第七节 旋转体的体积计算讲解

A(x )
求这个立体的体积 V . 用微元法：
o a x x+dx b x
取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间
[x , x+d x] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，
? 体积微元为 dV ? A( x )dx ,
从而 V ?
b
A ( x )dx .
0
绕 y轴旋转体的体积 , 选y为积分变量
? ? V y ?
1
?(
0
4 y ) 2 dy ? ?
1
4 ydy?
4?
y2 ?
1
?
2?
0
2
0
2
2
2
例4 求星形线 x 3 ? y3 ? a3 (a ? 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
2
2
2
解 ? y3 ? a3 ? x3,
?
y2
?
? ??
a
2 3
3
同理得椭圆绕 y 轴旋转所成的旋转体的
? 体积为
V ??
b ?b
a2 b2
(b 2
?
y 2 )dy
?
4 ?a 2b.
3
练习
求摆线
? x ? a(t ? sin t)
? ?
y
?
a(1
?
cos t )
的一拱与
y
= 0所围成的
图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积 .
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y
? V x ?
?
x
2 3
3
? ??
x ? [? a, a]
-a
o
?
?
a
x
由旋转体的体积公式， 知：
? ? V ?
a
?
[
f
(
x
)]2 dx
?
a
?
??
a
2 3
?
x
2 3
3
??
dx
?
32 ? a3 .
?a
?a ?
?
105
??? 4
例5 求圆 ( x ? a )2 ? y 2 ? a 2 (0 ? a ? b) 绕 y 轴旋转一周所
? ? 旋转体的体积为
V?
b
?[
f ( x )]2 dx ?
b ? y 2 dx
a
a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ? ? ( y)、直线 y ? c 、 y ? d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
? V ? d ? [? ( y )]2 dy c ? ? d ? x 2 dy c
a
(
?a
x
2 1
?
x
2 2
)dy
? ? ?
a
[(b ?
a2 ? y2 )2 ? (b ?
a 2 ? y2 )2 ]dy
?a
? ? a
? 4?b
a 2 ? y2dy ? 8b?
a a 2 ? y2 dy ? 2a 2b? 2
?a
0
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于 过点 x =a, x=b y 且垂直于 x 轴的两平面之间， 用垂直于 x 轴的任一平面截 此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数，
第七节 旋转体的体积计算
? 内容提要 1.旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积 .
教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。
1.旋转体的体积
旋转体 就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y ? f ( x )、直
0
练习
求以抛物线 y ? 4 ? x 2及y ? 0所围成的图形为底，而垂
直于 y轴的所有截面均是高为 2的矩形的立体的体积 .
解 设截面面积为 A( y) y
d
x ? ? (y)
c
o
x
例1. 求由曲线 y ? x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积 .
解 如图, 选x为积分变量
y
y? x
由旋转体的体积公式 ,得
? ? V x ?
1
?(
0
x ) 2 dx
??
1
xdx
0
o
x
?
?
x2
1
?
?
2 0
2
例2. 求由曲线 x 2 ? 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
y
成的旋转体（环体）的体积
C
a
解 右半圆弧方程为 x ? x1(y) ? b? a2 ? y2
b
OA
Bx
左半圆弧方程为 x ? x2( y) ? b ? a2 ? y2
体积微元
-a
D
dV
?
? [ x1( y)]2 dy ? ? [ x2( y)]2 dy
?
?
[
x
2 1
(
y
)
?
x
2 2
(
y
)]dy
? 环体体积为 V ? ?
2
2
? 立体体积
V
?
R
?? R
A( x )dx
?
1 2
R (R 2 ? x 2 ) tan ? dx
?R
? 2 R 3 tan ? . 3
小结
[ ? ? V ?
b
?
f ( x )]2 dx
?
b? y 2dx
a
a
y
d
y
y ? f (x)
o
x x ? dx
x ? ? (y)
c
x
o
x
[ ? ? V ?
d
2? a
?
y 2dx
0
o
2?a x
? ? ? 2? a2 (1 ? cos t)2 d[a(t ? sin t )] 0
? ? ? 2? a2 (1 ? cos t)2 ?a(1 ? cos t)dt 0
? ? ? a3
2?
(1 ?
3cos t
?
3 cos2 t
?
cos3 t )dt
?
5? 2a3.
a
例6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角? ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
?R
底半圆方程为
o?
y
y ? R2 ? x2
?
垂直于 x 轴的截面为直角三角形 R
x2 ? y2 ? R2
x
截面面积 A( x ) ? 1 y ? y tan ? ? 1 (R 2 ? x 2 ) tan ?
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 . y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积 , (2, 1) 1
选x为积分变量
? ? V x
? ? ?1 2 ?2 ? 2 ? ( x 2 ) 2 dx 04
? ? 2? ?
16
2 0
x
4 dy
?
2?
?
? 16
x5 ?
5
2
?
o
8?
5
y2 ? 4x
Βιβλιοθήκη Baidu
x
?
?
( y)]2 dy?
d?x 2dy
c
c
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
求由椭圆
x2 a2
?
y2 b2
?
1, 绕x轴旋转所成旋转体的体
积.
解
上半椭圆的方程为：
y2
?
b2 a2
(a2
?
x2)
? 由公式知：V ? ? a y2dx ?a
? ? ?
a ?a
b2 a2
(a2
?
x 2 )dx
?
4 ? ab 2 .
线 x ? a 、 x ? b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x
y
y ? f (x)
x ? [ a,b]
在[ a, b]上任取小区
o
x x ? dx
x
间[ x , x ? dx ]，
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV ? ? [ f ( x )]2 dx