第七节_____旋转体的体积计算
旋转体的表面积与体积
思考：边长为1的正方形以其一边所在直线旋转 一周，所得几何体的表面积和体积？
圆锥的表面积和体积
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 S底 S侧 r rl r (r l )
2
V圆锥 1 1 Sh r 2 h 3 3
O
思考：边长为2的正方形以其一对角线所在直 线旋转一周，所得
(r上l r下l )
O’
V圆台
1 （S上 3
S上S下 S下）h
O
思考：已知如图所示圆台的 三视图，求其表面积和体积。
圆柱、圆台、圆锥的侧面积和体积的内在联系
S圆台侧面积 (r上l r下l )
r上 0
r上 r下
S圆柱侧面积 2r下l
圆台的表面积和体积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ． 圆台的侧面展开图是扇环
O’
S圆台表面积 S上 S下 S侧
2 2
O
r上 r下 (r上l r下l )
V圆台 1 （S上 3 S上S下 S下）h
圆台的表面积和体积
S圆台表面积 r上 r
组合体：多面体和旋转 体
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
h'
h'
表面积就是各侧面面积和底面面积之和．
V柱体 Sh
V台体
V锥体
1 Sh 3
1 （S上 3
S上S下 S下）h
圆柱的表面积和体积
r O
O 圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 S上 S下 S侧
V圆柱
2r 2rl 2r (r l ) 2 Sh r h
《运动会素描》
《经济数学-微积分》旋转体的体积
旋转体定义
一个平面图形绕着它所在的平面 内的一条定直线旋转所形成的曲 面围成的几何体称为旋转体。
旋转体分类
根据旋转轴的不同，旋转体可以 分为绕x轴旋转的旋转体和绕y轴 旋转的旋转体。
体积计算公式推导
01
圆柱体体积公式推导
02
圆锥体体积公式推导
03
圆球体体积公式推导
圆柱体可以看作是一个矩形绕其一边 旋转而成的，因此其体积可以通过矩 形的面积与旋转的高度的乘积来计算 。
多重积分概念与性质
了解多重积分的概念和性质，如二重积分、三重积分等。
在旋转体体积求解中应用
对于复杂形状的旋转体，可以通过多重积分进行求解，如球体、椭 球体等。
求解步骤与技巧
掌握多重积分的求解步骤和技巧，如选择合适的坐标系、确定积分 顺序等。
数值近似解法介绍
01
数值近似解法概念
当无法直接通过积分公式求解旋 转体体积时，可以采用数值近似 解法进行估算。
04 积分法在求解旋转体体积 中应用
定积分求解旋转体体积基本原理
旋转体体积的定积分表示
通过截面面积函数对定区间进行积分，得到旋转体体积的公式。
几何意义与物理应用
定积分求解旋转体体积的方法在几何和物理领域有广泛应用，如计 算圆柱、圆锥等体积。
求解步骤与技巧
掌握定积分的求解步骤和技巧，如确定积分区间、选择合适的积分 变量等。
物理应用
旋转体体积的计算公式在物理学中也 有广泛应用，例如在计算物体的质量 、密度、浮力等方面都需要用到体积 的计算公式。
常见问题及解决方法
问题1
如何判断一个几何体是否为旋转体？
解决方法
观察几何体的形状和特征，看其是否符合旋转体的定义和 性质。
初中数学立体几何的旋转体积计算知识点总结
初中数学立体几何的旋转体积计算知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，而旋转体积计算是立体几何的一个重要内容。
通过对不同图形的旋转，我们可以求得旋转体的体积。
本文将总结初中数学中关于旋转体积计算的知识点。
1. 旋转体的概念旋转体是由一个平面图形沿着一条旋转线旋转一周形成的立体图形。
旋转线可以是图形的边，也可以是通过图形某个顶点的直线。
2. 旋转体的表示方法旋转体可以用公式进行表示。
当图形绕横轴旋转时，旋转体的体积公式为V=π∫[a,b] f(x)^2 dx。
当图形绕纵轴旋转时，旋转体的体积公式为V=π∫[a,b] x^2 dy。
3. 旋转体积的计算方法具体计算旋转体积时需要根据图形的形状和旋转轴的位置进行分析。
（1）圆的旋转体积计算当一个圆绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆柱体。
旋转体积的计算公式为V=πr^2h，其中r为圆的半径，h为圆柱的高度。
（2）正方形的旋转体积计算当一个正方形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆柱体。
旋转体积的计算公式为V=πa^2h，其中a为正方形的边长，h为圆柱的高度。
（3）矩形的旋转体积计算当一个矩形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆柱体。
旋转体积的计算公式为V=πab^2，其中a为矩形的长，b为矩形的宽。
（4）三角形的旋转体积计算当一个三角形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆锥体。
旋转体积的计算公式为V=1/3 πr^2h，其中r为三角形与旋转轴的距离，h为三角形的高。
（5）梯形的旋转体积计算当一个梯形绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个圆锥体。
旋转体积的计算公式为V=1/3 πh(a^2+ab+b^2)，其中h为梯形的高，a和b分别为上底和下底的边长。
4. 部分旋转体的体积计算有时，我们需要计算旋转体中部分的体积。
（1）半球的体积计算半球是一个球体的一半，当半球绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个球冠。
半球的体积计算公式为V=2/3 πr^3。
（2）圆锥的体积计算当一个圆锥绕横轴旋转时，形成的旋转体是一个锥体。
旋转体求体积的方法
旋转体求体积的方法旋转体求体积是数学中一个重要的计算方法，它可以应用于各种实际问题的建模和解决。
首先，我们需要了解旋转体的概念。
旋转体是通过将一个曲线或者一条线段沿着某个轴线旋转一周而形成的立体图形。
常见的例子有圆锥和圆柱体。
接下来，我们介绍一种常见的方法——圆盘法。
该方法适用于当旋转体的截面是一个平行于底面的圆盘时。
以一个简单的圆柱体为例，假设它的底面半径为r，高度为h。
我们可以将圆柱体沿着垂直于底面的轴线旋转一周，形成一个立体图形。
使用圆盘法，我们可以将整个旋转体分解为无数个很小的圆盘，这些圆盘的半径随着高度的增加而变化。
每个圆盘的面积可以通过πr²计算得出，其中π是一个常数。
要计算旋转体的体积，我们需要对所有圆盘的面积进行求和。
由于每个圆盘的厚度很小，我们可以用ΔV代表一个很小的圆盘的体积。
根据圆盘的面积和厚度，可以得到ΔV = πr²Δh，其中Δh是圆盘的厚度。
接下来，我们对所有的圆盘体积进行求和，即将每个ΔV加起来。
这可以通过求极限的方法得到，即将Δh趋近于0时的极限。
最后的结果即为旋转体的体积，可以表示为V = ∫(0到h) πr²dh。
除了圆盘法，还有其他方法可以求解旋转体的体积。
例如，壳法和柱面法。
这些方法在不同的情况下有其适用性，可以根据实际问题的需要选择合适的方法。
总结起来，旋转体求体积是通过将立体图形沿着某个轴线旋转一周，并将其分解为无数个很小的圆盘，利用圆盘的面积和厚度进行求和，最后求得的体积。
通过应用不同的方法，我们可以解决各种实际问题，例如计算容器的容量、建模自然现象等。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，并进行数学推导和计算，以得到准确的解答。
希望这些内容对你理解旋转体求体积的方法有所帮助。
旋转体求体积
1
取横坐标 为积分变的体积近似于以 为 a, b a, b x, x dx 底半径， 为高的扁圆柱体的体积，即体积微元为 f x dx
x
于是旋转体的体积为
dV [ f ( x)]2 dx
b V [ f ( x)]2 dx a
旋转体求体积
杨小洁
旋转体求 体积
概念
方法
应用
一、概念
旋转体是指一个平面图形绕该平面内的一条直线旋 转一周而成的立体，这条直线称为旋转体的旋转轴．如 圆柱体、圆锥体和球等都是旋转体. 这条直线称为旋转体的旋转轴.
二、方法
旋转一周而成(图1)，试计算它的体积．
y f 直线 ( x)
及a, 轴围成的曲边梯形绕轴 x x b x
同理,由连续曲线 与直线 x y，及 轴围 成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为(图2)
y c, y d
y
d
V [ ( y )]2 dy c
2
三、应用
求 y sin ，x x 以及 轴旋转 x 0 轴所围成的图形绕 所成立体的体积.
解：由微元法可知： 则
x
dv sin xdx
2
1 cos2x v sin xdx dx 0 0 2 2
2
2
高数求旋转体体积公式
高数求旋转体体积公式一、引言在数学领域，特别是高等数学中，我们经常会遇到一些形状不规则的物体。
这些物体通常由曲线或直线围成，而它们的体积可以通过特定的方法进行计算。
其中一种常见的方法是使用旋转体体积公式。
本文将详细介绍如何利用这个公式来求解旋转体的体积。
二、旋转体体积公式概述旋转体体积公式是指，一个平面图形绕着它的某一轴线旋转所形成的立体体积的计算公式。
其基本形式为V = ∫πr²θh dθ，其中V代表体积，r是底圆半径，θ是角度变量，h是高，dθ表示对角度的微分。
积分是对所有角度的求和。
三、具体应用及实例1. 圆柱体：当旋转体围绕其中心垂直于平面的轴线旋转时，得到的几何体通常是圆柱体。
我们可以将该问题简化为求出圆的周长（2πr）乘以高度（h）。
这种情况下，面积积分可以视为周长的函数，因此可以用定积分的概念进行处理。
2. 圆锥体：如果旋转体是从一个斜面或锥形开始，然后围绕其中一个边旋转，那么得到的几何体就是一个圆锥。
在这种情况下，可以使用旋转体体积公式结合三角形的面积来进行计算。
3. 其他形状：除了上述两种情况外，还可以通过旋转更复杂的图形来形成各种不同的旋转体。
例如，可以将多边形作为母体，然后将其各边按照一定顺序依次围绕一条轴线旋转，得到新的几何形体。
此时需要用到积分的知识以及相应的技巧来解决实际问题。
四、进一步讨论与扩展1. 更复杂的旋转体：除了上述的圆柱和圆锥，还可以通过围绕不同的轴线旋转更复杂的图形来形成其他类型的旋转体。
例如，可以通过将多边形围绕其边界上的点进行旋转来得到旋转星体等。
这些问题的解决需要更深入的理解积分以及形状与体积之间的关系。
2. 自适应算法：在实际应用中，可能需要求解涉及大量数据或复杂几何形状的问题。
此时，可以使用一些自适应的算法来优化计算效率。
例如，可以根据问题的具体情况选择合适的坐标系，或者使用分治等方法将大问题分解为小问题来解决。
3. 与其他方法的结合：旋转体体积公式并不是wei一的立体体积计算方法。
旋转体的体积【创意版】.ppt
1
0
3 y 2 dy 3
5
5 y x3, x 1, x轴
绕y轴旋转一周
1
Vy
0
3 y 2 dy 2
5
y
.,
y=x3 1
y=x3
9
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
绕x轴旋转一周
V 2
1
x2 1 2 dx 22
2 1
0
2 x4dx
32 2 3 2
0
1 y x3, x 1, y 0
绕x轴旋转一周
x3, y 1, x 0
绕x轴旋转一周
y=x3 x1
1
Vx
1
dx
0
1
x6dx
6
0
7
.,
y=x3
x
1
8
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
4 y x3, y 1, y 轴
1
绕y轴旋转一周
y
Vy
d x2dy
c
d
c
g( y) 2 dy
.,
c
x=g 5(y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，
直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
计算圆锥的体积。
y P(h,r)
解 ：如图所示
直线OP的方程为 y r x ，
旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 线叫做旋转轴。
可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴
最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。
立体形的旋转与体积变化
立体形的旋转与体积变化在几何学中，旋转体是指通过将一个边在平面上旋转一周而形成的一个立体形状。
旋转体具有许多有趣的性质，其中包括体积的变化。
一、旋转体的定义与性质旋转体可以通过横截面的旋转来构造。
横截面是指垂直于轴的截面，而轴则是旋转体旋转时的中心线。
旋转体可以有许多不同形状的横截面，例如圆、矩形、椭圆等。
旋转体一般以V表示，而其体积可以通过以下公式计算：V = π∫(f(x))^2 dx其中，f(x)代表旋转体横截面在轴上的距离。
二、旋转体的体积计算计算旋转体的体积需要使用积分来求取。
通过将旋转体的横截面划分成无限个微小的圆环，然后将这些微小的圆环的体积相加，最终得到旋转体的体积。
举例而言，考虑一个将y=f(x)曲线绕x轴旋转一周而形成的旋转体。
我们可以将该曲线划分成无限多个微小的线段，并以这些线段为半径，计算每个微小的圆环的体积。
将这些微小的圆环体积相加，并进行积分运算，即可得到旋转体的体积。
三、案例分析：圆柱的体积计算作为一个典型的旋转体，圆柱的体积计算可以用来说明旋转体的体积变化。
考虑一个半径为r，高度为h的圆柱，将其绕底边上的一个点旋转一周形成旋转体。
首先，我们需要确定旋转体的横截面形状。
在这个例子中，圆柱的横截面是一个圆。
根据前面提到的公式，我们可以得到圆柱的体积公式：V = π(r^2)h这个公式表明，圆柱的体积与底面积和高度成正比。
当我们改变圆柱的半径或高度时，其体积也会相应地发生变化。
四、应用示例：喷水池的体积计算通过理解旋转体的体积计算方法，我们可以将其应用于实际问题中。
以一个喷水池为例，该喷水池的形状可以用一个曲线方程来描述。
将这个曲线绕x轴旋转一周，可以得到喷水池的旋转体。
我们可以根据所给的曲线方程计算旋转体的体积。
使用数值或符号计算方法，可以得到精确的结果。
通过调整喷水池的形状，例如改变曲线方程中的参数或增加曲线的点数，可以导致旋转体的体积发生相应变化。
五、结论旋转体是通过将一个边在平面上旋转一周而形成的立体形状。
高等数学5.5.2.旋转体的体积
y b
y b a2 x2 a
V
a
y 2dx
a
a a
b2 a2
(a 2x 2)dx
b2 a2
[a
2x
1 3
x
3 ]aa
4 3
a
b
2．
O
ax
二、平行截面面积为已知的立体 的体积
设立体在x轴的投影区间为[a，b]， 过点x 且垂直于x轴的平
面与立体相截，已知截面面积为A(x)， 则体积元素为A(x)dx ，
§5.5.2 体 积
一、旋转体的体积
旋转体的体积元素、旋转体的体积
二、平行截面面积为已知的立体的体积
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周 而成的立体．这直线叫做旋转轴．
常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体．
旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、ab及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体．
．
a
Oa
V (x) x
bx
例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体．计算这圆锥体的体积．
解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 y r x ． h
体积元素为
dV ( r x )2dx
h
y
yrx
x
3
]0h
1 3
h
r
2
．
y
y rx
h
r
O
hx
例2
计算由椭圆
x2 a2
高等数学(一元微积分)02-7.10定积分应用之旋转体的体积
a,b 内积分，得旋转体体积为
V b f 2 xdx ． a
(5.2.6)
类似，由曲线 x g( y) ，直线 y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，
所得旋转体(如图 5.2.13)的体积为
V d g 2 ( y)dy ． c
(5.2.7)
图 5.2.12
图 5.2.13
a b
Vx
a a
a2
x2
2
dx
2b 2 a2
a
(a
2
x 2 )dx
0
2b 2 a2
a
2
x
x3 3
a
0
4 ab 2 ． 3
图 5.2.14
图 5.2.15
a 绕 y 轴旋转的椭球体，可看作右半椭圆 x
b2 y 2 与 y 轴围成的平面图
b
形绕 y 轴旋转而成(如图 5.2.15 所示)，取 y 为积分变量，y [b,b] ，由公式(5．2．7)
所求椭球体体积为
b a
Vy
b b
b2
y2
2
dy
2a 2 b2
b (b 2 y 2 )dy
0
2a 2 b2
b
2
y
y3 3
b
0
4 a 2b ． 3
7.10 旋转体的体积
设旋转体是由连续曲线 y f (x) 和直线 x a, x b (a b) 及 x 轴所围成的曲
边梯形绕 x 轴旋转而成(如图 5.2.12)，我们来求它的体积V ．这是已知平行截面面 积求立体体积的特殊情况，这时截面面积 A(x) 是圆面积．
在区间 a,b 上点 x 处垂直 x 轴截面面积为 A(x) f 2 x ，在 x 的变化区间
旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
旋转体体积的两个公式的证明及应用
旋转体体积的两个公式的证明及应用
旋转体体积公式是求解各种异形物体体积的重要方法。
旋转体体积公式有两种：轴对称体积公式和非轴对称体积公式。
轴对称体积公式：在一条直线围绕转动，其轮廓加以延伸或缩小形成一个旋转体，其定义公式为：V=∫2πrdz，其中r为轮廓函数，z 为转动轴的转动距离。
非轴对称体积公式：在空间某个特定轴上围绕转动，对应物体轮廓线不能参数化直线或曲线时，它的定义公式可表示为：V=∫∫SdA，其中S是轮廓，dA是断面积元。
轴对称体积公式和非轴对称体积公式的证明：设f（x）为体积的函数，它的定义域为全实数，根据Stoke定理，原函数f（x）的体积等于積分區域的积分值，可得上述两个公式，这就是轴对称体积公式和非轴对称体积公式的证明。
应用：轴对称体积公式和非轴对称体积公式可用来求解各种异形物体的体积，如圆柱体和圆锥体之类。
此外，也可以用来计算机构体积、飞行器体积、水体中不同空间体积等。
旋转体的体积积分公式
旋转体的体积积分公式
旋转体的体积积分公式是用来计算旋转体体积的公式。
旋转体是由一个平面图形绕着某一条轴线旋转而成的立体图形，例如圆锥、圆柱、球等。
对于一个平面图形，其在平面上的面积可以用二重积分来计算。
而对于一个旋转体，其体积可以用一种特殊的积分形式来计算，称为旋转体的体积积分。
旋转体的体积积分公式如下：
V = ∫a^b πf(x)^2dx
其中，a和b是平面图形在x轴上的两个端点，f(x)是平面图形在x轴上的函数表达式。
在计算旋转体的体积时，我们需要先找到旋转轴，并确定旋转体的底面形状和大小。
然后，根据上述公式进行积分，即可得到旋转体的体积。
需要注意的是，积分区间要根据旋转轴的位置和底面形状进行选择。
如果旋转轴在底面上，则积分区间为底面的x坐标范围；如果旋转轴垂直于底面，则积分区间为底面的y坐标范围。
总之，旋转体的体积积分公式是一个简单而又实用的工具，可以帮助我们快速计算各种旋转体的体积。
- 1 -。
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环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
4b
a2 y2dy 8b a a2 y2 dy 2a2b 2
a
0
2.平行截 过点x=a, x=b y 且垂直于 x 轴的两平面之间，
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t
3 cos2
t
cos3
t )dt
52a3 .
0
练习
求以抛物 线y 4 x2及y 0所围成的 图形为底而，垂
直于y轴的所有截面 均是高为2的矩形的立体 的体积.
解 设截面面积为 A( y) y
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx b y2dx
a
a
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、 y d 及 y 轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
A( x)
用垂直于 x 轴的任一平面截
此立体所得的截面积 A(x)
是 x 的已知函数，
求这个立体的体积V . 用微元法：
o a x x+dx b x
取 x 为积分变量，在区间 [a, b] 上任取一小区间 [x , x+dx] ，过其端点作垂直 x 轴的平面，
作体积微元：以A(x) 为底，dx 为高作柱体，
体积为V
b b
a2 b2
(b2
y2 )dy
4 a2b.
3
练习
求摆线
x a(t sin t)
y
a(1
cos t )
的一拱与
y
= 0所围成的
图形绕 x 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积 y
Vx
2a
y 2dx
0
o
2a x
2 a2(1 cos t)2d[a(t sin t)] 0
线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区
o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积 为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
第七节 旋转体的体积计算
• 内容提要 1.旋转体的体积； 2.平行截面面积为已知的立体的体积.
教学要求 熟练掌握应用元素法求体积的方法。
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直
2
2
立体体积
V
R
R
A( x)dx
1 2
R (R2 x2 ) tan dx
R
2 R3 tan. 3
小结
V b [ f ( x)]2 dx by 2dx
a
a
y
d
y
y f (x)
o
x x dx
x ( y) c
x
o
x
V d [( y)]2dy d x 2dy
c
c
作业:P118. 1(1)(3)，2
体积微元为dV A( x)dx,
从而
V
b
A( x)dx.
a
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立
体的体积.
解 取坐标系如图
R
底半圆方程为
o
y
y R2 x2
垂直于 x轴的截面为直角三角形 R
x2 y2 R2
x
截面面积 A( x) 1 y y tan 1 (R2 x2 )tan
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
2 16
2 x 4dy 2
0
16
x5 5
2
o
8 5
y2 4x
x
0
绕 y轴旋转体的体积, 选y为积分变量
Vy
1
(
0
4 y )2 dy
1
4 ydy 4
y2
1
2
0
2
0
2
2
2
例4 求星形线 x3 y3 a3 (a 0) 绕 x 轴旋转
构成旋转体的体.积
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
a
2
a3
2
x3
3
dx
32
a3 .
a
a
105
练习
求 由 椭 圆x2 a2
y2 b2
1,绕x轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体积.
解
上 半 椭 圆 的 方 程 为 ：y2
b2 a2
(a2
x2)
由公式知：V a y2dx a
a a
b a
2 2
(a
2
x2 )dx
4 ab2 .
3
同 理 得 椭 圆 绕y轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的
4
例5 求圆 ( x a)2 y2 a2 (0 a b) 绕 y 轴旋转一周所
y
成的旋转体（环体）的体积
C
a
解 右半圆弧方程为 x x1( y) b a2 y2
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV [ x1( y)]2 dy [ x2( y)]2 dy [ x12 ( y) x22 ( y)]dy
A( y) 2 4 y 2
4 4 y
V 404
4
y dy
64 3
o
x
o
x
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.