计算旋转体体积的“柱壳法”-课件(PPT·精·选)
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旋转体的体积【创意版】.ppt
1
0
3 y 2 dy 3
5
5 y x3, x 1, x轴
绕y轴旋转一周
1
Vy
0
3 y 2 dy 2
5
y
.,
y=x3 1
y=x3
9
1
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
绕x轴旋转一周
V 2
1
x2 1 2 dx 22
2 1
0
2 x4dx
32 2 3 2
0
1 y x3, x 1, y 0
绕x轴旋转一周
x3, y 1, x 0
绕x轴旋转一周
y=x3 x1
1
Vx
1
dx
0
1
x6dx
6
0
7
.,
y=x3
x
1
8
◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
4 y x3, y 1, y 轴
1
绕y轴旋转一周
y
Vy
d x2dy
c
d
c
g( y) 2 dy
.,
c
x=g 5(y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，
直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
计算圆锥的体积。
y P(h,r)
解 ：如图所示
直线OP的方程为 y r x ，
旋转体的定义：旋转体就是由一个平面图形饶 这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 线叫做旋转轴。
可选取适当坐标系，使旋转轴为x轴或y轴
最基本的情形是曲边梯形绕x轴或y轴旋转的情形。
计算旋转体体积的“柱壳法”通用课件
处理复杂边界时可能遇到困难
对于具有复杂边界的旋转体，柱壳法可能需要更精细的柱壳划分， 增加了计算的复杂度和工作量。
对计算机性能要求较高
由于柱壳法需要进行大量的数值积分和数据处理，因此对计算机的 性能要求较高，特别是内存和处理器性能。
适用场合分析
适用于各种旋转体的体积计算
柱壳法适用于各种旋转体的体积计算，如球体、圆柱体、圆锥体等。
积，最后求和得到整个旋转体的体积。
柱壳法适用于各种形状的旋转体，如圆环、圆筒、球 等，具有广泛的适用性。
掌握柱壳法对于解决实际问题、提高数学建模能力以 及理解物理现象等方面都具有重要意义。
课程目标
01
掌握柱壳法的原理和计算步骤。
02 能够运用柱壳法计算不同形状旋转体的体 积。
03
理解柱壳法在解决实际问题中的应用，提 高数学建模能力。
微分方程求解
在一些偏微分方程的求解中，柱壳法可以作为一种数值方法，用于近似求解方程的解。
几何形状的体积和表面积计算
柱壳法可以用于计算一些复杂几何形状的体积和表面积，如旋转抛物面、旋转双曲面等 。
在工程领域的应用
机械设计
在机械设计中，柱壳法可以用于分ห้องสมุดไป่ตู้旋转机械的 动态特性和稳定性，如旋转轴、轴承和齿轮等。
计算旋转体体积的“柱壳法”通用课件
目录 CONTENTS
• 引言 • “柱壳法”基本原理 • “柱壳法”应用实例 • “柱壳法”与其他方法的比较 • “柱壳法”的优缺点分析 • “柱壳法”的扩展应用
01
引言
主题介绍
柱壳法是一种计算旋转体体积的有效方法，通过将旋 转体分割成一系列柱壳，然后分别计算每个柱壳的体
流体动力学分析
在流体动力学中，柱壳法可以用 于分析流体在旋转体中的流动情 况，如离心泵和涡轮机的性能分 析。
对于具有复杂边界的旋转体，柱壳法可能需要更精细的柱壳划分， 增加了计算的复杂度和工作量。
对计算机性能要求较高
由于柱壳法需要进行大量的数值积分和数据处理，因此对计算机的 性能要求较高，特别是内存和处理器性能。
适用场合分析
适用于各种旋转体的体积计算
柱壳法适用于各种旋转体的体积计算，如球体、圆柱体、圆锥体等。
积，最后求和得到整个旋转体的体积。
柱壳法适用于各种形状的旋转体，如圆环、圆筒、球 等，具有广泛的适用性。
掌握柱壳法对于解决实际问题、提高数学建模能力以 及理解物理现象等方面都具有重要意义。
课程目标
01
掌握柱壳法的原理和计算步骤。
02 能够运用柱壳法计算不同形状旋转体的体 积。
03
理解柱壳法在解决实际问题中的应用，提 高数学建模能力。
微分方程求解
在一些偏微分方程的求解中，柱壳法可以作为一种数值方法，用于近似求解方程的解。
几何形状的体积和表面积计算
柱壳法可以用于计算一些复杂几何形状的体积和表面积，如旋转抛物面、旋转双曲面等 。
在工程领域的应用
机械设计
在机械设计中，柱壳法可以用于分ห้องสมุดไป่ตู้旋转机械的 动态特性和稳定性，如旋转轴、轴承和齿轮等。
计算旋转体体积的“柱壳法”通用课件
目录 CONTENTS
• 引言 • “柱壳法”基本原理 • “柱壳法”应用实例 • “柱壳法”与其他方法的比较 • “柱壳法”的优缺点分析 • “柱壳法”的扩展应用
01
引言
主题介绍
柱壳法是一种计算旋转体体积的有效方法，通过将旋 转体分割成一系列柱壳，然后分别计算每个柱壳的体
流体动力学分析
在流体动力学中，柱壳法可以用 于分析流体在旋转体中的流动情 况，如离心泵和涡轮机的性能分 析。
旋转体的体积课件
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
精选课件
6
例3
计算由椭圆 x2 a2
y2 b2
1 所成的图形绕x轴旋转而成的
旋转体(旋转椭球体)的体积．
解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 yb a2 x2 a
及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．
体积元素为 dV y 2dx ，
于是所求旋转椭球体的体积为
2 0
；
4、 a3 [2 sh2]. 4
二、 (克) .
三、 32 a3. 105
四、7 2a 3 .
五、22a2b . 六、1 h[2(ab AB) aB bA]. 6
七、a 0 , b A.
精选课件
22
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
d
x(y)
c
o
x
精选课件
8
例 4 求摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的 一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、 y 轴旋
转构成旋转体的体积.
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 y(x)
Vx
2ay2(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 轴 旋 转 而 成 的 立 体 的 体积 v _________；
精选课件
19
二、有一铁铸件，它是由抛物线y 1 x2 、 10
y 1 x2 1与直线y 10围成的图形，绕 y 轴 旋 10
转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘
旋转体的体积计算(课堂PPT)
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c d x 2dy c
d
x ( y) c
o
x
3
例1. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
1
Vx
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
o
x
x2
1
22
0
4
例2. 求由曲线 x 2 4 y,直线y = 1及y轴所围成的图形
分别绕 x 轴, y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
y
解 如图, 绕 x 轴旋转体的体积,
选x为积分变量
(2, 1)
1
Vx
12 2 2 ( x 2 )2 dx 04
b
左半圆弧方程为 x x2( y) b a2 y2 O A
Bx
体积微元
-a
D
dV
[ x1(
y)]2 dy
[ x2 (
y)]2 dy
[ x12 (
y)
x
2 2
(
y)]dy
环体体积为 V
a
(
a
x12
x22
)dy
a
[(b
a2 y2 )2 (b
a2 y2 )2 ]dy
a
a
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
-a
o
a
x
由旋转体的体积公式，知：
V
a [ f ( x)]2dx
工科数学分析教程上册第四版最新精品课件-8.3 旋转体体积的计算
例6. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性
y
o
R x授课内容源自前节知识回顾 直角坐标系 平行截面面积可求的立体图形 极坐标系 本节小结
§8.3 旋转体体积的计算 极坐标
§8.3 旋转体体积的计算
综合例题
§8.3 旋转体体积的计算
综合例题
授课内容
前节知识回顾 直角坐标系 平行截面面积可求的立体图形 极坐标系 本节小结
本节小结
旋转体体积的计算直角坐标旋转体体积的计算直角坐标旋转体体积的计算直角坐标旋转体体积的计算直角坐标轴围成的封闭图形绕直线故旋转体体积为在第一象限直角坐标旋转体体积的计算直角坐标系授课内容本节小结前节知识回顾平行截面面积可求的立体图形极坐标系平行截面面积可求的立体图形平行截面面积可求的立体体积一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心垂直于x轴的截面是直角三角形其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体旋转体体积的计算直角坐标系授课内容本节小结前节知识回顾平行截面面积可求的立体图形极坐标系极坐标旋转体体积的计算综合例题旋转体体积的计算综合例题旋转体体积的计算直角坐标系授课内容本节小结前节知识回顾平行截面面积可求的立体图形极坐标系本节小结本节小结
§8.3 旋转体体积的计算
绕其他直线旋转时类似可求。 绕x=a旋转:
直角坐标
绕y=b旋转:
绕y=x旋转:
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性
y
o
R x授课内容源自前节知识回顾 直角坐标系 平行截面面积可求的立体图形 极坐标系 本节小结
§8.3 旋转体体积的计算 极坐标
§8.3 旋转体体积的计算
综合例题
§8.3 旋转体体积的计算
综合例题
授课内容
前节知识回顾 直角坐标系 平行截面面积可求的立体图形 极坐标系 本节小结
本节小结
旋转体体积的计算直角坐标旋转体体积的计算直角坐标旋转体体积的计算直角坐标旋转体体积的计算直角坐标轴围成的封闭图形绕直线故旋转体体积为在第一象限直角坐标旋转体体积的计算直角坐标系授课内容本节小结前节知识回顾平行截面面积可求的立体图形极坐标系平行截面面积可求的立体图形平行截面面积可求的立体体积一平面经过半径为r的圆柱体的底圆中心垂直于x轴的截面是直角三角形其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体旋转体体积的计算直角坐标系授课内容本节小结前节知识回顾平行截面面积可求的立体图形极坐标系极坐标旋转体体积的计算综合例题旋转体体积的计算综合例题旋转体体积的计算直角坐标系授课内容本节小结前节知识回顾平行截面面积可求的立体图形极坐标系本节小结本节小结
§8.3 旋转体体积的计算
绕其他直线旋转时类似可求。 绕x=a旋转:
直角坐标
绕y=b旋转:
绕y=x旋转:
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
§8.3 旋转体体积的计算 直角坐标
旋转体体积计算说课精选PPT课件
Vx
2V1 2
1
[
x2
( x3 )2
]dx
0
8
21
yx
y x3
1
第16页/共21页
课堂练习2
Find the volume of the region whose boundaries are y=x2 and x=y2 is rotated about the x-axis.
第17页/共21页
作业布置
• AP 微积分课本320页第22-26题
思考
能否通过今天所学内容，求解将曲边梯形绕y轴旋转之后形成旋转体体积。
第18页/共21页
5、小结
圆盘法
n
V Vi
i1
b[ f ( x )]2dx
a
旋转体的体积
垫圈法
V
b {[ R( x)]2 a
[r ( x)]2 }dx
第19页/共21页
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
S
lim
n
n i 1
ba n
f
i
b
f (x)dx
a
Back
第8页/共21页
2、问题引入，分组讨论
案例1：探究球体体积如何计算
V y2x
V r [ f ( x)]2dx r
= r y2dx r (r 2 x2 )dx
r
r
= 4r3
3
第9页/共21页
b[R(x)]2dx
a
b[r(x)]2dx
a
b{[R(x)]2 [r(x)]2}dx
a
第15页/共21页
【课件】旋转体的表面积与体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
第八章立体几何初步
回顾所学的有关公式
圆面积公式：
圆周长公式：
扇形面积公式：
扇形弧长公式：
r
思考?思考?
一、圆柱,圆锥,圆台的的表面积
与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.
探究新知
[解析] 设上底面半径为 ，则下底面半径 ，高 ，如图.
由题意得， ，解得 . ， .
练习
3.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）A． B． C． D．
B
圆锥
D
例1
(2)若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
【解析】 如图，因为圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，所以OB＝2 cm，PB＝4 cm，所以圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．
名称
图形
侧面积公式
表面积公式
圆柱
S圆柱＝2πrl
S圆柱＝2πr(r＋l)
圆锥
S圆锥＝πrl
S圆锥＝πr(r＋l)
圆台
S圆台＝π(r′+r)l
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
探究新知
(1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是( )A．40π2 B．64π2C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π
12π
8π
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A. 81π B. 100π C. 168π D. 169π
第八章立体几何初步
回顾所学的有关公式
圆面积公式：
圆周长公式：
扇形面积公式：
扇形弧长公式：
r
思考?思考?
一、圆柱,圆锥,圆台的的表面积
与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.
探究新知
[解析] 设上底面半径为 ，则下底面半径 ，高 ，如图.
由题意得， ，解得 . ， .
练习
3.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）A． B． C． D．
B
圆锥
D
例1
(2)若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
【解析】 如图，因为圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，所以OB＝2 cm，PB＝4 cm，所以圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．
名称
图形
侧面积公式
表面积公式
圆柱
S圆柱＝2πrl
S圆柱＝2πr(r＋l)
圆锥
S圆锥＝πrl
S圆锥＝πr(r＋l)
圆台
S圆台＝π(r′+r)l
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
探究新知
(1)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱的侧面，则这个圆柱(包含上、下底面)的表面积是( )A．40π2 B．64π2C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π
12π
8π
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( )A. 81π B. 100π C. 168π D. 169π