两个或多个物体组成系统机械能守恒的分析方法

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从三个角度诠释机械能守恒定律

从三个角度诠释机械能守恒定律作者：***来源：《中学生数理化·高考理化》2024年第01期机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力学范围内的表现形式，机械能守恒定律是指在只有重力或弹力对物体做功或者不受其他外力作用的条件下，物体的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

深刻理解机械能守恒定律的内涵，灵活应用机械能守恒定律求解动力学问題，可以从以下三个角度着手。

一、满足机械能守恒的三种情况1.物体系统只受重力作用，如物体做自由落体运动和各种抛体运动时，若不考虑空气阻力，则物体的机械能守恒。

2.物体系统内的弹力做功伴随着弹性势能的变化，且系统内弹力做功等于系统弹性势能的减少量，如光滑水平面上物体与轻质弹簧相互作用的过程中，只有物体动能与弹簧弹性势能之间的相互转化，由物体和弹簧组成的系统机械能守恒。

3.物体系统受除重力或弹力外的其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功，如物体受到的合外力与物体的运动方向垂直，合外力对物体做功为零，物体的机械能守恒。

例1 在以下关于机械能是否守恒的描述中，正确的是（）。

A.物体不受摩擦力作用时的机械能一定守恒B.物体做匀速直线运动时的机械能一定守恒C.物体做变速直线运动时的机械能不可能守恒D.物体在只发生动能与重力势能相互转化的运动过程中，其机械能一定守恒解析：物体不受摩擦力的作用，只说明不存在机械能与内能之间的转化，不能确定是否有其他的外力做功使得物体的机械能发生变化，物体的机械能不一定守恒，选项A 错误。

若物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，则物体受到摩擦力作用，存在机械能与内能之间的转化，物体的机械能不守恒，选项B错误。

物体做自由落体运动时，物体做的是初速度为0，加速度为g 的匀变速直线运动，只有重力做功，机械能守恒，选项C错误。

若物体只发生动能与重力势能的相互转化，满足机械能守恒的条件，物体的机械能一定守恒，选项D正确。

物理：巧解系统内几个疑难问题——机械能守恒定律的应用

巧解系统内几个疑难问题——机械能守恒定律的应用机械能守恒定律是这一章内容的重中之重，历年来一直是各类考试命题的热点，过去的教材中对“系统”一词没有明确提出，但新教材在定律中明确提出“系统”一词可见系统越来越受到重视，有关系统中的一些问题也就相应的成为考查的热点。

由两个或多个物体组成的系统在运动过程中，往往涉及内力做功、系统中单个物体的机械能可能不守恒等一些疑难问题，这些是我们不易理解和把握的。

我们若能巧妙应用机械能守恒定律的知识，换个角度去考虑，就能使问题变得更明朗，使问题得以迎刃而解。

一、求解系统中单个物体的机械能变化问题系统中的物体在相互运动中，能量往往会发生转化或转移，若只从一个物体的角度去分析思考，很容易因丢失一部分能量，而做出错误的判断，若能从整个系统考虑，正确使用机械能守恒定律分析就能准确判断系统中物体的机械能变化情况。

例1．如图1所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一高度且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中：（）A．重物的重力势能减少；B．重物的重力势能增加；C．重物的机械能不变；D．重物的机械能减少。

解析：重物从A点运动到B点，高度降低，重物的重力势能减少，因此很多同学只注意到重物从A运动到B时，重物速度增加，即重物的功能增加，故认为动能的增加量与重力势能的减少量相当，而判断重物机械能不变，错选C。

若从整个系统去仔细分析会发现重物下降过程中，重物的动能增加，重力势力能减少，弹簧的弹性势能增加；而且在整个过程中，只有重力和弹簧弹力做功，重物与弹簧组成的系统机械能守恒。

以B点为零势能点，则在A点系统的机械能只有重力势能，在B点系统的机械能为重物的动能和弹簧的弹性势能，且两处的机械能相等，所以可以判断重物的机械能减少，即C错，正确答案：A、D。

二、判定系统中内力做功问题一个系统（有两个或多个物体）在运动过程中，在系统机械能守恒的同时，往往涉及到内力做功。

机械能守恒条件的判定方法及注意事项(物理天地)

机械能守恒条件的判定方法及注意事项王佃彬（河北省唐山市丰南区第一中学 063300）机械能守恒定律是高中物理中的一个重要守恒定律，是高考的重点内容，考查的特点是应用范围广，能力要求高，而灵活应用机械能守恒定律解题的前提是如何判断物体或系统是否满足守恒定律。

一．判定方法：1.用做功判定：⑴对物体：机械能守恒的条件是只有重力对物体做功。

⑵对系统：机械能守恒的条件是只有重力或弹簧弹力对物体做功。

例1.一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图1所示，在A 点，物体开始与弹簧接触，到B 点时，物体速度为零，然后被弹回。

下列说法中正确的是：A .物体与弹簧作用过程中，物体的机械能守恒；B .物体与弹簧作用过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒；C .物体从A 下降到B 的过程中，物体的动能和重力势能之和不断减小； .D 物体从A 下降到B 的过程中，物体的动能不断减小。

解析：物体与弹簧作用过程中，由于弹簧弹力对物体做功，所以物体的机械能不守恒，A错。

在该过程中，对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力对系统做功，所以系统机械能守恒，B 正确。

物体从A 下降到B 的过程中，物体的机械能（动能和重力势能之和）减小量转化为弹簧的弹性势能，C 正确。

当物体受力平衡（弹簧弹力和物体重力大小相等）时，动能最大，所以从从A 下降到B 的过程中，物体的动能先增大后减小，D 错。

答案：B 、C 。

2.用能量转化判定：若组成系统的物体间只有动能和重力势能（或弹性势能）相互转化，系统跟外界没有发生机械能转变成其他形式的能，系统的机械能守恒。

例2.如图2所示，一辆小车静止在光滑的水平面上，小车立柱上固定一条长为L 栓有小球的细绳，小球由和悬点在同一水平面处释放（绳刚拉直），小球在下摆过程中，不计一切阻力，下列说法正确的是：A .小球机械能守恒；B .小球机械能减小；C .小球和小车的总机械能守恒； .D 小球和小车的总机械能减小。

2020年高考物理专题精准突破机械能守恒定律的理解及应用(解析版)

2020年高考物理专题精准突破专题机械能守恒定律的理解及应用【专题诠释】一、机械能守恒的理解与判断1．利用机械能的定义判断：分析动能和势能的和是否变化．2．利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．3．利用能量转化来判断：若物体或系统只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．二．机械能守恒定律的表达式三、多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”．(1)轻绳模型三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．①用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．①对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒．(2)轻杆模型三大特点①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．①对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．(3)轻弹簧模型“四点”注意①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒．①含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点．①弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小．①由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)．【高考领航】【2019·新课标全国Ⅱ卷】从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能E k与重力势能E p之和。

取地面为重力势能零点，该物体的E总和E p随它离开地面的高度h的变化如图所示。

机械能守恒定律(系统-多体)

机械能守恒定律(系统的机械能守恒)系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。

系统间的相互作用力分为三类：1）刚体产生的弹力：比方轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

3）其它力做功：比方炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。

虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。

但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。

归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：〔1〕轻绳连体类〔2〕轻杆连体类〔3〕在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。

〔4〕悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

〔1〕轻绳连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，倾角为的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？分析：对M 、m 和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。

它们分别是：M 所受的重力Mg ，m 所受的重力mg ，斜面对M 的支持力N ，滑轮对细绳的作用力F 。

M 、m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N 垂直于M 的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。

判定机械能是否守恒的方法

判定机械能是否守恒的方法机械能是物体在运动过程中所具有的能量，包括动能和势能两部分。

在物理学中，机械能守恒定律是一个重要的基本原理，可以用来描述物体在不受外力作用下能量的转化过程。

那么，如何判定机械能是否守恒呢？下面将介绍一些实验方法和理论分析方法。

实验方法是验证机械能是否守恒的一种直接途径。

其中一个常见的实验是小球的自由落体实验。

首先，我们需要准备一个光滑的斜面，将小球放在斜面的顶端，然后释放小球让其自由滑下。

在滑下的过程中，可以测量小球的高度、速度和位置。

根据机械能守恒定律，小球在滑下过程中应该是能量守恒的。

因此，我们可以通过比较小球在不同位置和速度时的机械能来判定机械能是否守恒。

另一个实验方法是弹簧振子的实验。

弹簧振子是一个简单的机械系统，由弹簧和质点组成。

当质点在弹簧的作用下振动时，机械能会不断转化。

我们可以通过测量弹簧振子的振幅、频率和能量来判定机械能是否守恒。

如果机械能守恒，那么弹簧振子的总机械能应该保持不变。

除了实验方法，理论分析方法也可以用来判定机械能是否守恒。

其中一个常用的方法是通过物体所受的外力和内力来分析机械能的转化过程。

在一个封闭系统中，物体受到的合外力为零，那么根据牛顿第二定律，物体的加速度也为零。

当物体的加速度为零时，根据动能定理可以得出物体的动能也为零。

因此，如果一个物体受到的合外力为零，那么它的机械能就守恒。

另一个理论分析方法是通过势能的转化来判断机械能是否守恒。

在自由落体实验中，当物体从一定高度落下时，它会逐渐转化为动能。

而当物体再次上升时，动能会转化为势能。

如果系统中没有能量损失，那么物体在上升到原来的高度时，势能和动能的总和应该与初始状态相同。

通过比较物体在不同位置的势能和动能，可以判断机械能是否守恒。

判定机械能是否守恒可以通过实验方法和理论分析方法来进行。

实验方法可以通过测量物体的能量和位置来判断，而理论分析方法可以通过分析物体所受的外力和内力以及势能的转化来判定。

两个物体组成的系统机械能守恒的求解方法

两个物体组成的系统机械能守恒的求解方法作者：雷显宁李选涛来源：《读写算·基础教育研究》2016年第10期高考对机械能守恒定律的应用多数情况下考查的是两个物体组成的系统，这两个物体一般由细绳或轻杆连接在一起。

解决这类问题的关键从以下两个方面着手：1、判断机械能是否守恒（1）用做功来判断：分析物体或系统受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，没有其它力做功或其他力做功的代数和为零则机械能守恒。

（2）用能量转化来判定：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。

（3）对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒。

【关键点拨】系统所受的合外力为零时，系统机械能不一定守恒。

如当物体在做竖直向上、向下等各方向匀速直线运动时，所受的合外力为零，但机械能不守恒。

2、求解方法求解这类问题的方法首先是找到两物体的速度关系从而确定系统动能的变化，其次找到两物体上升或下降的高度关系从而确定系统重力势能的变化，然后按照系统动能的变化等于重力势能的变化列方程求解，其中寻找两物体的速度关系是求解问题的关键，按两物体连接方式和速度关系一般可以分为以下三种：（1）速率相等的连接体：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

（2）角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O 点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

（3）某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中绳子的分速度vx 与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

机械能守恒判断的三种方法

机械能守恒判断的三种方法一、机械能守恒的基本原理机械能守恒是物理学中的一个重要定律，它表明在一个孤立系统中，机械能的总量保持不变。

机械能由动能和势能两部分组成，动能是物体由于运动而具有的能量，势能是物体由于位置而具有的能量。

根据机械能守恒定律，当一个物体在受到外力作用时，它的机械能可能发生变化，但总的机械能保持不变。

二、高度法判断机械能守恒高度法是判断机械能守恒的一种常用方法。

在一个孤立系统中，当物体从一个高度较高的位置下落时，它的势能减少，而动能增加；当物体向上抛出时，势能增加，而动能减少。

通过测量物体的高度变化和速度变化，可以判断机械能守恒是否成立。

三、速度法判断机械能守恒速度法是判断机械能守恒的另一种方法。

在一个孤立系统中，当物体受到外力作用时，它的速度可能发生变化。

根据机械能守恒定律，当物体的动能增加时，它的势能减少；当物体的动能减少时，它的势能增加。

通过测量物体的速度变化和势能变化，可以判断机械能守恒是否成立。

四、能量守恒定律判断机械能守恒能量守恒定律是判断机械能守恒的另一种方法。

在一个孤立系统中，当物体发生相互作用时，它们之间的能量可以相互转换，但总的能量保持不变。

根据能量守恒定律，当物体的动能增加时，它的势能减少；当物体的势能增加时，它的动能减少。

通过测量物体之间能量的转换和总能量的变化，可以判断机械能守恒是否成立。

五、应用实例机械能守恒定律在现实生活中有着广泛的应用。

例如，当我们乘坐过山车时，车辆在从高处下落时会获得动能，而在爬坡时会减少动能，增加势能。

根据机械能守恒定律，我们可以判断过山车的运动是否符合能量守恒的原理。

另一个应用实例是弹簧振子。

当弹簧振子处于平衡位置时，它既没有动能也没有势能。

当我们给弹簧振子施加外力使其振动时，它会具有动能和势能，并在振动过程中相互转化。

根据机械能守恒定律，我们可以判断弹簧振子的能量是否守恒。

六、结论机械能守恒是物理学中的一个重要定律，它表明在一个孤立系统中，机械能的总量保持不变。

2022年高考物理一轮复习考点归纳机械能及其守恒定律

五机械能及其守恒定律一、基本概念和规律1．功的分析(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。

(2)曲线运动中功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α＜90°时，力对物体做正功；90°＜α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。

此方法常用于判断两个相联系的物体。

2．功的计算(1)恒力做功的计算方法(2)变力做功的分析与计算方法以例说法应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：W F－mgl(1－cos θ)＝0，得W F＝mgl(1－cos θ)微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＋f·Δx n＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…＋Δx n)＝f·2πR功率法汽车以恒定功率P在水平路面上运动时间t的过程中，牵引力做功W F ＝Pt等效转换法恒力F把物块从A拉到B，轻绳对物块做的功W＝F·⎝⎛⎭⎪⎫hsin α－hsin β平均力法弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1＋kx22·(x2－x1)图象法根据力(F)—位移(l)图象的物理意义计算变力对物体所做的功，如图，横轴上方阴影部分的面积减去横轴下方阴影部分的面积在数值上等于变力所做功的大小(1)公式P＝Wt和P＝F v的区别P＝Wt是功率的定义式，P＝F v是功率的计算式。

(2)平均功率的计算方法①利用P－＝Wt。

②利用P－＝F v－cos α，其中v－为物体运动的平均速度。

(3)瞬时功率的计算方法①利用公式P＝F v cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。

②利用公式P＝F v F，其中v F为物体的速度v在力F方向上的分速度。

多物体机械能守恒问题的分析方法(含答案)

多物体机械能守恒问题的分析方法一、基础知识1、对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．2、注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3、列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式．二、练习1、如图是一个横截面为半圆、半径为R 的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别系物体A 、B ，且m A ＝2m B ，从图示位置由静止开始释放 A 物体，当物体B 到达半圆顶点时，求绳的张力对物体B 所做的功．解析物体B 到达半圆顶点时，系统势能的减少量为ΔE p ＝m A g πR2－m B gR ，系统动能的增加量为 ΔE k ＝12(m A ＋m B )v 2，由ΔE p ＝ΔE k 得v 2＝23(π－1)gR .对B 由动能定理得：W －m B gR ＝12m B v 2绳的张力对物体B 做的功 W ＝12m B v 2＋m B gR ＝π＋23m B gR .答案 π＋23m BgR2如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b .a 球质量为m ，静置于地面； b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．不计空气阻力，从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为( ) A ．hB ．1.5hC ．2hD ．2.5h答案 B解析在b 球落地前，a 、b 球组成的系统机械能守恒，且a 、b 两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh －mgh ＝12(m ＋3m )v 2，v ＝gh ，b 球落地时，a 球高度为h ，之后a 球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，12m v 2＝mg Δh ，Δh ＝v 22g ＝h 2，所以a 球可能达到的最大高度为1.5h ，B 正确.3、如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P 拴接，另一端与物体A 相连，物体A 置于光滑水平桌面上(桌面足够大)，A 右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B 相连．开始时托住 B ，让A 处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B ，直至B 获得最大速度．下列有关该过程的分析中正确的是 ( )A ．B 物体受到细线的拉力保持不变B ．B 物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量C ．A 物体动能的增量等于B 物体重力对B 做的功与弹簧弹力对A 做的功之和D ．A 物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A 做的功答案 BD解析对A 、B 的运动分析可知，A 、B 做加速度越来越小的加速运动，直至A 和B 达到最大速度，从而可以判断细线对B 物体的拉力越来越大，A 选项错误；根据能量守恒定律知，B 的重力势能的减少转化为A 、B 的动能与弹簧的弹性势能的增加，据此可判断B 选项正确，C 选项错误；而A 物体动能的增量为细线拉力与弹簧弹力对A 做功之和，由此可知D 选项正确．4、如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M 和m ，且M >m ，不计摩擦，系统由静止开始运动的过程中( ) A ．M 、m 各自的机械能分别守恒B ．B ．M 减少的机械能等于m 增加的机械能C ．M 减少的重力势能等于m 增加的重力势能D ．M 和m 组成的系统机械能守恒答案 BD解析 M 下落过程，绳的拉力对M 做负功，M 的机械能减少，A 错误；m 上升过程，绳的拉力对m 做正功，m 的机械能增加；对M 、m 组成的系统，机械能守恒，易得B 、D 正确；M 减少的重力势能并没有全部用于m 重力势能的增加，还有一部分转变成M 、m 的动能，所以C 错误．5、如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上．现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计．开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面．下列说法正确的是( )A ．斜面倾角α＝30°B ．A 获得的最大速度为g2m5kC ．C 刚离开地面时，B 的加速度为零D ．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A 、B 两小球组成的系统机械能守恒答案 AC解析当A 沿斜面下滑的速度最大时，其所受合外力为零，有m A g sin α＝(m B ＋m C )g .解得sin α＝12，所以α＝30°，A 、C 项正确；A 、B 用细线相连，速度大小一样．当A 的速度最大时，对C 有：mg ＝kx ，对A 、B 、弹簧组成的系统应用机械能守恒定律有： 4mgx ·sin α＝mg ·x ＋12kx 2＋12(m A ＋m B )v 2，解得v ＝gm5k，B 项错误．在D 项中，应是A 、B 、弹簧组成的系统机械能守恒，D 项错误．6、如图所示，质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，中间用轻质杆相连，在杆的中点O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B 球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )A ．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒B ．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒C ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒D ．A 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒答案 BC解析 A 球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B 项正确．由于A 球、B 球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C 项正确，D 项错误．所以B 球和地球组成系统的机械能一定减少，A 项错误．7、如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h时，让圆环由静止开始沿杆滑下，滑到杆的底端时速度恰好为零．若以地面为参考面，则在圆环下滑过程中()A．圆环的机械能保持为mghB．弹簧的弹性势能先增大后减小C．弹簧弹力做的功为－mghD．弹簧的弹性势能最大时，圆环的动能和重力势能之和最小答案CD解析圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故圆环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于圆环的机械能变化量，C正确．圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比末状态的弹性势能小．即：圆环滑到杆的底端时弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以在圆环下滑过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小最后又增大，B错误．弹簧和圆环的总机械能守恒，即E p弹＋E k m＋E p m＝0，当E p弹最大时，E k m＋E p m必最小，故D项正确．。

2020-2021学年高三物理一轮复习易错题06 机械能守恒定律

易错点05 机械能守恒定律易错题【01】对机械能守恒定律分析有误一、重力做功与重力势能1．重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

2．重力势能(1)表达式：E p＝mgh。

[注1](2)重力势能的特点：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量。

即W G＝E p1－E p2＝－ΔE p。

二、弹性势能1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。

2．弹力做功与弹性势能变化的关系[注2]：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大。

即W＝－ΔE p。

三、机械能守恒定律1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

[注3]2．表达式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2。

易错题【02】对机械能守恒定律的判断方法有误1．对机械能守恒条件的理解第1页共17页(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。

(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。

(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。

注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程，小球机械能减少。

2．机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用做功及守恒条件判断。

(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。

(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。

1．机械能守恒的三种表达式对比2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路第2页共17页(1)选取研究对象——物体。

(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。

机械能守恒定律多物体

详细描述
在天体运动中，行星、卫星等天体在万有引力的作用下绕中心天体做圆周运动或椭圆运动。在运动过程中，天体的势能和动能相互转化，总机械能保持不变。这一规律在天文学、航天学等领域有广泛应用。
06 结论
机械能守恒定律的意义与价值
意义
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，它揭示了机械能（动能和势能）在封闭系统中的守恒性质。这个定律在理论研究和实际应用中都具有非常重要的意义，因为它提供了一种理解和预测物体运动规律的有效方法。
探索机械能守恒定律在不同条件下的适用性：目前我们对于机械能守恒定律的理解主要是在理想条件下进行的，但是在实际应用中，物体往往受到各种复杂因素的影响。因此，我们需要进一步探索在不同条件下（例如非惯性参考系、存在电磁场等），机械能守恒定律的适用性和应用范围。
结合其他物理定律研究复杂系统的运动规律：在实际应用中，物体的运动往往受到多种物理定律的共同作用。因此，我们需要进一步研究如何将机械能守恒定律与其他物理定律（如牛顿第三定律、动量守恒定律等）结合起来，以更好地描述和理解复杂系统的运动规律。
弹簧振子
一个简单的弹簧振子系统由一个质量块和一根弹性弹簧组成。当质量块在弹簧的弹力作用下做往复运动时，系统的机械能守恒。这是因为只有保守力（弹力）作用在系统上，而没有外力作用。
04 机械能守恒定律的推论
动量守恒定律
01
总结词
动量守恒定律是描述系统在不受外力作用或外力作用相互抵消时，系统
总动量保持不变的规律。
02 03
详细描述
动量守恒定律适用于封闭系统，即系统与外界没有物质交换和能量交换。当系统受到的外力相互抵消时，系统总动量保持不变，即系统的初始动量和末动量相等。

从三个角度理解机械能守恒定律的应用

高一使用2021年6月■袁兆强在只有重力或弹力做功的物体系统内，械能守恒定律Ex=E2得Tng（Z—动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变，这是机械能守恒定律的内容。

要想深入理解机械能守恒定律的本质，以达到在具体问题的求解中灵活运用的目的，就需要从以下三个不同的角度着手了。

―、从守恒的角度理解在满足机械能守恒条件的研究过程中，任意两个状态下，研究对象的机械能必定相等，即E2=E1o通常情况下，我们会选择一个研究过程的始、末两个状态，根据机械能守恒定律列式求解相关物理量。

注意：研究对象在始、末两状态下的机械能相等，不说明研究对象在研究过程中的机械能一定守恒，只有在研究过程中的任意状态下，研究对象的机械能都保持恒定时，研究对象的机械能才是守恒的。

例1如图1所示，一小球用不可伸长的轻绳悬于O点，小球的质量为祝，绳长为I,在O点正下方的B点固定一颗钉子，O、B两点间的距离为d。

初始时小球位于与O点同在一水平面上的A点，将其无初速度地释放。

为使小球能绕E点做完整的圆周运动，求d的取值范围。

,、、、、、、、、、、、、、、、、、、\\\\虫\/:、\丿图1设小球绕B点做完整圆周运动的轨迹半径为r•，经过C点时的速度为5根据牛顿第二定律和向心力77公式得mg^m一。

在小球从A点运动到Cr点的过程中，只有重力做功，机械能守恒。

取过C点的水平面为零势能参考平面，根据机12—mt;2,解得r^—l o又有1=d十厂，解得/= Z□Z-r>4/o因此为使小球能绕B点做完整□的圆周运动，/的取值范围为百ZW/VZoo片禅运用守恒的观点根据机3””厅械能守恒定律列式求解时，需要选取合适的重力势能的零参考平面，并正确表达研究对象在所选研究过程始、末两状态下重力势能是正，是负，还是零。

二、从转化的角度理解在满足机械能守恒条件的研究过程中，研究对象动能的增加量等于势能（包括重力势能和弹性势能）的减少量，或者研究对象动能的减少量等于势能（包括重力势能和弹性势能）的增加量，即例2如图2所示是游乐场中过山车轨道的一部分，固定在水平地面上的圆形轨道BCD与右侧弧状轨道AB在B点平滑连接，与左侧弧状轨道DE在D点平滑连接。

判断系统机械能守恒及方法

判断系统机械能守恒的方法摘要：从系统的受力情况、系统受力的做功情况，对系统机械能守恒条件进行了总结，介绍了判断系统机械能守恒的方法，应用判断守恒方法解析具体的例题；对系统所受内力的做功情况进行了分析。

关键词：系统机械能守恒内力在高中物理教材中机械能守恒定律的内容是“在只有重力、弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

”此表述不够全面，容易误导学生认为如果有除了重力、弹力的其他力做功的话，则机械能不守恒。

在教学过程中应加以扩展，通过设计的专题使学生对机械能守恒定律有更深入的认识。

物理学中把势能和动能统称机械能，势能存在于具有相互作用的物体之间，也就是说势能应该是相互作用的两个物体共同所有，比如重力势能是物体和地球共有，弹性势能是弹簧和使之发生形变的物体共有。

在讨论势能时必须是多个物体组成的系统，所以在讨论机械能时也应该选一个系统作为研究对象。

如在讨论重力势能时就要选物体和地球为系统，在讨论弹性势能时就要选发生弹性形变的物体和使之发生形变的物体为系统。

对一个系统的受力情况，可以根据施力物体和受力物体是否在所选的系统内，把系统受的力分为外力和内力。

施力物体在所选系统外，而受力物体在系统内，相对系统来说此力就可叫外力，如果施力物体和受力物体都在所选系统内，则此力叫内力。

在讨论重力势能和弹性势能的时候，重力和弹力就是系统所受的内力。

在判断系统机械能是否守恒时可以通过系统内能量的转化来判断，也可以分析内力、外力的做功情况来判断系统的机械能是否守恒。

现把分析内力、外力的做功情况来判断系统的机械能是否守恒的方法介绍如下：一、系统机械能守恒条件如果系统所受的外力满足其中一条，则系统机械能有可能守恒，判断机械能是否守恒不光分析系统所受外力情况，还要看所受内力情况。

如果系统所受外力满足以上条件之一，而系统所受内力又满足以下其中一条，则系统机械能就守恒。

用系统所受内力、外力的做功情况来判断系统的机械能守恒时，外力和内力要同时满足以上条件，机械能才守恒。

多体机械能守恒问题

一.必备知识精讲1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法看是否有其他形式的能与机械能相互转化。

2．三种守恒表达式的比拟角度公式意义考前须知守恒观点E k1＋E p1＝E k2＋E p2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔE k＝－ΔE p系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔE A增＝ΔE B减假设系统由A、B两物体组成，那么A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题3．几种常见类型类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索类型二：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

(易错点)②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能那么可能守恒。

类型三：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a．假设两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。

b．“关联速度法〞：两物体沿杆方向速度大小相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，那么系统机械能守恒。

类型四：几个接触的物体组成的连接体类型五：轻绳、物体轻弹簧组成的连接体〔下一节具体探讨〕二.典型例题精讲题型一：质量均匀的链条模型例1：一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。

假设将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为v a、v b、v c，那么关于v a、v b、v c的关系，以下判断中正确的选项是( )A ．v a ＝v b ＝v c B.v a <v b <v c C ．v c >v a >v b D.v a >v b >v c答案 C解析设桌面下方L 处为零势能面。

对机械能守恒的理解

对机械能守恒的理解对机械能守恒的理解扬州市宝应县画川高级中学于锋随着学习的深入，机械能守恒定律的内容和深度在不断的拓展，由最初的物体在只有重力做功情况下机械能守恒，拓展到含有弹簧的系统机械能守恒，以及多物体的系统机械能守恒问题。

机械能守恒定律在〖教科版〗教材（必修2）中是这样表述的：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

机械能守恒定律的条件拓展为：系统内各物体间发生动能、重力势能、弹性势能的相互转移或转化，而没有转化为其他形式的能量时，系统的机械能就守恒。

它是力学中的一条重要定律，是更普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。

一、机械能守恒条件的全面理解1、从功和能的关系角度理解从功能关系的角度看，重力（弹簧的弹力）做功不会改变物体的机械能，除重力（弹簧的弹力）之外的其他力做功必然发生机械能的转化或转移。

因此，只有重力（弹簧的弹力）做功可具体表现为三种情况：（1）只受重力（弹簧的弹力）而不受其他力的作用。

如自由落体和各种抛体运动（不计空气阻力）。

（2）还受其他力作用，但其他力不做功。

如物体沿固定的光滑曲面运动，尽管受支持力作用，但它不做功。

（3）其他力做功，但做功的代数和为零。

〖情景1〗如图1所示，一固定的楔形木块，其斜面倾角为30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。

一条柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。

物块A与斜面间无摩擦。

设当A沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。

求物块B上升离地的最大高度H。

〖分析〗绳中的拉力TA和TB都做功，这时A和B各自的机械能都不守恒，但WA＋WB＝0，因此，对A和B构成的系统只有重力做功，总的机械能守恒。

对由A和B构成的系统，由机械能守恒定律得：细线突然断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律得：2．从能量转化的角度理解从能量转化角度看，机械能守恒定律是普遍的能的转化与守恒定律的特殊情况，就是指无其他形式的能量（力学中特别是指与摩擦和介质阻力相关的热能）参与转化，只发生动能和势能相互转化的过程，机械能的总量保持不变。

机械能守恒2多物体机械能守恒问题

机械能守恒应用2 多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒 1、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型． 2、模型条件(1)．忽略空气阻力和各种摩擦．(2)．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。

3、模型特点(1)．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒． (2)．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．例1．[转动]质量分别为m 和2m 的两个小球P 和Q ，中间用轻质杆固定连接，杆长为L ，在离P 球L3处有一个光滑固定轴O ，如图8所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：图8(1)小球P 的速度大小；(2)在此过程中小球P 机械能的变化量．答案 (1)2gL 3 (2)增加49mgL 解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q 摆到最低位置时P 球的速度为v ，由于P 、Q 两球的角速度相等，Q 球运动半径是P 球运动半径的两倍，故Q 球的速度为2v .由机械能守恒定律得 2mg ·23L －mg ·13L ＝12mv 2＋12·2m ·(2v )2，解得v ＝2gL3. (2)小球P 机械能增加量ΔE ＝mg ·13L ＋12mv 2＝49mgL[跟踪训练].如图5－3－7所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速度释放。

求当杆转到竖直位置时，轻杆对A 、B 两球分别做了多少功？图5－3－7解析：设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为v A 和v B 。

如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。

系统的机械能守恒问题

Ep1 ?
?( ? 22
)? 4
8
OB段的势能为
mg L mgL
Ep2 ?
?? 24
8
初状态链条的总势能为
mgL(3 ? sinq)
EP ? Ep1 ? EP 2 ?
8
链条的机械能守恒问题
因为在高中阶段不研究任意形状物体的重心问题，所以在计算链条及相似物体的重力势能时，采取的方法如下：
①整体法：把规则形状的链条当作一个整体来研究，重心在其几何中心上。
M、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径 OA
向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
A B
解：(1)该系统在自由转动过程中,只有重力做功,机械能守恒.设A球转到最低点时的线速度为VA,B球的速度为VB,则据
机械能守恒定律可得:
A
mgr ?
mgr 2
?
1 2
mvA2
?
1 2
mvB2
4.5 系统的机械能守恒问题
提出问题守恒条件是什么？
问题1、在拉力 F的作用下使质量为 m 的物体匀速上升机械能是否守恒？为什么？
问题2、小球机械能守恒吗？
F
m
知识回顾：
机械能守恒条件之（3）：有系统内的内力做功，但是做功代数和为零，
系统机械能守恒
F1

机械能守恒问题的解题技巧

机械能守恒问题的解题技巧机械能守恒是物理学中的一个重要原理，用于解决与能量转化和守恒相关的问题。

本文将介绍机械能守恒问题的解题技巧，帮助读者更好地掌握它。

一、了解机械能守恒原理机械能守恒原理指出，在无外力做功的封闭系统中，刚体所具有的动能和势能之和保持不变。

这意味着系统内能量的转化只会导致动能和势能的相互转换，而总能量是守恒的。

二、确定系统边界在解决机械能守恒问题之前，我们首先要明确定义我们所关注的系统。

该系统可能是一个简单的物体，也可能是多个物体的集合。

确切地界定系统边界是解题的基础。

三、计算初始机械能与最终机械能在问题给出的初始条件下，计算系统的初始机械能。

机械能由动能和势能两部分组成，动能可通过物体的质量和速度来计算，势能可通过物体的高度和重力加速度来计算。

同样地，根据问题给出的最终条件，计算系统的最终机械能。

通过比较初始和最终机械能的差异，我们可以得出能量转化的结论。

四、考虑能量转化方式在机械能守恒问题中，能量可以通过多种方式进行转化，例如势能转化为动能，动能转化为势能，或者机械能转化为其他形式的能量损失。

根据问题的描述和给定条件，确定能量的转化方式，并正确计算每种转化的量。

这样一来，我们就能更好地理解能量在系统内的转换过程。

五、利用机械能守恒方程求解问题在确定了系统的边界、计算了初始和最终机械能，并考虑了能量转化方式之后，我们可以利用机械能守恒的方程来解决问题。

根据机械能守恒原理，系统的初始机械能等于最终机械能，即初始机械能 = 最终机械能通过代入相应的数值和符号，我们可以求解出未知量，解决问题。

六、注意能量损失在实际情况下，机械能守恒往往不完全成立。

系统可能会存在能量损失，例如由于摩擦力的作用导致能量转化为热能。

在解题过程中，我们应该注意这些能量损失，并根据问题描述进行相应的修正。

这样可以使解题结果更为准确和合理。

七、多练习，熟能生巧机械能守恒问题涉及到多个概念和计算步骤，因此多做练习是掌握解题技巧的重要方法。

机械能守恒定律-——多物体问题

机械能守恒定律——多物体问题教学目标1、能够判断多物体是否机械能守恒2、能够表达机械能守恒；教学重难点教学重点：1、多物体是否守恒的判断；2、灵活运用机械能守恒表达。

教学难点：1、多物体机械能守恒的判断；2、多个物体速度的关系基础知识归纳1、守恒条件：没有摩擦造成的系统机械能损失而减少；没有人、发动机等输入系统能量造成增加2、表达式（1）系统初状态的总机械能等于末状态的总机械能：设有A 、B 两个物体机械能守恒，则末末初初B A B A E E E E +=+（2）以系统内各种机械能为研究对象：减少的等于增加的，K P E E ∆-=∆动能、势能的改变量的计算方法：①|∆Ep | =|W G |=mgh ②∆E k 增=E K 末—E K 初 ③∆E k 减=E K 初—E K 末（3）以组成系统的物体A 、B 为研究对象： A 减少的机械能等于B 增加的机械能，即B A E E ∆-=∆典例精析【例1】如图，质量为m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，这时砝码的速率为多少？解析：解法一：对木块和砝码组成的系统内只有重力势能和动能的转化，故机械能守恒，以砝码末位置所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得：()mgh mgH v m mgH mv 22212122+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得gh v 34= 解法二：对木块和砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆-=∆，即()mgh v m mv 22212122=+，解得gh v 34=解法三：对木块和砝码组成的系统机械能守恒，B A E E ∆-=∆，即()22221221v m mgh mv -=，解得gh v 34= 【例2】如图，质量为m 的砝码用轻绳绕过光滑的定滑轮与质量为M （M >m )的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地,求：这时砝码的速率为多少？解析：两个砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆=∆-，即()221v m M mgh Mgh +=-，解得gh mM mM v 2+-=．【例3】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A 和B 连接，A 的质量为4m ，B 的质量为m 。