高一数学必修四第三章综合能力检测
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
【优质文档】必修4第三章模块综合试卷
π B．3
π C． 2
2π D． 3
5.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由 间的小正方形拼成的一大正方形， 若直角三角形中较小的锐角为
4 个相同的直角三角形与中 θ，大正方形的面积是 1，小
正方形的面积是 215，则 sin2θ－ cos2θ的值等于 (
)
A．1
24
7
B ．－ 25 C． 25
π个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是 6
()
A ． y＝ sin 2x
B． y＝cos 2x
2－ 6
答案 D
解析 ∵f(x)＝ sin 2x＋ π6 ，
π
π
∴将函数 f(x)＝ sin 2x＋ 6 的图象向右平移 6个单位长度，
得f
π x－ 6 ＝sin
D． f(x)在
π， 2
π
内单调递减
9．已知
ω＞ 0，函数
f(x)＝
2 2 (sin ωｘ＋cos ωｘ) 在
π2， π上单调递减，则实数
ω的取值范围是
()
A．
1， 5 24
B．
1， 3 24
1 C． 0，2
D． (0,2]
10．已知正三角形
ABC 的边长为
2
3，平面
ABC 内的动点
P，M
满足
→ |AP|＝1，
ππ 再取 ω＝ 2，则 f(x)＝sin 2x＋ 4 在 2 ，π上不单调，故 ω≠2，故排除 D，故选 A.
方法二
因为 ω＞ 0，函数 f(x)＝sin ωｘ＋ 4π在 π2， π上单调递减，所以
T＝ 2ωπ≥2
π－
π 2
，得
0＜ ω≤ 2. 又 ω2π＋ π4＜ ωｘ＋ π4＜ ωπ＋ π4，
高中数学苏教版高一必修4章末综合检测03 含解析
高中数学苏教版高一必修4章末综合检测03 含解析章末综合测评(三) 三角恒等变换 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos 2α＝________.【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.【答案】 －7252．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 【答案】 13．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________. 【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47° ＝sin(47°－17°) ＝sin 30° ＝12 【答案】124．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.【解析】 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.【答案】 tan 2α5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________.【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，∴cos α＝－255，∴tan α＝－12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.【答案】 －436．化简：cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－7π8－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋7π8＝________.【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π42＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(cos x －sin x )＋22(cos x ＋sin x ) ＝22cos x . 【答案】22cos x 7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.【解析】 已知等式两边平方得sin α＝45，450°＜α＜540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝2.【答案】 28．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________． 【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°) ＝3－3tan 19°tan 41°∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】39．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°， 所以a ＜c ＜b . 【答案】 a ＜c ＜b10．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4 ＝2cos 3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象． 【答案】 右 π1211．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________． 【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．【答案】 x ＝k π2＋π12，k ∈Z12．已知点P sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________．【解析】 由题意知，点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.【答案】 2－ 313．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为________．【解析】 由tan α2＝12，得sin α＝2tanα21＋tan 2 α2＝11＋14＝45，∵α∈(0，π)，∴cos α＝35，由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos(α＋β)＝－1213.cos β＝cos(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665. 【答案】 －166514．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为2，则常数a 的值为________．【解析】 f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ，又－π3≤x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴a ＋2＝2，则a ＝0. 【答案】 0二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α.【解】 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝32.16．(本小题满分14分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°的值．【解】原式＝2cos210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan25°2tan 5°＝cos210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝32.17．(本小题满分14分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝413 13.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－45，求sin α的值．【解】(1)a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝5 13.(2)由0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，可知cos β＝35，且0＜α－β＜π，∵cos(α－β)＝5 13，∴sin(α－β)＝12 13.∴sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝1213×35＋513×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝1665. 18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)． 【解】 (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝32.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β2 ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－277＋217×12＝－2114.(2)又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，且cos α＋β2＜0，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＜0，∴tanα＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β21－tan 2α＋β2＝5311.19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值．(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.图1(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． 【解】 (1)设S 为十字形面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝⎛⎭⎪⎫π4＜θ＜π2.(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12＝52×⎝⎛⎭⎪⎫255sin 2θ－55cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12(设φ为锐角且tan φ＝12)当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S最大．即当θ＝π4＋φ2时，十字形取得最大面积52－12.。
高一数学必修4(新人教)课后强化训练(含详解)：第三章综合检测题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( ) A ．0B ．0或2425C.2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sin α＝35，cos(α＋β)＝－45， ∴cos α＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±35， 当sin(α＋β)＝35时，sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－⎝⎛⎭⎫－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－35时， sin β＝－35×45－⎝⎛⎭⎫45×35＝0. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin β＞0，故sin β＝2425. [点评] (1)可用排除法求解，∵π2＜β＜π，∴sin β＞0.故排除A ，B ，D. (2)由cos(α＋β)＝－45及sin α＝35可得sin β＝43(1＋cos β)代入sin 2β＋cos 2β＝1中可解得cos β＝－1或－725，再结合π2<β<π可求sin β. 2．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( )A ．π＜θ＜3π2B.5π4＜θ＜7π4C.3π2＜θ＜2π D.π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4. 3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位得到 B ．向右平移π8个单位得到 C ．向左平移π4个单位得到 D ．向右平移π4个单位得到[答案] C[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4) ＝2sin2(x ＋π8) y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π8) 其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π8∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象． 4．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°[答案] B[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，排除A. cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，故选B. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.62B.54C.32D.23[答案] B[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.6．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( )A ．－433B ．－4 3C ．4 3D ．8[答案] D[解析] f (x )＝2tan x ＋cos x12sin x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos xsin x＝2·1sin x ·cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4sin π6＝8.7．若－π2≤x ≤π2，则函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－12C ．2，－1D ．2，－2[答案] C[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴f (x )最小值为－1，最大值为2.8．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于() A ．4B ．－6C ．－3D ．－4[答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ＝1－cos C ，∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12， 又∵0<C <π，∴C ＋π6＝5π6，故C ＝2π3. 10．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.32B. 3C.158 D.157[答案] D[解析] 如图，令BD ＝1，则AB ＝4，AD ＝15，tan θ＝115，tan A ＝tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2151－115＝157，故选D.11．(09·江西理)若函数 f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)．又∵0≤x <π2，∴当x ＝π3时，y 取最大值为2.12．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是() A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧ sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59，∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π2<x －y <0，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145，故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.[答案] 3[解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40° ＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3.14.1sin10°－3sin80°的值为________． [答案] 4[解析] 原式＝cos10°－3sin10°sin10°·cos10°＝2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)12sin20°＝4cos70°sin20°＝4. 15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案] －5665[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45. ∵β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－5665. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)[答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π2＝π，即②正确． 由2k π≤2x －π12≤2k π＋π得， k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值． [解析] (1)∵a 与b 互相垂直，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1得，sin θ＝±255，cos θ＝±55， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2，则 cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010， cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝210. 18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2. (1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值，所以m ＝－12或m ＝32， 由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2， 所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2. (2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )， 由0≤k π4－π24≤π2(k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.19．(本题满分12分)函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a ，b 的值．[解析] ∵f (x )＝a (1－cos2x )－3a sin2x ＋a ＋b＝－2a ·⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1b ＝－5，∴a ＝2，b ＝－5， 当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13a ＋b ＝－5，∴a ＝－2，b ＝1. 20．(本题满分12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．[解析] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin B (sin A －cos A )＝0.因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4，由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2(3π4－B )＝0， 即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0.由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12. 方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＝－cos2C ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2C . 因为0<B 、C <π，所以B ＝3π2－2C 或B ＝2C －π2. 即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π2. 由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin B (sin A －cos A )＝0.因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)，知A ＝π4. 从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π2不合要求． 再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π12. 所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )最小正周期T ＝π，在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6、⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )递增， ∴当x ＝π6时，f (x )的最大值等于m ＋3. 当x ＝0时，f (x )的最小值等于m ＋2.由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4m ＋2>－4解之得，－6<m <1. 22．(本题满分14分)已知锐角三角形中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求tan A tan B； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．[解析] (1)sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15，⇔tan A tan B ＝2. (2)∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34，将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝9，解得tan B ＝2±62，舍去负值得，tan B ＝2＋62，∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6，由AB ＝3得CD ＝2＋6， 所以AB 边上的高为2＋ 6.[点评]第(1)小题除了考查两角和与差的三角函数公式外，还考查了方程的思想．第(2)小题除了上述解法还可以通过设AB边上的高CD为x，利用tan A＝2tan B，求出AD＝1，BD＝2后，列出x的方程求解．。
高中数学必修四第三章检测试卷
必修4 第三章 三角恒等变换(1)一、选择题:1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A 0 B12 C 2D 12- 2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 3365-B 6365C 5665D 1665- 3.设1tan 2,1tan xx +=-则sin 2x 的值是 ( ) A 35 B 34- C 34 D 1- 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A 47- B 47 C 18 D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A 3365B 1665C 5665D 63656. )4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A 725-B 2425-C 2425D 7257.cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A 2521≤≤aB 21≤aC 25>aD 2125-≤≤-a8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A 1010B 1010-C 10103 D 10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像 （ ）A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位10. 函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53πC 、53x π=-D 、3x π=-11.若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( )A [B (-C [-D (-12.在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于 ( )A3π B 23π C 6π D 4π二、填空题:13.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于14. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 15. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为16. 关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立； ②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++18. 求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值．19. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
高一数学必修4(新人教)课后强化训练(含详解)：第三章综合检测题
第三章综合检测题1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．±2425[点评] (1)可用排除法求解，∵π2＜β＜π，∴sin β＞0.故排除A ，B ，D.(2)由cos(α＋β)＝－45及sin α＝35可得sin β＝43(1＋cos β)代入sin 2β＋cos 2β＝1中可解得cos β＝－1或－725，再结合π2<β<π可求sin β.2．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( )A ．π＜θ＜3π2 B.5π4＜θ＜7π4 C.3π2＜θ＜2π D.π4＜θ＜3π43．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位得到 B ．向右平移π8个单位得到C ．向左平移π4个单位得到D ．向右平移π4个单位得到4．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1 D ．sin 215°＋cos 215° 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.62 B.54 C.32 D.236．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( ) A ．－433 B ．－4 3 C ．4 3 D ．87．若－π2≤x ≤π2，则函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－12C ．2，－1D ．2，－28．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－3D ．－49．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 10．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.32 B. 3 C.158 D.15711．(09·江西理)若函数 f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.＋1 D.3＋2 12．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是( )A.2145 B ．－2145 C ．±2145 D ．±5142813．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 14.1sin10°－3sin80°的值为________． 15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减； ④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值； (2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标．19．(本题满分12分)函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a ，b 的值．20．(本题满分12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )． (1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围．22．(本题满分14分)已知锐角三角形中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求tan Atan B ； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．CBCBB DCDCD BB 13. 3 14.4 15.－5665 16.①②③17.[解析] (1)∵a 与b 互相垂直，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1得，sin θ＝±255，cos θ＝±55，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2，则cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010， cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝210. 18.[解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12，由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值，所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2，所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )， 由0≤k π4－π24≤π2(k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12. 19.[解析] ∵f (x )＝a (1－cos2x )－3a sin2x ＋a ＋b ＝－2a ·⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1b ＝－5，∴a ＝2，b ＝－5，当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13a ＋b ＝－5，∴a ＝－2，b ＝1.20.[解析] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin B (sin A －cos A )＝0. 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4，由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2(3π4－B )＝0，即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0. 由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得 sin B ＝－cos2C ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2C .因为0<B 、C <π，所以B ＝3π2－2C 或B ＝2C －π2. 即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π2.由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0. 所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin B (sin A －cos A )＝0. 因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A . 由A ∈(0，π)，知A ＝π4.从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π2不合要求．再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π12.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.21.[解析] (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )最小正周期T ＝π，在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6、⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )递增， ∴当x ＝π6时，f (x )的最大值等于m ＋3. 当x ＝0时，f (x )的最小值等于m ＋2.由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4m ＋2>－4解之得，－6<m <1.22.[解析] (1)sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎨⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎨⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15，⇔tan Atan B＝2.(2)∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34，将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝9，解得tan B ＝2±62，舍去负值得，tan B ＝2＋62，∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6，由AB ＝3得CD ＝2＋6，所以AB 边上的高为2＋ 6.[点评] 第(1)小题除了考查两角和与差的三角函数公式外，还考查了方程的思想．第(2)小题除了上述解法还可以通过设AB 边上的高CD 为x ，利用tan A ＝2tan B ，求出AD ＝1，BD ＝2后，列出x 的方程求解．。
高一数学(人教B版)必修4：第3章综合素质检测
阶段性测试题六(第三章综合素质检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； ②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；③x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1， 故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2009·广东)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 [答案] A[解析] y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π22x ＝sin2x∴函数是最小正周期为π的奇函数．3．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( )A ．－12 B.32 C.12或32 D.12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27，∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28.∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.4．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x .∴最小正周期T ＝π.5．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a 2B ．－1－a2C ．－1＋a 2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.6．(2009·江西)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为() A ．1 B ．2C.3＋1D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝cos x ＋3sin xcos x ·cos x＝cos x ＋3sin x ＝2⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴f (x )的最大值为2.7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π[答案] B[解析] y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x＝cos 4x －cos 2x ＋1＝(cos 2x －12)2＋34＝(1＋cos2x 2－12)2＋34＝cos 22x 4＋34＝1＋cos4x8＋34＝18cos4x ＋78.∴T ＝2π4＝π2，故选B.8．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A.62 B.32C.54 D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.9．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])单调递增区间是()A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 [答案] D[解析] f (x )＝sin x －3cos x＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∵x ∈[－π，0]，∴x －π3⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3. 当x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3时，f (x )递增， 此时x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，0.故选D. 10．(2009·重庆)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6 [答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )， ∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1， ∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3. 11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2， ∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2， ∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0，∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0，∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0，∴cos A ·cos B ·cos C ＝0，∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0.∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2＋2x 2∴f (cos x )＝2＋2cos 2x＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2009·上海)函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．[答案] 1－ 2[解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x＝1＋2sin ⎝⎛2x ＋π4，∴y min ＝1－ 2. 14.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎫－331－⎝⎛⎭⎫－332＝－233·32＝－ 3. 15．cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ2＝________. [答案] －2[解析] ∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°， ∴tan θ2，又∵cos θ＝－35，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 16．在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________． [答案] 120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513>0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝1213∴cos2A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2A ＝sin2⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°. [解析] 解法一：原式＝⎝⎛⎭⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70°＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2.解法二：原式＝⎝⎛⎭⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20°＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20° ＝⎝⎛⎭⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2.18．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2， ∴－π4<α2－β<π2. ∵sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53. 故sin α＋β2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β－cos ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝459×53－⎝⎛⎭⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cos α＋β2 ＝22277527＝22535. 19．(本小题满分12分)已知α＋β＝3π4，求证：cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝12. [解析] 左边＝1＋cos2α2＋1＋cos2β2＋2cos αcos β ＝1＋12(cos2α＋cos2β)＋2cos αcos β ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋22[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝1＋cos 3π4cos(α－β)＋22⎣⎡⎦⎤cos 3π4＋cos (α－β)＝1－22cos(α－β)＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22cos(α－β) ＝1－12＝12＝右边． 20．(本小题满分12分)若函数f (x )＝1＋cos2x 4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －a sin x 2·cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2的最大值为2，试确定常数a 的值．[解析] f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a 2sin x ， f (x )的最大值为14＋a 24 ∴14＋a 24＝2， 解得a ＝±15.21．(本小题满分14分)(2010·南安一中高一下学期期末测试)已知f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ，其中a ∈R .(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在[－π6，π6]上最大值与最小值之和为3，求a 的值． [解析] f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1， (1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈[－π6，π6]，2x ∈[－π3，π3]， 2x ＋π6∈[－π6，π2]， sin(x ＋π6)∈[－12，1]， ∴f (x )max ＝a ＋3，f (x )min ＝a ，∴2a ＋3＝3，∴a ＝0.22．(本小题满分14分)(2009·湖南)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ，∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， ∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4. ∴θ＝π2或θ＝3π4.。
高一数学必修4：第三章章末检测Word版含解析(2)
解析： sinx＋ 3cosx－ a＝ 0，∴ a＝sinx＋ 3cosx
＝2
1 2sin x＋
3 2 cosx
＝2sin
x＋
π 3
，－
1≤sin
x＋π3 ≤ 1，∴－ 2≤ a≤2.
9．若
α， β为锐角，
2 sinα＝ 5
5， sin(α＋ β)＝ 35，则
cosβ等于 (
)
25 A. 5
25 B. 25
故 f(x)＝
2sin
2πx＋
π 4 .将
x＝－
1代入得函数值为 8
0.
1，故 2π＝ 1，∴ a＝ 2π， a
7． tan20 ＋°tan40 ＋° 3(tan20 ＋°tan40 °)等于 ( )
3 A. 3 B ． 1
C. 3 D. 6 答案： C
解析： tan60 °＝ tan20 ＋°tan40 °， 1－ tan20 ·°tan40 °
C.2 5或 2 5
5
25
D ．－
2 25
5
答案： B
解析： cosβ＝ cos[( α＋β)－α]
＝ cos(α＋ β)cosα＋sin(α＋ β)sinα，
∵ α为锐角 cosα＝
1－ 2205＝ 55，
∴
sin(α＋
β)＝
35＜
sinα，∴
α＋
β＞
π 2.
∴ cos(α＋ β)＝－
1－ 295＝－ 45，
D．1
解析： 原式＝
sin68 °cos23°－ cos68°sin23 °＝ sin(68
°－ 23°)＝ sin45 °＝
2 2.
2．已知
高一数学必修四第三章综合能力检测
第三章综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. cos 215°－sin 215°的值是( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案：C解析：cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32.2. [2011·福建卷]若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A. 22B. 33C. 2D. 3答案：D解析：sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α ＝1－sin 2α＝14，所以，sin 2α＝34，因为α∈(0，π2)， 所以，sin α＝32，cos θ＝12， 所以，tan α＝sin αcos α＝ 3.3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案：A解析：∵cos α＝－45且α是第三象限的角， ∴sin α＝－35，1＋tan a 21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝25－45＝－12.故选A.4．函数y ＝cos 2(x －π4)－cos 2(x ＋π4)的值域为( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－12，1]解析：可用降幂公式，∵y ＝1＋cos (2x －π2)2－1＋cos (2x ＋π2)2 ＝12[cos(2x －π2)－cos(2x ＋π2)]＝12(sin2x ＋sin2x )＝sin2x ，∴－1≤y ≤1.5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A.13 B ．－13 C.79 D ．－79答案：D解析：∵(π6－α)＋(π3＋α)＝π2， ∴cos(23π＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1 ＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B 且sin A cos A ＝34，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：∵12sin2A ＝34，∴sin2A ＝32，∴A ＝30°或60°.又tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A ·tan B )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－3，即tan(A ＋B )＝－3，∴A ＋B ＝120°.若A ＝30°，则B ＝90°，tan B 无意义，∴A ＝60°，B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．7．函数y ＝cos2x cos π5－2sin x cos x sin 6π5的递增区间是( ) A ．[k π＋π10，k π＋3π5](k ∈Z ) B ．[k π－3π20，k π＋7π20](k ∈Z ) C ．[2k π＋π10，2k π＋3π5](k ∈Z ) D ．[k π－2π5，k π＋π10](k ∈Z ) 答案：D解析：y ＝cos2x cos π5＋sin2x sin π5＝cos(2x －π5) 由2k π－π≤2x －π5≤2k π，k ∈Z ， ∴2k π－45π≤2x ≤2k π＋π5，k ∈Z . ∴k π－2π5≤x ≤k π＋π10，k ∈Z .8．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF＝( )A.1627B.23C.33D.34答案：D 解析：如图，取AB 的中点D ，连结CD ，则∠ECF ＝2∠ECD ，设AB ＝2a ，则CD ＝AD ＝a ，ED ＝a 3，tan ∠ECD ＝DE CD ＝13，∴tan ∠ECF ＝tan2∠ECD ＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34，故选D.9．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，则cos(θ2＋π8)的值为( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.35答案：A解析：m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝21＋cos (θ＋π4).由|m ＋n |＝825得cos(θ＋π4)＝725，又θ∈(π，2π)，所以5π8<θ2＋π8<9π8，所以cos(θ2＋π8)<0，所以cos(θ2＋π8)＝－1＋cos (θ＋π4)2＝－1＋7252＝－45.10．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin2x ＋2cos 2x1＋tan x 的值为( )A.85B.58 C.25 D.52答案：C解析：∵3＋2sin x ＋2cos x ＝3＋22sin(x ＋π4)>0，(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，∴sin x －2cos x ＝0，∴tan x ＝2.∴原式＝2cos x (sin x ＋cos x )1＋sin x cos x＝2cos 2x (sin x ＋cos x )cos x ＋sin x ＝2cos 2x ＝2cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1＝25. 11．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案：B解析：依题意得点M 、N 的坐标分别为(a ，sin a )，(a ，cos a )， ∴|MN |＝|sin a －cos a | ＝|2(sin a ·22－cos a ·22)| ＝|2sin(a －π4)|≤2(a ∈R )， ∴|MN |max ＝ 2.12．定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图像向左平移m 个单位(m >0)，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A.2π3B.π3C.π8D.56π答案：A解析：由题知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π6)，其图像向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π2，k ∈Z .若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋2π3，故m 的最小值为2π3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________． 答案：12解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12. 14．设向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π，则 |a ＋b |的最大值是__________． 答案：2解析：|a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ.∵0≤θ≤π，∴－1≤cos θ≤1，|a ＋b |的最大值是2＋2＝2. 15．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，则 cos α－β2的值为__________． 答案：76565解析：由已知，得cos α＝－35，cos β＝513， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3365. ∴2cos 2α－β2－1＝3365.∴cos α－β2＝±76565.又∵0<α－β2<π2，∴cos α－β2＝76565.16．对于下列命题：①函数y ＝－sin(k π＋x )(k ∈Z )为奇函数； ②函数y ＝cos 2x 的最小正周期是π；③函数y ＝sin(－2x ＋π3)的图像可由函数y ＝－sin2x 的图像向左平移π6个单位长度得到；④函数y ＝cos|x |是最小正周期为π的周期函数； ⑤函数y ＝sin 2x ＋cos x 的最小值是－1.其中真命题的编号是__________．(写出所有真命题的编号) 答案：①②⑤解析：①中，当k 是偶数时，y ＝－sin x 为奇函数；当k 是奇数时，y ＝sin x 为奇函数，所以①正确；②中，y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2，则周期为π，所以②正确； ③中，函数y ＝－sin2x 的图像向左平移π6个单位长度，得函数y ＝－sin(2x ＋π3)≠sin(－2x ＋π3)，所以③不正确；④中，y ＝cos|x |＝cos x ，则其周期是2π，所以④不正确； ⑤中，y ＝sin 2x ＋cos x ＝－cos 2x ＋cos x ＋1＝－(cos x －12)2＋54，当cos x ＝－1，函数取最小值－1，所以⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知tan(α＋π4)＝－12(π2<α<π)． (1)求tan α的值； (2)求sin2α－2cos 2αsin (α－π4)的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tan α1－tan α＝－12.解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2αsin (α－π4)＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α. ∵π2<α<π且tan α＝－3， ∴cos α＝－1010.∴原式＝－255.18．(本小题满分12分)求证：sin2x ＋11＋cos2x ＋sin2x ＝12tan x ＋12.证明：左边＝sin2x ＋12cos 2x ＋sin2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＋cos 2x 2cos 2x ＋2sin x cos x ＝(sin x ＋cos x )22cos x (sin x ＋cos x )＝sin x ＋cos x2cos x ＝12tan x ＋12＝右边． ∴原等式成立．19．(本小题满分12分)已知sin(α＋3π4)＝513，cos(π4－β)＝35，且－π4<α<π4，π4<β<3π4，求cos(α－β)的值．解：∵－π4<α<π4，∴π2<α＋3π4<π，∴cos(α＋3π4)＝－1－sin 2(α＋3π4)＝－1213.∵π4<β<3π4，∴－π2<π4－β<0，∴sin(π4－β)＝－1－cos 2(π4－β)＝－45. ∴cos(α－β)＝－cos[(α＋3π4)＋(π4－β)] ＝sin(α＋3π4)sin(π4－β)－cos(α＋3π4)cos(π4－β)＝1665.20．(本小题满分12分)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A为何值时，cos A ＋2cos B ＋C 2取得最大值？并求出这个最大值．解：利用A ＋B ＋C ＝π，把cos A ＋2cos B ＋C 2化为同角三角函数式，再求最大值．由A ＋B ＋C ＝π，得B ＋C 2＝π2－A 2，∴cos B ＋C 2＝sin A 2，∴cos A ＋2cos B ＋C 2＝cos A ＋2sin A 2＝1－2sin 2A 2＋2sin A 2＝－2(sin A 2－12)2＋32.当sin A 2＝12，即A ＝π3时(∵A 是△ABC 的一个内角，∴A 2＝5π6不合题意，舍去)，cos A ＋2cos B ＋C 2取得最大值32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x,0,π12,π3,7π12,5π6,π2x ＋π3,π3,π2,π,3π2,2π,7π3f (x ),3,2,0,－2,0,3描点连线得图像，如下图所示．22．(本小题满分12分)[2011·天津卷]已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设x ∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2x ，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2(cos 2α－sin 2α) 整理得：sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α) 因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12即sin2α＝12，由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，所以2α＝π6，即α＝π12.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. cos 215°－sin 215°的值是( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案：C解析：cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32.2. [2011·福建卷]若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A. 22B. 33C. 2D. 3答案：D解析：sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α ＝1－sin 2α＝14，所以，sin 2α＝34，因为α∈(0，π2)，所以，sin α＝32，cos θ＝12， 所以，tan α＝sin αcos α＝ 3.3．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2答案：A解析：∵cos α＝－45且α是第三象限的角， ∴sin α＝－35，1＋tan a 21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos α＝25－45＝－12.故选A.4．函数y ＝cos 2(x －π4)－cos 2(x ＋π4)的值域为( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－12，1]答案：C解析：可用降幂公式，∵y ＝1＋cos (2x －π2)2－1＋cos (2x ＋π2)2＝12[cos(2x －π2)－cos(2x ＋π2)]＝12(sin2x ＋sin2x )＝sin2x ，∴－1≤y ≤1. 5．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A.13 B ．－13 C.79 D ．－79答案：D解析：∵(π6－α)＋(π3＋α)＝π2， ∴cos(23π＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1 ＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B 且sin A cos A ＝34，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案：C解析：∵12sin2A ＝34，∴sin2A ＝32，∴A ＝30°或60°.又tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A ·tan B )，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3，即tan(A ＋B )＝－3，∴A ＋B ＝120°.若A ＝30°，则B ＝90°，tan B 无意义，∴A ＝60°，B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．7．函数y ＝cos2x cos π5－2sin x cos x sin 6π5的递增区间是( ) A ．[k π＋π10，k π＋3π5](k ∈Z ) B ．[k π－3π20，k π＋7π20](k ∈Z ) C ．[2k π＋π10，2k π＋3π5](k ∈Z ) D ．[k π－2π5，k π＋π10](k ∈Z ) 答案：D解析：y ＝cos2x cos π5＋sin2x sin π5＝cos(2x －π5) 由2k π－π≤2x －π5≤2k π，k ∈Z ， ∴2k π－45π≤2x ≤2k π＋π5，k ∈Z . ∴k π－2π5≤x ≤k π＋π10，k ∈Z .8．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.34答案：D 解析：如图，取AB 的中点D ，连结CD ，则∠ECF ＝2∠ECD ，设AB ＝2a ，则CD ＝AD ＝a ，ED ＝a 3，tan ∠ECD ＝DE CD ＝13，∴tan ∠ECF ＝tan2∠ECD ＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34，故选D.9．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，则cos(θ2＋π8)的值为( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.35答案：A解析：m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝21＋cos (θ＋π4). 由|m ＋n |＝825得cos(θ＋π4)＝725，又θ∈(π，2π)，所以5π8<θ2＋π8<9π8，所以cos(θ2＋π8)<0，所以cos(θ2＋π8)＝－1＋cos (θ＋π4)2＝－1＋7252＝－45.10．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin2x ＋2cos 2x1＋tan x 的值为( )A.85B.58C.25D.52答案：C解析：∵3＋2sin x ＋2cos x ＝3＋22sin(x ＋π4)>0，(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，∴sin x －2cos x ＝0，∴tan x ＝2.∴原式＝2cos x (sin x ＋cos x )1＋sin x cos x＝2cos 2x (sin x ＋cos x )cos x ＋sin x ＝2cos 2x ＝2cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝2tan 2x ＋1＝25.11．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案：B解析：依题意得点M 、N 的坐标分别为(a ，sin a )，(a ，cos a )， ∴|MN |＝|sin a －cos a | ＝|2(sin a ·22－cos a ·22)| ＝|2sin(a －π4)|≤2(a ∈R )，∴|MN |max ＝ 2.12．定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图像向左平移m 个单位(m >0)，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是( )A.2π3B.π3 C.π8 D.56π答案：A解析：由题知f (x )＝3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x )＝2sin(x －π6)，其图像向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －π6＋m )，平移后其对称轴为x －π6＋m ＝k π＋π2，k ∈Z .若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋2π3，故m 的最小值为2π3.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________． 答案：12解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12. 14．设向量a ＝(1,0)，b ＝(cos θ，sin θ)，其中0≤θ≤π，则 |a ＋b |的最大值是__________． 答案：2解析：|a ＋b |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ.∵0≤θ≤π，∴－1≤cos θ≤1，|a ＋b |的最大值是2＋2＝2. 15．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，则 cos α－β2的值为__________． 答案：76565解析：由已知，得cos α＝－35，cos β＝513， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3365. ∴2cos2α－β2－1＝3365.∴cos α－β2＝±76565.又∵0<α－β2<π2，∴cos α－β2＝76565. 16．对于下列命题：①函数y ＝－sin(k π＋x )(k ∈Z )为奇函数； ②函数y ＝cos 2x 的最小正周期是π；③函数y ＝sin(－2x ＋π3)的图像可由函数y ＝－sin2x 的图像向左平移π6个单位长度得到；④函数y ＝cos|x |是最小正周期为π的周期函数； ⑤函数y ＝sin 2x ＋cos x 的最小值是－1.其中真命题的编号是__________．(写出所有真命题的编号) 答案：①②⑤解析：①中，当k 是偶数时，y ＝－sin x 为奇函数；当k 是奇数时，y ＝sin x 为奇函数，所以①正确；②中，y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2，则周期为π，所以②正确； ③中，函数y ＝－sin2x 的图像向左平移π6个单位长度，得函数y ＝－sin(2x ＋π3)≠sin(－2x ＋π3)，所以③不正确；④中，y ＝cos|x |＝cos x ，则其周期是2π，所以④不正确； ⑤中，y ＝sin 2x ＋cos x ＝－cos 2x ＋cos x ＋1＝－(cos x －12)2＋54，当cos x ＝－1，函数取最小值－1，所以⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知tan(α＋π4)＝－12(π2<α<π)． (1)求tan α的值； (2)求sin2α－2cos 2αsin (α－π4)的值．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tan α1－tan α＝－12.解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2αsin (α－π4)＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α. ∵π2<α<π且tan α＝－3， ∴cos α＝－1010.∴原式＝－255.18．(本小题满分12分)求证：sin2x ＋11＋cos2x ＋sin2x＝12tan x ＋12.证明：左边＝sin2x ＋12cos 2x ＋sin2x＝2sin x cos x ＋sin 2x ＋cos 2x 2cos 2x ＋2sin x cos x＝(sin x ＋cos x )22cos x (sin x ＋cos x )＝sin x ＋cos x 2cos x ＝12tan x ＋12＝右边． ∴原等式成立．19．(本小题满分12分)已知sin(α＋3π4)＝513，cos(π4－β)＝35，且－π4<α<π4，π4<β<3π4，求cos(α－β)的值．解：∵－π4<α<π4，∴π2<α＋3π4<π， ∴cos(α＋3π4)＝－1－sin 2(α＋3π4)＝－1213.∵π4<β<3π4，∴－π2<π4－β<0， ∴sin(π4－β)＝－1－cos 2(π4－β)＝－45.∴cos(α－β)＝－cos[(α＋3π4)＋(π4－β)]＝sin(α＋3π4)sin(π4－β)－cos(α＋3π4)cos(π4－β)＝1665.20．(本小题满分12分)△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值？并求出这个最大值．解：利用A ＋B ＋C ＝π，把cos A ＋2cos B ＋C2化为同角三角函数式，再求最大值．由A ＋B ＋C ＝π，得B ＋C 2＝π2－A 2，∴cos B ＋C 2＝sin A 2，∴cos A ＋2cos B ＋C 2＝cos A ＋2sin A 2＝1－2sin 2A 2＋2sin A 2＝－2(sin A 2－12)2＋32.当sin A 2＝12，即A ＝π3时(∵A 是△ABC 的一个内角，∴A 2＝5π6不合题意，舍去)，cos A ＋2cos B ＋C 2取得最大值32.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－23sin 2x ＋sin2x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)f (x )＝3(1－2sin 2x )＋sin2x＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x,0,π12,π3,7π12,5π6,π2x ＋π3,π3,π2,π,3π2,2π,7π3f (x ),3,2,0,－2,0,3描点连线得图像，如下图所示．22．(本小题满分12分)[2011·天津卷]已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设x ∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2x ，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2(cos 2α－sin 2α)整理得：sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α) 因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12即sin2α＝12，由α∈(0，π4)，得2α∈(0，π2)，所以2α＝π6，即α＝π12.。