高一数学必修一重点方法讲解

高中必修一一些重点

函数值域求法十一种 (2)

复合函数 (9)

一、复合函数的概念 (9)

二、求复合函数的定义域： (9)

复合函数单调性相关定理 (10)

函数奇偶性的判定方法 (10)

指数函数： (12)

幂函数的图像与性质 (15)

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数

x 1y =的值域。

解：∵0x ≠ ∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞Y

例2. 求函数x 3y -=的值域。 解：∵0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=

∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

22

x 1x x 1y +++=的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程

0x )1y (x )1y (2=-+-

（1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 2

1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：

0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈

∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥∆，仅保证关于x 的方程：

0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，

即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣

⎡23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤

0)x 2(x x y ≥-+=∴

21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：]

2,0[22

222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54

x 3++值域。 解：由原函数式可得：

3y 5y 64x --=

则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝

⎛∞-53,

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数

1e 1e y x x +-=的值域。 解：由原函数式可得：

1y 1y e x -+= ∵0e x > ∴01y 1y >-+

解得：1y 1<<-

故所求函数的值域为)1,1(-

例8. 求函数

3x sin x

cos y -=

的值域。 解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为： y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即

1y y

3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+

即11

y y 312≤+≤

- 解得：42y 4

2≤≤- 故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡-42,42

6. 函数单调性法

例9. 求函数

)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。 解：令

1x log y ,2y 325x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数

所以21y y y +=在[2，10]上是增函数

当x=2时，81

12log 2y 33min =-+=-

当x=10时，

339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣

⎡33,81

例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。 解：原函数可化为：

1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数

所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值22

2

=

显然0y >，故原函数的值域为]2,0(

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域。

解：令t 1x =-，)0t (≥

则1t x 2+= ∵

43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知

当0t =时，1y min =

当0t →时，+∞→y

故函数的值域为),1[+∞

例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域。

解：因0)1x (12≥+-

即

1)1x (2≤+