平面图形的面积

2 2
= 2∫
π
0
1 + a cos xdx ,
2 2
设椭圆的周长为 s 2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
π
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
= 2∫
0
π
(sin t )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
0
1 + a 2 cos 2 t dt
= 2∫
π
0
1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
0 x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 xy ′ = y 2 y′ 1 积分 ⇒ 2 ln | y |= ln | x | + c 1 = ⇒ y x
∴ y = cx , 其中c = ± e .
2
c1
9 ∴ y = x , 因为 f ( x ) 为单调函数 2 3 2x. 所以所求曲线为 y = 2
例 3
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
4
y ∈ [−2, 4] −
y2 dy = 18. A = ∫ y+4− −2 2
x = 1+sh dx =ch dx c c b x sh x b ∴ s =2∫ ch dx =2c c 0 0 c xb 1 x = 2csh (cch )′ =c⋅ sh c c c c
2x
ex +e−x chx = 2 ex −e−x shx = 2 (chx)′ =shx
直角坐标方程 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 ds = r2( ) +r′2( ) dθ ( x)
S2
思考题
o
x
设曲线 y = f ( x ) 过原点及点( 2,3) ，且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数， 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线， 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线 与 x 轴和曲线 y = f ( x ) 围成的面积是另一条平 行线 与 y 轴和 曲 线 y = f ( x ) 围 成 的 面积 的两 求曲线方程. 倍，求曲线方程
0 π 2 2 =a (1−cost)2 dt 0 π 2 2 4t 2 π
∫
y
= 4a
∫0 sin 2dt 2 π =8a ∫ sin4 udu 0 ∫
o
2 ax π
π 2 2 4 =16a sin udu 0
t (令 u= ) 2
=3 a2 π
（3）极坐标方程的情形
设由曲线 r = ϕ (θ ) 及射线 曲边扇形， θ 围成一曲边扇形 θ = α 、 = β 围成一曲边扇形， 求其面积．这里， 求其面积．这里，ϕ (θ ) 在[α , β ]上连续，且ϕ (θ ) ≥ 0 ． 上连续，
o
θ +dθ
θ =β
r = ϕ (θ )
dθ
θ =α θ
x
1 2 曲边扇形面积元素 dA= [ϕ(θ)] dθ 2 β1 曲边扇形的面积公式 A= ∫ [ϕ(θ)]2dθ. α 2
例 5 求心形线 r = a (1 + cos θ ) 所围平面图形的面积
(a > 0) .
解： 利用对称性知， 利用对称性知，所求面积 为上半部的两倍， 为上半部的两倍，
的弧长 . 解: ds =
dy 2 dx 2 (d t ) +(d t ) dt
一拱
y
o
2 2
2 ax π
= a (1−co t) +a sin t dt s t = a 2(1−co t)dt = 2asin dt s 2 π 2π t =2a−2cos t 2 =8a ∴ s = ∫ 2 sin dt a 0 20 2
3
y = x2
A1
⇒ (0,0), ( −2,4), ( 3,9).
于是所求面积 A = A1 + A2
0 3
A2
A = ∫− 2 ( x − 6 x − x )dx+ ∫0 ( x 2 − x 3 + 6 x )dx
3 2
253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． . 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． = 12
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
提高
1. 求曲线
所围图形的面积.
− 1
解： 显然 lnx ≤1, ln y ≤1
又 ln x =
e ≤ x ≤e , e ≤ y ≤e lnx , 1≤ x≤e
− 1
y e y = ex
xy =e
−lnx , e−1 ≤ x ≤1 lny , 1≤ y≤ e ln y = − 1 −lny , e ≤ y ≤1
定积分的应用
•几何应用 几何应用
求平面图形的面积 求平面曲线的弧长 求立体体积
平行截面面积已知的立体的体积 旋转体的体积
旋转曲面的面积
•应用举例 应用举例
一、平面图形的面积
（1）直角坐标情形 ）
y
y = f ( x)
y
y = f2 ( x) y = f1 ( x )
o
a
b x
o
a
b x
曲边梯形的面积
ds = (dx)2 +(dy)2
′2(t) +ψ′2(t) dt = ϕ
因此所求弧长
s =∫
β
α
′2(t) +ψ′2(t) dt ϕ
(3) 曲线弧由极坐标方程给出 曲线弧由极坐标方程给出:
令x =r( )cosθ , y =r( )sinθ , 则得 θ θ
弧长元素(弧微分 弧长元素 弧微分) : 弧微分
dθ
1 2 π (1 + cosθ ) 2 dθ A = 2⋅ a ∫ 2 0
=a
2
∫0
π
(1 + 2 cosθ + cos2 θ )dθ
3 2 = πa . 2
二、平面曲线的弧长
定义: 定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 λ→0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,则称 折线的长度趋向于一个确定的极限 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
例 10 证明正弦线 y = a sin x ( 0 ≤ x ≤ 2π ) 的弧长
x = cos t 等于椭圆 2 y = 1 + a sin t
证 设正弦线的弧长等于s1
2π
的周长. ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 的周长
s1 = ∫
0
1 + y′ dx = ∫
2
2π
0
1 + a cos xdx
− 1
1
o
1 e
e ≤ x ≤1 故在区域 −1 e ≤ y ≤1
面积为
xy = 1 e
1 e
1
ex x y= e
同理其它. 同理其它
∫1 e
1
dx+∫
e
1
dx
) 2. λ 为何值才能使 y = x(x −1 与 x 轴围成的面积等
于y = x(x −1 与 =λ及x轴 成 面 . ) x 围 的 积 y 解: y = x(x −1 与 x 轴所围面积 ) A 1 2 1 A = ∫ − x(x −1 dx = ) 1 1 0 λ 2 6 o A 1 x λ ≥0时 , 1 λ 1 3 1 2 1 A2 = ∫ x(x −1 dx = λ − λ + ) 1 3 2 分析曲线特点 6 由 1 = A2 , 得λ2(1λ −1) =0, 故 λ = 3 ,= x(x−1 A y λ2 =0) 1 3 2 2 1)2 + 1 1 =(x− 由图形的对称性 , λ3 = − , λ4 =1也合于所求. 2 4 2
s = lim∑ Mi−1Mi λ→ 0
i= 1
n
y Mi−1
A=M0
M i
B=Mn
x
并称此曲线弧为可求长的. 并称此曲线弧为可求长的
o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. 证明略) 定理 任意光滑曲线弧都是可求长的 (证明略)
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分 弧长元素 弧微分) : 弧微分
∫α x(t)dy(t) = ∫α x(t)⋅ y′(t) dt.
t = β → x = b, y = d
β
β
β
β
A= ∫ x dy =
c
y=y(t )
其中，t = α → x = a , y = c;
x2 y2 例如 椭圆 2 + 2 = 1 的参数方程 a b
x = a cos t y = b sin t t ∈ [0, 2π ].
3. 求曲线
与
所围成
图形的公共部分的面积 . π 解： r ( ) =0, 得 α = − 令2θ 4 所围区域的面积为
曲边梯形的面积
A = ∫a f ( x )dx
b
A = ∫a [ f 2 ( x ) − f1 ( x )]dx
b
例 1 计算由两条抛物线 y 2 = x 和 y = x 2 所围成的 图形的面积. 图形的面积
解 两曲线的交点
y = x − 6x y = x2 ⇒ (0,0) (1,1)
（2）参数方程情形
x = x(t) (α ≤ t ≤ β ). 设曲边梯形的曲边参数方程为 设曲边梯形的曲边参数方程为 y = y(t)
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公 式经过定积分的换元法得到： 式经过定积分的换元法得到：
A= ∫ ydx =
a
d
b
x= x=x(t )
∫α y(t)dx(t) = ∫α y(t)⋅ x′(t) dt;
故原结论成立. 故原结论成立
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长
注意恰当的选择积分变量有助于 注意恰当的选择积分变量有助于 选择积分变量 简化积分运算
注意: 弧微分: 弧微分 ds = (dx)2 +(d y)2 注意 求弧长时积分上 下限必须上大下小 下限必须上大下小
ds = [x′(θ)]2 +[y′(θ)]2 dθ
= r2(θ) +r′2(θ)d θ
因此所求弧长 s =
∫α
β
′2(θ) d r (θ) +r θ
2
两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例6. 两根电线杆之间的电线 由于其本身的重量 下垂 y 成悬链线 . 悬链线方程为 c x y =cch (−b ≤ x ≤b) c −b o bx 求这一段弧长 . 解:
(shx)′ = chx
例7. 求连续曲线段 解: ∵ cos x ≥ 0,
π
2
的弧长. 的弧长
π π
∴ − 2 ≤ x≤ 2
π
s = ∫ π 1+ y′ dx= 2∫0 1+( cos x) dx
2
2
2
−2
π
2
= 2∫
0
π x x 2cos dx= 2 2[2sin 2 ] 2 =4 0 2
例8. 计算摆线
2 2
例9. 求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0)相应于 0≤θ≤2π 一段的弧长 . 解: ds = r ( ) +r′ ( ) d θ θ θ
2 2
2πa
= a2θ2 +a2 dθ
o
x
=a 1+θ dθ 1+
2
r =a θ
π 2 0
∴ s = a∫
2π
0
1+θ2 dθ
θ 1+θ2 +1lnθ + 1+θ2 = a 2 2
y
ds
y= f (x)
ds = (dx)2 +(dy)2 ′2 dx = 1+ y
因此所求弧长
o a xx +dx b x
b
s =∫
b
a
= ∫ 1+ f ′2(x)dx 1+ y′ dx a
2
s = ∫ 1 + y′ 2 dx . 弧长
a
b
(2) 曲线弧由参数方程给出 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分 弧长元素 弧微分) : 弧微分
椭圆的面积
A = 4 ∫ y dx = 4 ∫π b sin td ( a cos t ) = π ab ,
a 0
0
A = 4 ∫ x dy = 4 2 a cos td ( b sin t ) = π ab . 0 ∫
0
b
π
2
例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: A= ∫ a(1−cost)⋅ a( −cost)dt 1
3
x= y
2
y= x
2
所求面积
1
2 3 x 1 A = ∫0 ( x − x )dx = x 2 − = . 3 0 3 3
3
2
1
例 2
计算由曲线 y = x − 6 x 和 y = x 所围成
3 2
的图形的面积. 的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x3 −6x
y = x − 6x 2 y = x
思考题解答
S 2 = 2S1
y
S1
y = f ( x)
( x, y)
S2
∵ S 2 = ∫0 f ( x )dx
x
o
x
S1 = xy − S 2 = xy − ∫0
x
x f ( x )dx
x
∴ ∫0 f ( x )dx = 2[ xy − ∫0 f ( x )dx]
⇒ 3∫ f ( x )dx = 2 xy,