面积，S2 为底面面积，S3为顶面面积。
图形输入参数公式dS=πd2/42公式aS=a22公式a bS=a*b1015公式a h S=a*h/246公式a hS=a*h55公式a b h S=(a+b)*h/2343公式d1d2S=π*d12/4-π*d22/4155公式n r S=π*r2*n/3603010公式dS=0.866025*d*d4公式d nS=0.25*n*d²tanφ/2。
第24讲 , 平面图形的面积
第24讲平面图形的面积【探究必备】日常生活中我们经常计算各种图形的面积。
以前我们学习过长方形和正方形面积的计算，对于平行四边形、三角形和梯形我们可以用转化的方法把它们分别转化成已经学过的图形，从而推导出它们的面积公式。
计算平行四边形和三角形的面积时，关键是要找准底和高，计算它们的面积时底和高必须对应，即用于计算面积的底和高是互相垂直的。
三角形、梯形与平行四边形的关系：1. 两个完全相同的三角形或梯形可以拼成一个平行四边形。
2. 三角形或梯形的面积等于与它等底等高平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于与它等底等高的三角形或梯形面积的2倍。
3. 面积相等、高相等的三角形的底是平行四边形的2倍；面积相等、底相等的三角形的高是平行四边形高的2倍。
组合图形是由两个或两个以上的简单平面图形，通过拼合、重叠或位移变换后，组合成的较复杂的图形。
正确求出组合图形的面积要注意以下几点：1. 切实掌握有关简单图形的概念、公式、牢固建立空间观念。
2. 仔细观察，认真思考，看清组合图形由哪些基本图形组合而成的。
3. 常用的解题方法有分解法和割补法。
对于较复杂的组合图形，还要用到图形转换，把其中一部分图形进行平移、翻折、旋转、对称变换，使问题化难为易。
常需要画出辅助线，标出图形各部分之间的关系。
【王牌例题】例1、一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是多少平方分米？分析与解答：平行四边形的面积=底×高，要求平行四边形的面积关键是先求出平行四边形的高，因为高是底的2倍，所以它的高为9×2=18（分米），故它的面积是9×18=162（平方分米）。
例2、一个平行四边形的停车场，底是63米，高是25米。
平均每辆车占地15平方米，这个停车场可以停车多少辆？分析与解答：这是一道关于平行四边形面积的应用问题。
要求这个停车场可以停车多少辆，由于平均每辆车占地15平方米，首先应求出这个停车场有多少平方米，也就是求它的面积，即它的面积为63×25=1575（平方米），由于由于平均每辆车占地15平方米，因此这个停车场可以停车1575÷15=105（辆）。
平面图形面积的计算
第一讲 平面图形面积知识平台：1．常见的几种规则图形（1）三角形定义：由三条线段首尾直接围成的图形叫做三角形。
锐角三角形（三个角都是锐角） 三角形直角三角形（有一个角是直角）（按角分） 钝角三角形（有一个角是钝角）不等边（腰）三角形三角形 只有两条边相等的三角形（按边分） 等腰三角形等边三角形直角梯形梯形 等腰梯形长方形四边形 平行四边形 菱形2．面积计算公式（1）三角形（2）四边形范例点击例1 已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分面积。
阴影部分的面积为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积。
52+32-52÷2-（5+3）×3÷2=9。
5平方厘米例2 如图，已知BCEF 是平行四边形，三角形ABC 是直角三角形，BC 长8厘米，AC 长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，求HC 的长度是多少？阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，则平行四边形面积比三角形ABC 的面积大12平方厘米。
求出平行四边形面积后就可求出平行四边形的高。
8×7÷2+12=40平方厘米 40÷8=5厘米。
例3 如图，已知阴影部分的面积为120平方厘米，P 、M 分别是AB 、BC 的中点，长方形宽是16厘米，求长方形的长是多少？若以三角形BPM 的面积为一个单位，三角形ADP 和三角形CDM 的面积均为三角形BPM 的2倍，而长方形面积是三角形BPM 的8倍，那么阴影部分面积是三角形BPM 的3倍，A B C D E FH所以，长方形面积为：120÷3×8=320平方厘米，可求出长方形的长：320÷16=20厘米。
例4 如图，长方形ABCD 中，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的面积比三角形DEF 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少厘米？三角形ABF 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米，则有长方形ABCD 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米。
平面图形面积的整理与复习
1
20
3 1
3 12
a
h b S＝ 21(a＋b)h
s＝a2 a
h a
s＝ah a
b
S＝ab
h
S＝
1 2
ah
a
r S＝ πr 2
1厘米
面积是1平方厘米
1厘米
宽：有几排
长：每排有几个
长方形的面积＝长×宽
S＝ab
1厘米 面积是1平方厘米
1厘米
正方形的面积＝边长×边长
S＝a2
a h
长方形的面积＝长×宽 平行四边形的面积＝ 底×高
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
C 2
＝
πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽
所以: 圆 的 面 积 = πr × r ＝ πr 2
a b
S＝ab
s＝a2
a
h
h
Sa＝a 21 ah
a s＝ah
r
h S＝b21(a＋b)h
S＝ πr 2
想做这样一个红色标志牌，你能 算出它的面积吗？
12厘米
6厘米
74厘厘米米
2厘米
170厘厘米米 （1）这个梯形的面积是多少？ （4+10）×2÷2=14（平方厘米） （2）如果梯形的上底增加3厘米，下底 减少3厘米，得到的图形的面积是多少？ 你发现了什么？ （7+7）×2÷2=14（平方厘米）
74厘厘米米
2厘米
170厘厘米米 （1）这个梯形的面积是多少？ （4+10）×2÷2=14（平方厘米） （2）如果梯形的上底增加3厘米，下底 减少3厘米，得到的图形的面积是多少？ 你发现了什么？ （7+7）×2÷2=14（平方厘米）
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
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平面图形的面积（全套的哦！）五（）班：学号1、看一看，想一想，什么图形与什么图形相减，可求出各图中阴影部分的面积？2.如图，大正方形的边长为15 厘米，小正方形的边长为8厘米。
通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，高是______，底是______。
3.如图由两个平行四边形组成：通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，高是______，底是______。
4.如图，由三个正方形并排在一起：通过仔细观察，图中的阴影部分是______形，上底是______，下底是______，高是______。
5、如图空白部分是平行四边形，面积为 30 平厘米。
如果要求阴影部分面积，根据已知条件，可求出这个平行四边形的高是______，即求出阴影部分这个三解形的高是______，底是______。
6、从右图可看出：阴影部分是______形，底是______，高是______。
7、从右图可看出：阴影部分是______形，底是______，高是______。
8、右图是由4块直角边分别为5厘米和9厘米的直角三角形，拼成一个中间有一方孔的正方表。
从图中可看出：小方孔的边长是______厘米。
9.选择。
（1）仔细观察后想一想：要求下图的面积应选择的两个数据是：( )A．7 和6B．8 和6C．8 和7（2）哪条高，不是指定边上的高？请在图形下的（）里打上“×”。
（3）在右面平行四边形中，BC 边上的高是（）。
A．线段C F B．线段D EC．线段D H D．线段B F（4）判断下面每个三角形中（阴影部分）AB 边上的高。
以下判断，第（）种是错误的。
A.只有图2的高不是大正方形的边长。
B.图2和图3的高是相等的。
C.图4和图5的高是相等的。
（5）下图是一个梯形，上底和下底分别是（）。
A．a 和b B．b 和dC．b 和c D．a 和c10.判断。
（1）下图中，没有不是梯形的。
⋯⋯（）（2）下图长方形中的两个阴影部分都是梯形。
⋯⋯（）（3）下图是大小两个正方形拼成的，阴影部分是一个钝角三角形，它的高是a，底是a-b。
⋯⋯（）（4）下图平行四边形中有三个三角形，它们的面积关系是：A+B=C。
⋯⋯（）。
11.下面各图都是由边长分别是8厘米和4厘米的两个正方形并排而成，图中的阴影部分都是三角形。
这些三角形的形状、方向、位置都在变化，请比一比它们的面积是不是全部一样？12.下图中，平行四边形ABCD 和ABEF 的面积相等吗？13.求右图中阴影部分的面积（单位：米）。
14.在下图的梯形中剪去一个最大的三解形（单位：厘米），剩下的是什么图形？剩下图形的面积是多少？15.已知右图（单位：厘米），梯形中的阴影部分面积是340 平方厘米。
求这个梯形的面积。
16.已知：BD＝DE＝EC，那么下图中，甲、乙、丙三个三角形的面积相比是：（）A.一样大B.甲最大C.无法比较17.在下图6个边长相等的小正方形中，A、B、C 三个涂有阴影的三解形的面积相比是：（）（1）A＞B＞C （2）B＞C＞A（3）B＝A＝C （4）C＞A＞B5.下图是一个直角三角形，图中的h长是：（）。
A.1.2B.2.4C.1.5D.无法计算6.下图中A B 和C D 是两条平行线。
有（）对三角形的面积相等。
A.2B.3C.4一、填空：1、一个三角形的底是18厘米，高是10厘米，它的面积是（）。
2、一个三角形，它的面积是156平方厘米，底是4厘米，高是（）厘米。
3、一个三角形，它的面积是200平方厘米，高是10厘米，底是（）厘米。
二、判断：1、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
（）2、直角三角形不可能是等腰三角形。
（）3、任何一个三角形的角中至少有两个锐角。
（）4、正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形都是轴对称图形。
（）5、在一个长方形中画一个最大的三角形，这个三角形一定是直角三角形。
（）6、三角形分成钝角三角形、等腰三角形、等边三角形。
（）7、两个大小完全一样的三角形可以剪拼成一个长方形。
（）8、等腰三角形的两腰相等，但两底角不相等。
（）9、等腰三角形只能是等腰锐角三角形、等腰直角三角形。
（）10、钝角三角形的两个锐角的角度和大于钝角。
（）11、既是等腰三角形又是直角三角形的三角形是不存在的。
（）三、选择：1、一个三角形只有两条腰相等，这个三角形一定是（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等边三角形2、如果一个三角形是轴对称图形，它可以是（）三角形，一定是（）三角形。
（A）锐角（B）直角（C）钝角（D）等腰（E）等边3、等边三角形按角分类是属于（）（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）锐角三角形4、锐角三角形有（）个锐角，直角三角形有（）个锐角，钝角三角形有（）个钝角，每个三角形至少有（）个锐角。
（A）1（B）2（C）3（D）45、面积相等的三角形一定是（）（A）等底等高（B）形状相同（C）底和高乘积相等（D）锐角三角形6、甲乙两个三角形如果底相等，而甲三角形的高是乙三角形高的2倍，那么甲三角形面积和乙三角形面积比较，面积（）（A）相等（B）甲是乙的2倍（C）乙是甲的2倍（D）比不出大小四、求面积（单位：厘米）（1）（2）（3）三角形面积的计算例题1、如图，已知长方形ABCD的面积是72平方厘米，AC＝6厘米，CE＝4厘米。
求：三角形BED的面积。
2、如图，正方形ABCE的边长是18厘米，FC＝2EF，求三角形FCD的面积。
训练1、如图，AD＝20厘米，AB＝12厘米，BC＝10厘米，求梯形ABCD的面积。
2、如图，已知：CD＝20厘米，AC＝10厘米，求：阴影部分的面积。
3、如图，已知：AB＝3.5cm，CD＝3.2cm，BC＝4.48cm，AE垂直于BC，CD垂直于AB，求：AE的长度。
4、如图，已知：四边形ABCD的面积使203平方厘米，DE垂直于AB，∠DBE＝45°，ED＝14cm。
求：梯形AECD的面积。
5、如图，已知等腰三角形ABC的面积是36平方厘米，D是AC中点， AE是高。
求：三角形DEC的面积。
6、如图，已知：三角形ACD的面积是1400平方厘米，AB＝20厘米，CD＝56厘米，求：三角形ADB的面积。
7、如图，AB=20厘米，AC＝18厘米，HD=8厘米，求阴影部分的面积。
8、如图，已知：AE=EF=FC=10厘米，AB垂直于BC，AB＝24厘米，BC＝24厘米，求三角形EBF的面积。
9、如图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。
10、如图，正方形的周长是60厘米，DF=2FC，求三角形DFE的面积。
平行四边形、梯形的认识例题1、填空：如图，平行四边形中，一组平行线之间的距离是8厘米，它的面积是（）平方厘米，周长是（）厘米。
2、求图中平行四边形的面积。
（单位：厘米）训练一、填空：1、两组对边分别平行的四边形叫做（）。
2、平行四边形的两组对边分别（）；两组对角分别（）；四个角的和是（）。
3、请把平行四边形与长方形、正方形的关系填入图中的集合圈。
4、平行四边形的面积＝（）×（）；用字母公式表示为S＝（）。
5、一个四边形，它的两组对边分别平行，而且其中一个角是直角，则这个四边形叫做（），也称为特殊的（）。
6、如图，三角形有（）个，平行四边形有（）个，梯形有（）个。
7、在梯形里，互相平行的一组对边分别叫梯形的（）与（）；不平行的一组对边叫梯形的（）。
8、如图，用字母来表示，梯形的上底是（），下底是（），高是（），EF 是梯形的（）。
9、梯形的面积公式是S＝（），当上底与下底相等时，梯形变成（）形，这时面积S=（）；当上底等于0时，梯形变成（）形，这时面积S＝（）。
10、梯形的上底是2.5厘米，下底是4.2厘米，高是3厘米。
求此梯形的面积，算式是（）。
二、判断：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（）2、平行四边形不容易变形。
（）3、长方形、正方形都是特殊的平行四边形。
（）4、平行四边形一定是长方形。
（）5、四条边相等的四边形一定是正方形。
（）6、梯形只有两条高。
（）7、梯形的上底一定比下底短。
（）8、有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（）9、在直角梯形中，一定有两个直角。
（）10、两个底角相等的梯形一定是等腰梯形。
（）三、选择：1、下列图形中，不是平行四边形的是（）（A）（B）（C）（D）（ E）2、下面四句话中，错误的是（）（A）平行四边形的四条边一定相等（B）平行四边形的对边平行且相等（C）长方形是特殊的平行四边形（D）平行四边形的对角一定相等3、长方形（）对称轴。
（A）没有（B）有两条（C）有四条（D）有无数条4、把一个用木条钉成的长方形，捏住对角拉成一个平行四边形，它的面积和原来的长方形相比，结果是（）。
（A）面积相等（B）长方形面积大（C）平行四边形面积大（D）无法确定5、平行四边形四个角的和是（）（A）90°（B）180°（C）270°（D）360°6、如图，阴影部分（）（A）是长方形（B）是平行四边形（C）是梯形（D）既不是长方形也不是梯形7、甲梯形的中位线与乙梯形的上、下底的和相等，高也相等，这两个梯形的面积（）（A）相等（B）甲＞乙（C）甲＜乙（D）无法比较8、如图，比较甲、乙两个三角形面积的大小，结果是（）（A）甲＞乙（B）甲＜乙（C）甲＝乙（D）无法比较9、梯形的上底扩大2倍，下底也扩大2倍，高不变，它的面积就（）（A）扩大2倍（B）扩大4倍（C）扩大8倍（D）不变平面图形的面积计算（1）例题1、如图，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）2、如图，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）训练1、如图，长方形ABCD中，AE=DE,DF=FC,EG是GF的2倍，AB＝6厘米，BC＝10厘米。
求阴影部分的面积。
2、如图，长方形AECD中，AD＝10厘米，CD＝12厘米，三角形CFB的面积是24平方厘米。
求阴影部分的面积。
3、如图，正方形ABCD中，BD分成三等份，没等份长是1厘米，AF平行EC。
求正方形ABCD 的面积。
4、如图，AB＝3厘米，DC＝1.8厘米，求阴影部分的面积。
5、如图，三角形ABC的面积是16平方厘米，它的面积是平行四边形CDEF的2倍，求三角形BEF的面积。
6、如图，正方形ABCD的周长是48厘米，AE＝2ED，CD=3DF，求阴影部分的面积。
7、如图，AECD是平行四边形，DC＝6厘米，AB＝10厘米，四边形AEFD的面积比三角形EFD 的面积多12平方厘米。
求三角形ABD的面积。
平面图形的面积计算（2）例题长方形ABCD中，AD＝10厘米，CD＝12厘米，S△CFB＝24平方厘米，求阴影部分的面积。
训练1、如图，长方形长和宽分别为30厘米和20厘米，A面积比B面积小360平方厘米，求A 的面积。