大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算
《旋转体的体积》课件
旋转体的性质
深入探讨了旋转体的几何性质，如旋 转体的表面积、质心和转动惯量等。
计算实例
通过具体的计算实例，演示了如何运 用旋转体的体积公式解决实际问题。
未来研究方向和展望
深入研究旋转体的性质
随着几何学的发展，旋转体的 性质将得到更深入的研究，如 探讨旋转体的对称性、稳定性 等。
扩展旋转体的应用领域
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都 是统一的，避免因单位不统一导致的误 差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法 和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学 生的计算能力和对公式的 熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转 体常被用来建立数学模型，以描述和 分析各种现象。
02
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是 底面圆的半径，h是高。
圆锥体的体积计算公式
随着科技的进步，旋转体在工 程、物理、生物等领域的应用 将更加广泛，如探讨旋转体在 流体动力学、机械工程和生物 学等领域的应用。
探索新的计算方法
随着数学和计算机技术的发展 ，将会有新的计算方法出现， 以更高效、精确地计算旋转体 的体积和其他几何量。
加强与其他学科的交叉研 究
旋转体作为几何学的重要分支 ，将与其他学科如物理学、化 学、生物学等产生更多的交叉 研究，以推动科学的发展。
大学高等数学2平面图形的面积 旋转体的体积计算
体积元素为
dV
y 2 dx
r h
2
x
dx
o
P(h,r) x x+dx x
所求体积为
V
h 0
r h
x
2
dx
1 3
r
2h
◆旋转体的体积例题选举
2
2
2
例2 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋转构成旋转
体的体积。
A1
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转
y=f (x)
Vx
b y2dx
a
b f (x)2 dx
a
2、旋转轴为 y 轴（演示）
a
b
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c< d, g (y)>0)所围成的曲边
梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 d
Vy
d x2dy
c
d
c
g( y) 2 dy
b
A a f (x) dx
(a b)
2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为
b
A a f (x) g(x) dx
(a b)
3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x=φ (y) 所围平面图形的面积为
d
A c ( y) dy
(c d)
◆平面图形的面积例题选举
示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。
x 可选取适当坐标系，使旋转轴为 轴或 y 轴。 x 最基本的情形是曲边梯形绕 轴或 y 轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式
旋转体体积公式大全
旋转体体积公式大全大家好,小豆豆来为大家解答以上的问题。
旋转体体积公式大全，体积公式大全这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！1、不同形状的物体体积计算公式是不同的，下面是各种不同图形体积计算公式：正方体体积=a³ a为棱长。
2、2、长方体体积=长×宽×高。
3、3、圆柱体体积=πr²h 即底面积×高。
4、4、圆锥体体积=1/3πr²h 即1/3×底面积×高。
5、5、球体体积=4/3πr³。
6、扩展资料：体积的单位换算：1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸2、1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸3、1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方码4、1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米5、1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=立方毫米6、1 立方码=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=立方毫米7、1 立方尺 = 31.143蒲式耳(英) = 32.143 蒲式耳(美）8、1 加仑(美) =0. 立方米 =0. 加仑（英）长方体的体积 =长×宽×高正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 常规公式(s是底面积h 是高)圆柱公式(r代表底圆半径h代表圆柱体的高)棱柱公式(底面积x高)长方体公式(a、b、c分别表示长方体的长、宽、高)正方体公式用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为锥体体积常规公式(s是底面积h是高)圆锥体公式圆锥体体积=(s是底面积h是高)不同图形体积计算公式：长方体：（长方体体积=长×宽×高）/2、正方体：（正方体体积=棱长×棱长×棱长）2、圆柱（正圆）：【圆柱（正圆）体积=圆周率×(底半径×底半径)×高】3、立体图形的体积都可归纳为：（底面积×高）4、圆锥（正圆）：【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高/3】5、角锥：【角锥体积=底面积×高/3】6、球体：【球体体积=4/3(圆周率×半径的三次方)】7、棱台：注：v：体积；s1：上表面积；s2：下表面积；h：高。
高等数学Ⅱ(本科类)第2阶段练习题及答案
江南大学现代远程教育 第二阶段练习题一． 选择题(每题4分，共20分)1. 下列函数中在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是 ( B ).(a) ,[2,1]y x =- (b) cos ,[2,6]y x = (c)23,[2,1]y x =- (d)1,[2,6]3y x =- 2. 曲线 381y x x =-+ 的拐点是 A(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1) 3. 下列函数中, ( D ) 是 22x xe 的原函数.(a) 22x e(b)2212x e (c) 2234x e (d) 2214x e 4. 设()f x 为连续函数, 函数2()xf u du ⎰ 为 ( B ).(a) ()f x '的一个原函数 (b) ()f x 的一个原函数 (c) ()f x '的全体原函数 (d) ()f x 的全体原函数5. 已知函数()F x 是()f x 的一个原函数, 则98(7)f x dx -⎰等于( C ).(a) (4)(3)F F - (b) (5)(4)F F - (c) (2)(1)F F - (d)(3)(2)F F -二.填空题(每题4分，共28分)6. 函数 333y x x =--的单调区间为____(,1),[1,1],(1,)-∞--+∞_____7. 函数 333y x x=-- 的下凸区间为____(,0)-∞_____8.x xe dx -⎰=______21(tan ),(为任意实数)2x C C +_____. 9. 23()x f x dx '⎰=_________321（f(x )),(为任意实数)6C C +____.10.320083sinx xdx -⎰=____0______.11.22sin x dx ππ-⎰=___2____.12. 极限33ln(1)lim2xx t dt x →+⎰=___12_______.三. 解答题(满分52分)13. 求函数 3232132x y x x =-++ 的极小值。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
旋转体体积公式
在传统立体几何中，各种旋转形体的侧（表）面积和体积计算方法是各自独立的，不便学习记忆。
本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公式，简单，易学，好用。
一.基本概念1.质量空间图形（点，线，面，体）都可以看作是空间点的集合，一个具体的空间图形包含的点数是有限但不可数的。
我们把一个空间图形包含的全部点数，称为该图形的质量。
由于图形包含的点数不可数，所以要用间接方式来表示图形的质量。
我们可以用长度来表示线的质量，用面积来表示面的质量，用体积来表示体的质量。
这就像，一堆小米的粒数是有限但不可数的。
尽管这堆小米的粒数一定有一个确切的数字，但这个数字可能我们永远也不会知道，也不必知道，我们只需知道有几斗几升，或几斤几两就行了。
关于质量概念，存在着下面的事实：空间图形的质量，等于它各个部分的质量之和（质量公理）。
2.位量和重心构成空间图形的点，都有各自的位置。
在平面内，点的位置可以用它到参考直线的距离来表示。
我们把构成一个空间图形的所有点的位置总和，称为该图形的位量；把构成空间图形的所有点的平均位置，称为该图形的重心，并以它作为整个图形的位置。
显然，位量=重心*总点数。
用W表示位量，用Z表示重心，用P表示质量，上式可以写成.W=Z*P（1）关于位量概念，也存在着下面的事实：空间图形的位量，等于它各个部分的位量之和（位量公理）。
3.旋转基图旋转面和旋转体可统称为旋转形体。
用过旋转轴的平面截切后，得到一个轴对称形的截面图，我们取旋转轴一侧的半图作为旋转基图。
旋转面的基图是线，旋转体的基图是由闭合的线围成的面。
二.平面图形的位量和重心要使用万能公式，需先计算旋转基图的位量，笔者提供以下判断和计算平面图形的位量和重心的方法：1.形状规则图形的重心是它的几何中心。
如圆，正多边形，中心对称图形等。
2.轴对称图形的重心在它的对称轴上3.形状不规则的图形可以先分解成几个规则或简单的部分，分别求出各部分的位量后，再求总和。
常见旋转形体的基图，总可以分解成以下四种图形：（抱歉，因发帖数量不够，无法上传示意图）（1）直线段直线段的重心是它的中点（2）圆弧线如图1，位于位置参考线一侧且圆心在参考线上的圆弧线，其位量等于它在参考线上的投影长度与弧半径的乘积，即W=h*R。
-体积、旋转体的侧面积、一些物理量的计算
dV A(x)dx,
b
V a A(x)dx.
例 1．设有半径为R 的正圆柱体，被通过其底的直径
而与底面交成 的平面所截，求截得的圆柱楔的体积。
解：如图建立坐标系，
y tan
R
则底圆的方程为x2 y2 R2 。
x y
x[R, R] ，用过点x 且垂直于x 轴 o
x2
)dx
a
V
a a
b2 a2
(a
2
x2
)dx
ox
b
Байду номын сангаасax
x dx
2
b2 a2
a 0
(a2 x2)dx
2b2 a2
(a
2
x
1 3
x3
)
a 4 ab2. 03
例 3．已知圆台的上底半径为 r1 ，下底半径为r2 ，高为h ，
求它的体积。
解：如图选择坐标系，母线 AB 的方程为
y
0
r1
h r2
y
o a x xdx b x
设[x,x dx] 是[a,b] 上的代表小区间，相应的一小块立体
的体积记为V ,设 A(x) 在[x,x dx] 上的最小值和最大值分
别为m 和 M ，则 mdxV Mdx,
取近似
V A(x)dx,
其误差为 V A(x)dx (M m)dx ，
∵当dx0 时，(M m) 0 ，
则 dA 2f (x)dL ，
oa
故
A 2
b
f (x)
1 y2 dx.
a
y f (x) x x dx b x
[ 圆台的侧面积= 母线长 (上底半径 下底半径 ) 。在极限 状态，母线长是弧微元dL ；上底半径 下底半径 2f(x) 。]
高等数学2基本内容
高等数学2基本内容五．定积分及其应用
1.定积分的定义，性质
2.微积分基本定理及基本计算方法
3.定积分的换元积分和分部积分法(奇偶性）
4.无穷区间上的广义积分的计算
5．求平面图形的面积A，
求绕x轴或y轴旋转所形成的旋转体的体积六．多元函数微积分
1.偏导数与全微分的计算；
2.二阶偏导数计算。
3.多元复合函数（链式法则）与隐函数求导
4.求二元函数的极值（充分条件）
5.二重积分定义，性质及计算。
（直角坐标系）八．常微分方程
1.微分方程的阶，微分方程的通解
2.可分离变量微分方程的通解特解求法
3.一阶线性微分方程的解法（常数变易法）
4.线性微分方程解的结构
5.二阶常系数微分方程的通解特解求法。
旋转体体积与平面图形的形心和面积
旋转体体积与平面图形的形心和面积
倪华;田立新;曹子云;虞峥峥;蔡峰
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2013(16)4
【摘要】分析平面图形旋转体体积计算公式,建立旋转体体积与平面图形的形心及面积之间的关系,并给出鲁金定理的一个新证明.
【总页数】3页(P50-52)
【作者】倪华;田立新;曹子云;虞峥峥;蔡峰
【作者单位】江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013;江苏大学理学院,江苏镇江212013
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.讨论平面图形的形心与其绕坐标轴旋转的旋转体体积的关系 [J], 杨振;窦龚伟
2.平面图形绕斜轴旋转所成旋转体的体积与侧面积 [J], 吴旭亭
3.利用形心坐标公式计算旋转体的表面积和体积 [J], 吴雄华;裴永珍
4.平面图形的形心在旋转体体积计算中的应用 [J], 徐胜荣; 包西洋
5.利用形心坐标公式计算旋转体的表面积和体积 [J], 吴雄华;裴永珍
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旋转体的体积计算
练习
求 以 抛y物 4线 x2及y0所 围 成 的 图而形 垂 为
直于 y轴的所有截面2的 均矩 是形 高的 为立体 . 的
解 设截面面积为 A(y) y
A(y) 24y2
4 4y
V
404
4ydy
64 3
o
x
0
4
y2 2
1
2
0
222
例4 求星形线 x3y3a3(a0)绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
222
解 y3a3x3,
y2
2 a3
23 x3
x [ a ,a ]
-a
o
ax
由旋转体的体积公式，知：
Va[f(x)2]dx aa32x323dx 32a3.
a
a
105
4
例5 求圆 ( x a)2 y2 a2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
R
底半圆方程为
o
y
y R2x2
垂直于 x轴的截面为直角三角形 R
x2y2R2
x
截面面积 A(x) 1y ytan 1(R2x2)ta n
2
2
立体体积 V RRA(x)dx1 2 R R(R2x2)ta ndx
2R3 tan. 3
y
V d [(y)]2dy c dx2dy c
d
y x,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积共40页
所围成的图形称为曲边扇形。
其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：
dA 1r2 d （扇形面积近似替换）
2
由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为
A
1
2
r2
d
◆极坐标系下的平面图形的面积计算例题
例6 求双纽线 2a2cos2 (a0)所围平面图形的面积。
3a2
2
21cos4t1costdt
40
偶次方化倍角
3 a 2
21 co s4 t co stco s4 tco std t
...
3a 2
40
8
◆极坐标系下的平面图形的面积（演示） r r( )
如果平面曲线由极坐标给出，如右图：
由 , , rr
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 yx3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6dx
0
1 7
2 yx3 , y 1 , x 0 1
绕x轴旋转一周
Vx
1dx
0
1x6dx
0
6 7
y=x3 x1
y=x3
x
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
U b f (x)dx, 这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称 a
为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
高数定积分求旋转体体积公式
高数定积分求旋转体体积公式旋转体是高中数学中的一个重要概念，它可以通过旋转平面图形得到。
在高等数学中，我们可以通过定积分来求解旋转体的体积，这就是高数定积分求旋转体体积公式。
本文将详细介绍这个公式的推导和应用。
一、旋转体的定义和性质旋转体是由一个平面图形绕着某一直线旋转所形成的立体图形。
旋转轴可以是平行于底面的任意一条直线。
下面我们来介绍一下旋转体的性质。
1. 旋转体的底面是一个平面图形，它可以是任意形状的图形。
2. 旋转体的高等于旋转轴与底面平面的距离。
3. 旋转体的侧面是由旋转轴与底面平面间的所有线段绕着旋转轴旋转所形成的。
4. 旋转体的体积可以通过积分求解。
二、旋转体的体积公式旋转体的体积公式是通过定积分求解得到的。
下面我们来介绍一下这个公式的推导过程。
1. 以x轴为例，假设我们要求解函数y=f(x)在区间[a,b]上绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积。
2. 首先我们将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
3. 我们选取一个小区间[xi,xi+1]，并在该区间内任取一点xi*，然后将该小区间绕x轴旋转，形成一个圆柱体，该圆柱体的底面积为π[f(xi*)]^2，高为Δx。
4. 由于小区间的数量是无限的，所以我们可以将所有的圆柱体叠加起来，形成一个旋转体。
该旋转体的体积为：V = limΔx→0 ∑i=1n π[f(xi*)]^2Δx5. 通过极限运算，我们得到了旋转体的体积公式：V = ∫a^b π[f(x)]^2dx6. 如果旋转轴不是x轴，而是y轴，那么我们可以通过类似的方法推导出旋转体的体积公式：V = ∫c^d π[g(y)]^2dy其中，g(y)表示旋转体截面在y轴上的函数。
三、旋转体的应用旋转体的体积公式在物理学、工程学、建筑学等领域有着广泛的应用。
下面我们来介绍一下旋转体的一些应用。
1. 求解物体的密度通过测量物体的体积和质量，我们可以求解物体的密度。
7-1 平面图形的面积与旋转体的体积(2)
旋转体的体积为
V a [ f ( x )]2 dx
b
o
x dx
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y )、直线 y c 、y d 及 y 轴所围成
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体, 体积为
V [ ( y )]2 dy
旋转体的侧面面积
例1(020307) 设直线 x a, x 2, y 0 与抛物 线y 2 x 所围成图形的区域为 S , y 2 x 与直 0 线x a, y 0 围成的图形区域为 S , 并且 a 2. （1）求 S 绕 x轴旋转而成的旋转体的体 积 V , 求 S , 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体 积V , (2) 试确定a 的值, 使V + V 达到最大, 并求出最大值;
解 取底圆圆心为 坐标原点， h o x 过圆心互相垂直的 R x 直径做 x 轴、y 轴， 并使 x轴与正劈锥体 的顶平行. 这时，底圆方程为 x y R 过 x 轴上任意一点 x 作垂直于 x 轴的平面 截正劈锥体得等腰三角形.
2 2 2
y
y
h
o
x
R
x
该三角形的底长为
则面积为
2 R2 x 2 ,
c d
y
x ( y)
o
x
例1
连接坐标原点O 及点 P ( h, r )的直
线、直线 x h及 x 轴围成一个直角三 角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底半 径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆锥体
r 解 直线 OP 方程为 y x o h 取积分变量为 x ， x [0, h]
A ( x ) 表示过点 x 且垂直
高数定积分求旋转体体积公式
高数定积分求旋转体体积公式旋转体是高中数学中的一个重要概念，也是高数中一个重要的应用。
当我们需要计算旋转体的体积时，就需要用到定积分。
本文将以定积分为基础，介绍如何求解旋转体的体积公式。
一、什么是旋转体？旋转体是指一个平面图形绕某条直线旋转所形成的立体图形。
旋转轴可以是平面图形内的一条线段，也可以是平面图形外的一条直线。
二、如何求解旋转体的体积？对于平面图形绕某条直线旋转所形成的旋转体，我们可以通过定积分来求解其体积。
具体方法如下：1、确定旋转轴和平面图形首先需要确定平面图形和旋转轴，平面图形可以是任何形状，旋转轴可以是平面图形内的一条线段，也可以是平面图形外的一条直线。
2、对平面图形进行分割将平面图形分割成无数个小的元素，每个元素都是一个小的扇形。
每个扇形的面积为dS，半径为r，弧长为ds。
3、求解每个扇形的体积对于每个扇形，其体积为dV=πrdS。
将所有扇形的体积相加，即可得到旋转体的体积。
4、对所有扇形的体积进行积分将所有扇形的体积进行积分，即可得到旋转体的体积公式：V=∫a^b πrdS其中a和b为平面图形的起始和结束位置，r为旋转轴到平面图形上某点的距离，dS为平面图形上某点的面积元素。
三、应用实例下面以一个简单的例子来说明如何使用定积分求解旋转体的体积。
例：将y=x在x轴上旋转一周所形成的旋转体的体积。
解：首先确定平面图形为y=x，旋转轴为x轴。
将平面图形分割成无数个小的元素，每个元素都是一个小的扇形。
每个扇形的面积为dS=2πxdx，半径为r=x，弧长为ds=2πxdx。
对于每个扇形，其体积为dV=πrdS=πx(2πxdx)=2πxdx。
将所有扇形的体积相加，即可得到旋转体的体积：V=∫0^1 2πxdx=2π/4=π/2因此，将y=x在x轴上旋转一周所形成的旋转体的体积为π/2。
四、总结通过上述例子，我们可以看出定积分在求解旋转体的体积中的重要性。
定积分不仅可以用来求解旋转体的体积，还可以用来求解其他几何图形的体积、表面积等。
旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
旋转体体积和侧面积的计算公式
旋转体体积和侧面积的计算公式
一，旋转体体积
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
二，旋转体侧面积
旋转体侧面积公式是：2π∫（1，t）（t-x）/x^2dx+2π∫（t，2）（x-t）/x^2dx。
1、根据定积分公式可得：2π∫(1,t)(t-x)/x^2dx+2π∫(t,2)(x-t)/x^2dx。
2、一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
3、表面积是指所有立体图形的所能触摸到的面积之和。
球体表面积计算公式为：S=4πR^2。
4、定积分就是求函数f（X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
旋转体的体积试题解析——高数常考题目
P
解 直线 OP方程为
r
o
r y= x h
h
x
取积分变量为 x ， x ∈ [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x + dx ]，
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的 体积为
r x dx dV = π h
圆锥体的体积
2
y
P
r
o
h
x
V =∫
h
0
2 r x πhr x dx πr π . = 2 = 3 h 3 0 h
2π
π
− π ∫ a 2 ( t − sin t ) 2 ⋅ a sin tdt
0
π
= πa
3
∫0
2π
( t − sin t ) 2 sin tdt = 6 π 3 a 3 .
例 7 求由曲线 y = 4 − x 2 及 y = 0 所围成的图形 绕直线 x = 3 旋转构成旋转体的体积. 旋转构成旋转体的体积
O
y
y=f (x)
a
b
x
旋转体的体积怎样求？
一般地， 一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x ) 、 直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y = f ( x)
x ∈ [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x + dx ]，
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体． 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 旋转轴．
高等数学旋转体体积公式
高等数学旋转体体积公式旋转体是数学中一个重要的概念，它是由一个平面图形绕着某一条轴线旋转而形成的立体图形。
在计算旋转体的体积时，我们需要用到高等数学中的旋转体体积公式。
本文将从定义、推导和应用三个方面来介绍这一公式。
一、定义旋转体体积公式是指计算由一个平面图形绕着某一条轴线旋转而形成的立体图形的体积的公式。
在计算过程中，我们需要用到微积分中的积分概念。
二、推导假设我们有一个平面图形，它绕着x轴旋转而形成了一个立体图形。
我们可以将这个立体图形分成无数个薄片，每个薄片的厚度为dx。
由于这个立体图形是由平面图形绕着x轴旋转而成的，所以每个薄片的面积可以表示为平面图形在x轴处的截面积，即S(x)。
那么，这个立体图形的体积可以表示为：V = ∫S(x)dx其中，∫表示积分符号，S(x)表示平面图形在x轴处的截面积，dx表示每个薄片的厚度。
对于一个圆形，它的截面积可以表示为S(x) = πr^2，其中r表示圆的半径。
将这个式子代入上面的公式中，我们可以得到：V = ∫πr^2dx由于圆的半径r是一个关于x的函数，所以我们需要将它表示为x的函数。
对于一个圆形，它的半径可以表示为r = f(x)，其中f(x)是一个关于x的函数。
将这个式子代入上面的公式中，我们可以得到：V = ∫π[f(x)]^2dx这就是旋转体体积公式的一般形式。
对于其他形状的平面图形，我们也可以通过类似的方法来推导出它们的旋转体体积公式。
三、应用旋转体体积公式在实际应用中非常广泛。
例如，在工程设计中，我们需要计算各种形状的零件的体积，就可以使用旋转体体积公式。
在物理学中，我们需要计算各种形状的物体的质量和密度，也可以使用旋转体体积公式。
此外，在数学教学中，旋转体体积公式也是一个非常重要的概念，它可以帮助学生更好地理解微积分的概念和应用。
总之，旋转体体积公式是高等数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们计算各种形状的旋转体的体积，应用广泛，是数学教学和实际应用中不可或缺的一部分。
(完整)高等数学(二)模拟题(1)
山东大学网络教育专升本入学考试高等数学（二）模拟题 (1)一、 选择题：本大题5个小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1、函数291)(xx f -=的定义域是（）A 、（-3，3）B 、[-3，3 ]C 、（3,3-，）D 、（0，3）2、x1sin lim x ∞→=（ ） A. 0 B. 1 C.∞ D. 不存在 3、设4)3)(2)1)-x -(x -(x -x(x f(x)=则)2('f =（ ）A 、0B 、1C 、2D 、4 4、设函数x f(x)=，则)1(f '等于 ( )A.1B.－1C.21D.－21 5、曲线3x y =在点)1,1(M 处的切线方程是 ( ) A. 023=-+x y B. 03231=-+x y C.023=+-x y D. 043=--x y二、填空题：本大题共15个小题，共15个空，每空3分，共45分。
把答案填在题中横线上。
1、设1)1(2--=+x x x f ，则=)(x f2、判断函数的奇偶性：cosx )(3x x f = 是 3、=-+∞→531002lim 33x xx x 4、13+=x y 的反函数是5、已知32)tan(lim 0=→xkx x ，则k =6、=++∞→xx x x )12(lim 7、设x x x y -=ln ，则y '＝8、曲线22xy =在)2,1(处的切线方程是9、设x x y sin =，则''y =10、=-=dy x y 则设,)1(43 11、不定积分⎰=+dx x 12112、不定积分⎰dx x xe =13、定积分dx x⎰-+11211＝ 14、定积分=⎰exdx 1ln15、⎰-+⋅=x dt t t x 0321)(φ设，)('x φ则=10个小题，每小题6分， 60分。
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为所求量U的元素。 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素
f(x)dx 和积分区间[a ,b]。
◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）
1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为
◆定积分的元素法
复习曲边梯形的面积计算方法（演示）
定积分的元素法分析（演示）
定积分的元素法（演示） 一般地：若所求量U与变量的变化区间[a , b]有关，且关于
[a , b]具有可加性，在[a , b]中的任意一个小区间[x , x+dx]上 找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式
4
t
cos2
t
dt
3a2
2 sin2 2t sin2 t dt
0
3a2
2
2 1 cos 4t 1 cos t dt
40
偶次方化倍角
3a2
2 1 cos 4t
cos t
cos 4t cos t dt
...
3a2
40
8
◆旋转体的体积
旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 旋转一周所得的立体（演示）。
一周而成的立体的体积。
解 如图所示
Vy V1 V2
1 0
x12dy
1
0
x2
2
dy
1
ydy
1 y4dy 3
0
0
10
V1
V2
返回
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x3, x 1, y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6
dx
1
0
7
2 y x3, y 1, x 0
1
绕x轴旋转一周
y
Vy
1
0
3 y 2 dy 3
5
5 y x3, x 1, x轴
绕y轴旋转一周
1
Vy
0
3 y 2 dy 2
5
y
y=x3 1
y=x3 1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
2
绕y轴旋转一周
1
2
2
2
2
Vy
0
y dy 1
8 3
（5） y x2 , y x, y 2x
A 12x x dx 2 2x x2 dx
0
1
7 6
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（6） y 2x2 , y x2 , y 1
1
A ( y
y )dy 2 (1
2)
0
2
3
2
或
A
2 2
2x2 x2
c
x=g (y)
◆旋转体的体积计算公式
例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围 成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高 为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。
解 如图所示 x (0, h) 直线OP的方程为 y r x
y
h
任取 x (0, h) ，形成区间 x, x dx
（1）y x, y x
1
A
x x dx 1
0
6
（2）y e, y ex , x 0 A 1 e ex dx 1 0
（3）
轴 A 1 3 2x x2 dx 32
3
3
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（4）
A 3 2x 3 x2 dx 1
例1 计算由 y2 x 及 y x2 所围成的图形的面积。
例2 计算由 y2 2x 和 y x 4 所围成的图形的面积。
解 A A1 A2
2 0
2x (
2x ) dx
8 2
2x (x 4) dx
18
例3 求椭圆
x2 a2
y2 b2
1 的面积。
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
dx
1 2
1 x2
dx
0
2
22
一般地：如右图中的阴影部分的面积为
A
d
c
f
y
g
y
dy
练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。
（7）
y2 42 x
2
法一：以 y 作积分变量
1
2
A
2
0
2 (2
y2 ) (1 4
y2 4
)
dy
42 3
法二：以 x 作积分变量
2
y2 4 x 1
Vx
1
dx
0
1
x
6dx
6
0
7
y=x3 x1
y=x3
x
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
绕x轴旋转一周
V 2
1
x2 1 2 dx 22
2 1
0
2 x4dx
32 2 3 2
0
15
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
4 y x3, y 1, y 轴
1
绕y轴旋转一周
b
A a f (x) dx
(a b)
2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为
b
A a f (x) g(x) dx
(a b)
3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x=φ (y) 所围平面图形的面积为
d
A c ( y) dy
(c d)
◆平面图形的面积例题选举
体积元素为
dV
y 2 dx
r h
2
x
dxLeabharlann oP(h,r) x x+dx x
所求体积为
V
h 0
r h
x
2
dx
1 3
r
2h
◆旋转体的体积例题选举
2
2
2
例2 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋转构成旋转
体的体积。
A1
例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转
示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。
x 可选取适当坐标系，使旋转轴为 轴或 y 轴。 x 最基本的情形是曲边梯形绕 轴或 y 轴旋转的情形。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示）
由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a< b, f (x)>0)所围成的曲边
梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
A
2
3 2 1
4x
1 dx
2 3
4
2
2
x
dx
42 3
例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。
星形线
x a cos3 t
y
a
sin3
t
2
2
2
即 x3 y3 a3
A1
解由图形的对称性可得
a
A 4A1 4 0 ydx
4
0
a
sin3
t
d
a cos3 t
2
12a2
0
sin
y=f (x)
Vx
b y2dx
a
b f (x)2 dx
a
2、旋转轴为 y 轴（演示）
a
b
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c< d, g (y)>0)所围成的曲边
梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 d
Vy
d x2dy
c
d
c
g( y) 2 dy