两个或多个物体组成系统机械能守恒的分析方法

专题：两个物体机械能守恒的分析方法

总概括：系统的机械能守恒问题有以下四个题型：

（1）轻绳连体类

（2）轻杆连体类

（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

（5）弹簧和物体组成的系统

一：轻绳连体类

例：如图，倾角为θ的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？

例：如图，光滑斜面的倾角为θ，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求m下降b时两物体的速度大小？

例：将质量为M和3M的两小球A和B分别拴在一根细绳的两端，绳长为L，开始时B球静置于光滑的水平桌面上，A球刚好跨过桌边且线已张紧，如图所示．当A球下落时拉着B球沿桌面滑动，桌面的高为h，且h＜L．若A球着地后停止不动，求：（1）B球刚滑出桌面时的速度大小．

（2）B球和A球着地点之间的距离．

例：如图所示，两物体的质量分别为M和m（M＞m），用细绳连接后跨在半径为R的固定光滑半圆柱体上，两物体刚好位于其水平直径的两端，释放后它们由静止开始运动，求：

（1）m到达半圆柱体顶端时的速度；此时对圆柱体的压力是多大？（2）m到达半圆柱体顶端时，M的机械能是增加还是减少，改变了多少？

例：如图所示，质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上，A球恰能从斜面顶端外竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，小球落地后均不再反弹.由静止开始释放它们，不计所有摩

擦，求：（1）A球刚要落地时的速度大小；

（2）C球刚要落地时的速度大小.

二：轻杆连体类

（需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系）

例：如图，质量均为m的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小。

例：一根长2 r的轻杆OB，一端可绕光滑轴在竖直平面内转动，中点和另一端各固定一个质量相同的小球(如图)，将杆在水平状态由静止释放，当杆摆至竖直位置时，两个小球的速度各为多少？

A

B

m 2m

例：如图所示,质量均为m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B,直角尺的定点O处有光滑的固定转动轴,AO、BO的长分别为2L和L,开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方,让该系统由静止开始自由转动,重力加速度为g.求

（1）当A达到最低点时,B小球的速度大小v；

（2）此后B球能继续上升的最大高度h（不计直角尺的质量）

例：如图所示，长度相等的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，

A、A球到达最低点时速度为零。

B、A球机械能减少量等于B球机械能增加量。

C、B球向左摆动所能到达的最高位置应高于A球开始运动时的高度。

D、当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度。

（系统机械能守恒、答案BCD）

例（多选）：内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为2R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端

固定有质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示．由静止释放后（）

A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能

B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能

C．甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点

D ．杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 三：在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类 例：四分之一圆弧轨道的半径为R ，质量为M ，放在光滑的水平地面上，一质量为m 的球（不计体积）从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？

222

121m M mv Mv mgR += M m Mv mv -=0 ⎩⎨⎧+=+=)(2)(2m M M gR M v m M M gR m v M m

四：悬点在水平面上可以自由移动的摆动类

例：质量为M 的小车放在光滑的天轨上，长为L 的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m 的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。求（1）小球摆动到最低点时两者的速度？（2）此时小球受细绳的拉力是多少？

解：

222121m M mv Mv mgL +=

M m Mv mv -=0 ⎩

⎨⎧+=+=)(2)(2m M M gL M v m M M gL m v M m

当小球运动到最低点时：L

mv mg T 2

=- 要注意，公式中的v 是m 相对于悬点的速度，这一点是非常重要的 L v v m mg T M m 2

)(+=- M

m M mg T 23+= 五：弹簧和物体组成的系统

如图所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量m ＝2 kg 的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动装货装置立刻将货物御下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小；

(2)满足设计要求的木箱质量．

解析：(1)设木箱质量为m ′，对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：m ′g sin 37°＋μm ′g cos 37°＝m ′a

代入数据解得：a ＝8 m/s 2.

(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L ，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为E p ，根据能量守恒定律：货物和木箱下滑过程中有：(m ′

＋m )g sin 37°L ＝μ(m ′＋m )g cos 37°L ＋E p 木箱上滑过程中有E p ＝m ′g sin 37°L ＋μm ′g cos 37°L 联立代入数据解得：

m ′＝m ＝2 kg. 答案：(1)8 m/s 2 (2)2 kg