旋转体的体积计算
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y
V d [(y)]2dy c dx2dy c
d
x(y)
c
o
x
例1. 求由曲线 y x,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x)2dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
2 0
2
例2. 求由曲线 x2 4y,直线y = 1及y轴所围成的图形
小结
Vb[f(x)2 ]dx by2dx
a
a
y
d
y
yf(x)
o
x xdx x
x(y)
c
o
x
V d[(y)]2dy dx2dy
c
c
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
求由椭 ax22 圆 by22 1,绕x轴旋转所成旋积转 . 体 解 上 半 椭 圆 的y方 2 ab程 22(a为 2x： 2)
由 公 式 V知 a： y2dx a
aaa b2 2(a2x2)dx
4ab2
3
.
同理得椭圆y轴 绕旋转所成的旋转体的
体积为 V
b b
a2ຫໍສະໝຸດ Baidub2
(b2
y2)dy
4a2b.
3
练习
求摆线 yxaa((1t csiontt)s)的一拱与 y = 0所围成的
图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积 y
y
成的旋转体（环体）的体积
C
a
解 右半圆弧方程为 xx1(y)ba2y2
b
左半圆弧方程为 xx2(y)ba2y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
d V [x 1 (y )2 d ] y [ x 2 (y )2 d ]y [x 1 2(y)x 2 2(y)d ] y
环体体积为 Vaa(x12x2 2)dy
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直
线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x
y
yf(x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区
a [b (a 2 y 2 ) 2 ( b a 2 y 2 ) 2 ] dy a
4ba a2y2dy8ba a2y2dy2a2b2
a
0
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于 过点x=a, x=b y 且垂直于 x 轴的两平面之间， 用垂直于 x 轴的任一平面截 此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数，
A(x)
求这个立体的体积V . 用微元法：
o a x x+dx b x
取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间
[x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，
体积微元d为VA(x)d,x从而
b
V A(x)dx .
a
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
R
底半圆方程为
o
y
y R2x2
垂直于 x轴的截面为直角三角形 R
x2y2R2
x
截面面积 A(x) 1y ytan 1(R2x2)ta n
2
2
立体体积 V RRA(x)dx1 2 R R(R2x2)ta ndx
2R3 tan. 3
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
V x1220 2(x 42)2dx
2 2x4d
160
y
2 16
x5 5
2
o
8
5
y2 4x
x
0
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
1
Vy 0(
4y)2dy
1
4ydy
o
间[ x, x dx]，
x xdx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [f(x)2 ]dx
旋转体的体积为 Vb[f(x)2]dx by2dx
a
a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
练习
求 以 抛y物 4线 x2及y0所 围 成 的 图而形 垂 为
直于 y轴的所有截面2的 均矩 是形 高的 为立体 . 的
解 设截面面积为 A(y) y
A(y) 24y2
4 4y
V
404
4ydy
64 3
o
x
0
4
y2 2
1
2
0
222
例4 求星形线 x3y3a3(a0)绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
222
解 y3a3x3,
y2
2 a3
23 x3
x [ a ,a ]
-a
o
ax
由旋转体的体积公式，知：
Va[f(x)2]dx aa32x323dx 32a3.
a
a
105
4
例5 求圆 ( x a)2 y2 a2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
2a
Vx0
y2dx
o
2 a 2 ( 1 ct) o 2 d [ a s ( t sti )n ] 0
2a x
2 a 2 ( 1 ct) o 2 a ( 1 s ct) o ds t 0
a 32 ( 1 3 ct o 3 c2 s t o c3 s t o ) d 5 s t2a3. 0
V d [(y)]2dy c dx2dy c
d
x(y)
c
o
x
例1. 求由曲线 y x,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x)2dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
2 0
2
例2. 求由曲线 x2 4y,直线y = 1及y轴所围成的图形
小结
Vb[f(x)2 ]dx by2dx
a
a
y
d
y
yf(x)
o
x xdx x
x(y)
c
o
x
V d[(y)]2dy dx2dy
c
c
作业:P118. 1(1)(3)，2
练习
求由椭 ax22 圆 by22 1,绕x轴旋转所成旋积转 . 体 解 上 半 椭 圆 的y方 2 ab程 22(a为 2x： 2)
由 公 式 V知 a： y2dx a
aaa b2 2(a2x2)dx
4ab2
3
.
同理得椭圆y轴 绕旋转所成的旋转体的
体积为 V
b b
a2ຫໍສະໝຸດ Baidub2
(b2
y2)dy
4a2b.
3
练习
求摆线 yxaa((1t csiontt)s)的一拱与 y = 0所围成的
图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积 y
y
成的旋转体（环体）的体积
C
a
解 右半圆弧方程为 xx1(y)ba2y2
b
左半圆弧方程为 xx2(y)ba2y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
d V [x 1 (y )2 d ] y [ x 2 (y )2 d ]y [x 1 2(y)x 2 2(y)d ] y
环体体积为 Vaa(x12x2 2)dy
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直
线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x
y
yf(x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区
a [b (a 2 y 2 ) 2 ( b a 2 y 2 ) 2 ] dy a
4ba a2y2dy8ba a2y2dy2a2b2
a
0
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设一立体位于 过点x=a, x=b y 且垂直于 x 轴的两平面之间， 用垂直于 x 轴的任一平面截 此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数，
A(x)
求这个立体的体积V . 用微元法：
o a x x+dx b x
取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间
[x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，
体积微元d为VA(x)d,x从而
b
V A(x)dx .
a
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
R
底半圆方程为
o
y
y R2x2
垂直于 x轴的截面为直角三角形 R
x2y2R2
x
截面面积 A(x) 1y ytan 1(R2x2)ta n
2
2
立体体积 V RRA(x)dx1 2 R R(R2x2)ta ndx
2R3 tan. 3
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
V x1220 2(x 42)2dx
2 2x4d
160
y
2 16
x5 5
2
o
8
5
y2 4x
x
0
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
1
Vy 0(
4y)2dy
1
4ydy
o
间[ x, x dx]，
x xdx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [f(x)2 ]dx
旋转体的体积为 Vb[f(x)2]dx by2dx
a
a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
练习
求 以 抛y物 4线 x2及y0所 围 成 的 图而形 垂 为
直于 y轴的所有截面2的 均矩 是形 高的 为立体 . 的
解 设截面面积为 A(y) y
A(y) 24y2
4 4y
V
404
4ydy
64 3
o
x
0
4
y2 2
1
2
0
222
例4 求星形线 x3y3a3(a0)绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
222
解 y3a3x3,
y2
2 a3
23 x3
x [ a ,a ]
-a
o
ax
由旋转体的体积公式，知：
Va[f(x)2]dx aa32x323dx 32a3.
a
a
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4
例5 求圆 ( x a)2 y2 a2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
2a
Vx0
y2dx
o
2 a 2 ( 1 ct) o 2 d [ a s ( t sti )n ] 0
2a x
2 a 2 ( 1 ct) o 2 a ( 1 s ct) o ds t 0
a 32 ( 1 3 ct o 3 c2 s t o c3 s t o ) d 5 s t2a3. 0