随机过程复习提纲

第一章：1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p （s ）=sp kk k∑∞=0，则p ′（s ）=skpk k k11-∞=∑，令s ↑1，得EX==∑∞=1k kkpp ′(1)。

（2）同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 2 3.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得()()np itdtdi i EX t n q ep g=-=-==+0,()()()p nq e p dtdg i EX npq iti t n 2222"220+=-===+-()npq DX EX EX=-=224． 设X~N(0,1),求特征函数g(t). 解dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xix itx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xtxi eeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e Ctt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为ett g 22)(-=5． 设随机变量Y~N(μ，σ2)，求Y 的特征函数是g Y (t). 解：设X~N(0,1),则由例1.3知X 的特征函数ett g 22)(-=令Y=μσ+X ,则Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且X i ~b(n i ,p),i=1,2,…n,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~证 因为X i ~b(n i ,p),所以其特征函数为()(),,...2,1,n i it nt X q e p g ii==+由特征函数的性质知，∑==ni i x Y 1的特征函数为()()()(),111∏++∏==∑====ni n i Y q e p q e p g g it n it n t X t ni iii再有唯一性定理知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i ii X =λπ则⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g it ii,...2,1,1==⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni i X Y 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie et X t ni n i Y ∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。

8． 设X1，X2…Xn 是相互独立的随机变量，且()n i Niii X ,...2,1,,~2=σμ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑==σμ211,~i n i i ni i N Y X 。

证 因为(),,~2σμiii NX 所以其特征函数为()n i t i t Xe g i i it ,...2,1,2221==-σμ有特征函数的性质知，∑==n i i X Y 1的特征函数为()()e e g g t t i t Xt n i i n i i i it i ni t ini Y212122211211⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=∑∑=====∏∏σμσμ 再由唯一性定理知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑==σμ211,~i n i i ni i N Y X 9． 设商店在一天的顾客数N 服从参数λ=1000的泊松分布，又设每位顾客所花的钱数X i 服从N(100,502)，求商店日销售Z 的平均值。

解：由条件知∑==ni i X z 1而EN=1000，EX1=100,故EZ=EN ·EXi=1000×100=100000(元)10．设随机变量X 的特征函数为g x (t),Y=aX+b,其中a,b 为任意实数，证明Y 的特征函数g Y (t)为()().at t g eg XitbY=证()()()()()it aX b i at X ibt ibt i at X ibt Y X t E E E at gg e ee e e e +⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎣⎦⎣⎦⎣⎦11．求以下各分布的随机变量X 的特征函数g(t). (1)两点分布b(1,p) (5)正态分布N(μ，σ2) (2)二项分布b(n,p) (6)指数分布Exp(λ) (3)泊松分布p(λ) (7)均匀分布U(a,b) (4)几何分布Ge(p) (8)伽马分布Г(α，λ) 解：(1) 令X~b(1,p),则P(X=0)=1-p=q,p(x)=p. 则根据特征函数的定义，得：()eeee itit it k p q p q n k p itX t g k +=+===••∞=∑11....2,1,(2)令X~b(n,p),则()...2,1,1,n k p q k X p qp C kn k kn=-===-有特征函数定义，可知()()()q p e q p e C qp C eit itt g nkn kk knkn kk k n itk+∑∑===-∞=-∞=0(3)令X~p(λ),则n k k k X p ek...1,0,0,!)(=〉==-λλλ有特征函数定义可知：()()eee e e e ee eitk k t g ititkk k kitk⎪⎭⎫⎝⎛--∞=--∞=====∑∑100!1!λλλλλλλ(4)设X~Ge(p),则p(X=k)=pq k-1,q=1-p,k=1,2…n 有特征函数定义知：()e ee e q e qe itit it it k kk k itk q p q q q pitq p p t g -=-•===∑∑∞=-∞=11)(111(5)设X~N(μ，σ2),因为当μ=0,σ=1时得出特征函数为e tt g 22)(-=，令X=σx+μ,则X的特征函数为()eeee t i ti it t g t g 222222)(μσμσσμμμ--===(6)设X~Exp(λ),则可知密度函数⎪⎩⎪⎨⎧〈≥=-0,00,)(x x x f e xλλ则有特征函数定义，可得：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰-∞+-∞+-∞+-+∞∞-=--=-====λλλλλλλλλλit ee e e e it it dxdxdx x f t g xit xit xitxitx 11)((7)设X~U(a,b),则可知密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f则 ()()()()ee e e ee itaitb baitx b a itxb aitxitxit a b it a b dx a b dx ab dxx f t g --=-=-=-==⎰⎰⎰+∞∞-1111)((8)设x~Г(α,λ),则密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤〉Γ=--0,00,,,1x x x f e x x λαααλαλ则()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰--∞+-∞+----∞++∞∞-=Γ=-Γ⇒=-=Γ=Γ==λλλλλλλαααααλααλαααλαλααit it e it U e x ex e edU itxU dx dxdxx f t g Uxit xitxitx11it )(0111令第二章：1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类.2、若{X(t)，t ∈T}是零均值的二阶矩过程，若对任意的t 1<t 2≤t 3<t 4，则X(t)为正交增量过程的充分条件是()1243X(t )-X(t )0t E X t X ⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦3、设随机过程X(t)=Y+Zt ，t>0,其中Y ，Z 是相互独立的N （0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一维和二维概率密度族.解：由于X 与Z 是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算{X(t)，t>0}的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征m x (t)，D X (t)，即可. m x (t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，D X (t)=D(Y+Zt)=DY+t 2DZ=1+t 2， B X (s,t)=EX(s)X(t)- m x (s) m x (t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st ，==，故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为f t (x)=exp{-}，t>0，f s,t (x 1,x 2)=.exp{[]},s,t>0,其中4、设{X(t)，t ≧0}是实正交增量过程，X(0)=0，V 是标准正态随机变量，若对任意的t ≧0，X(t)与V 相互独立,令Y(t)=X(t)+V ，求随机过程{Y(t)，t ≧0}的协方差函数.解：依题意知EX(t)=0，EV=0,DV=1,所以 EY(t)=E[X(t)+V]=EX(t)+EV=0， B Y (t 1，t 2)=E(X(t 1)+V)(X(t 2)+V) =E[X(t 1)X(t 2))]+EV 2=σ2X (min(t 1,t 2))+1. 5、试证明维纳过程是正态过程。