同济大学 工程经济学二

•n1
•n
• 若某人第1年支付一笔10000元的保险金，之后9 年内每年少支付1000元，若10年内采用等额支 付的形式，则等额支付款为多少时等价于原保 险计划? 解：A=10000-1000(A/G8,10) =10000-1000*3.8712 =6128.4元
2.名义利率和有效利率
• 有效利率：资金在计息期所发生的实际利率 • 名义利率：一般指年利率，不考虑计息期的大 小 – 一个计息期的有效利率i与一年内的计息次数 n的乘积 r=i×n 例如：月利率i=1%，一年计息12次， 则r=1%*12=12% • 年有效利率
•例3-10求等值状况下的利率。假如有人目前借入 2000元，在今后2年中分 24次偿还。每次偿还 99.80元。复利按月计算。试求月有效利率、名义利 率和年有效利率。 •解 99.80=2000（A/P，i，24） • （A/P，i，24）= 99.80 = 0.0499 2000 • 查附表五，上列数值相当于 i=1.5%。因为计息期是一个月，所以月 有效利率为 1.5%。名义利率 • •年有效利率 r= （每月1.5%）×（12个月）=每年18%
∞
等值计算实例
– 计息期与支付期相同 – 计息期短于支付期
•例3-4 当利率为多大时，现在的 300元等值于第9年年末的525元？ •解
F = P ( F / P, i , n )
525 = 300(F / P, i,9) (F / P, i,9) = 525 = 1.750 300 • 从利息表上查到，当 n=9，1.750落在6%和7%之间。从6%的表上查到 1.689，从7%的表上查到1.838。用直线内插法可得
其中（1+i）n称为一次支付复利系数记为 （F/P i,n）
F = P(1 + i )
n
• 现金流量图
•F
•0 •1 •P •2 •3 •n1 •n
• 某企业投资1000万元进行技术改造，年利率7 %，5年后可得本利共多少？ 解：F=1000（1+7%）5 =1000（F/P7，5） =1000×1.4026 =1403万元
1 2 3 4 … n
P P(1+i) P(1+i)2 P(1+i)3 P(1+i)n-1
Pi P(1+i)i P(1+i)2i P(1+i)3i
P(1+i) P(1+i)2 P(1+i)3 P(1+i)4
P(1+i)n-1i P(1+i)n
复利计息
• 复利计息是指将这期利息转为下期的本金，下 期将按本利和的总额计息。不仅本金计算利 息，利息再计利息。 – 计算公式：
• 一次支付现值公式
1 P = F (1 + i ) n
式中1/（1+i)n称为一次支付现值系数，记(P/F i,n)
• 某企业对投资收益率为12%的项目进行投资，欲 五年后得到100万元，现在应投资多少？ 解：P=100（1+12%）-5 =100（P/F 12，5） =100×0.5674 =56.74万元
•
•例3-7 年利率12%，每半年计息一次，从现在起，连续 3年，每半年未 100元的等额支付，问与其等值的第 0年的现值为多大？ 12% •解 每计息期的利率 i= = 6% （每半年一期） 2期 •n=（3年）×（每年2期）=6期 • P=A（ P/A，6%，6）=100× =491.73（元） • 计算表明，按年利率 12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续 3 年每半年支付 100元的等额支付与第 0年的491.73元的现值等值。
•
•例3-6 当利率为10%时，从现在起连续 5年的年末等额支付为 600元，问与 其等值的第 0年的现值为多大？ •解 • • • 计算表明，当利率为 10%时，从现在起连续 5年的600元年末等额支付 与第0年的现值2274.50元是等值的。 P=A （ P/A，10%，5 ）=600× 3.7908=2774.59（元）
•例3-1 有一个总公司面临两个投资方案 A，B，寿命期都是4年，初始投资 也相同，均为10000元。实现利润的总数也相同，但每年数字不同，具体 数据见表3-l。
•表3-1 投资方案的现金流 （单位：元）
利息的计算
• 利息：指通过银行借贷资金，所付或得到的比 本金多的那部分增值额； • 利率：在一定的时间内，所获得的利息与所借 贷的资金（本金）的比值
r⎞ ⎛ P ⎜1 + ⎟ − P n r n ⎛ ⎞ ⎠ ie = ⎝ = ⎜1 + ⎟ − 1 P n⎠ ⎝
n
例如：名义利率r=12%，一年计息12次， 则i=（1+1%）12-1=12.68%
•名义利率和有效利率
• 离散复利：一年中计息次数是有限的 • 连续复利：一年中计息次数是无限的
i =e −1
i (1 + i ) n (0.05 / 12)(1 + 0.05 / 12) 240 A = P⋅ = 105 × = 105 × 0.006599 = 0.6929 （万元） (1 + i ) n − 1 (1 + 0.05 / 12) 240 − 1
•即每月要还款近 7000元。 •这种还款方式下，年实际有效利率为
•
⎛ i = ⎜1 + ⎝
r⎞ ⎛ 0.18 ⎞ ⎟ − 1 = ⎜1 + ⎟ − 1 = 19.56% n⎠ 12 ⎠ ⎝
n
12
• 例3-14 某人购买一套住房总价 150万，其中申请70% 期限为20年、年 利率为5%的商业抵押贷款，约定按月等额还款。每月要还多少？这种贷 款的年有效利率是多少？ • 解 贷款总额 P=150× 70%=105万元，每月还款额为
(二) 等额还本
这种方式要求借款人每期归还等额的本金外，再加上每期的利息支 付。这种方式对借款人初期的还款压力较大 。
•表3-6
年份 年初欠款 年末还本付息 其中付息 还本 年末欠款 1 100.00 25.94 5.94 20.00 80.00
• •
(一) 等额还款
这种方式是要求借款人每期归还相等的金额，直至到约定的期限还 清本金和利息。这种还本付息方式便于借款人记忆和均匀地筹集还款数 额。
•
表3-5
年份
等额还款方式计算表
1 100.00 23.70 5.94 17.76 82.24 2 82.24 23.70 4.89 18.82 63.42 3
r
计息期 年 半年 季度 月 周 日 连续
一年中的计息期 各期的有效利率 数 1 2 4 12 52 365 12.0000% 6.0000% 3.0000% 1.0000% 0.2308% 0.0329% 0.0000%
年有效利率 12.000% 12.360% 12.551% 12.683% 12.736% 12.748% 12.750%
均匀梯度系列公式
⎡1 n ⎤ A = A1 + G⎢ − ( A / F i, n)⎥ ⎣i i ⎦
式中[i/1-n/i(A/F i,n)]称为梯度系数，记为（A/G i,n)
• 现金流量图
•A1+2 •A1+3 G •A1+G G
•A1+(n•A1+(n-2)G 1)G
•A1 •0 •1
•2
•3
⎛ 1.689 − 1.750 ⎞ i = 6% + ⎜ ⎟ × 1% = 6.41% ⎝ 1.689 − 1.838 ⎠
• 计算表明，当利率为 6.41%时，现在的300元等值于第9年年末的525元。
•例3-5 当利率为8%时，从现在起连续 6年的年末等额支付为多少时与第 6 年年末的1000000元等值？ •解 • A=F（ A/F，8%，6 ）=1000000× 0.1363 =136300（元/年） • • 计算表明，当利率为 8%时，从现在起连续 6年136300元的年末等额支 付与第6年年末的1000000元等值。
• 等额支付系列现值公式
(1 + i ) n − 1 P = A i (1 + i ) n
• 式中[(1+i)n-1]/[i(1+i)n]称为等额支付系列现值系数， 记为（P/A i,n)
• 某工程项目每年获净收益100万元，利率为10 %，项目可用每年获净收益在6年内回收初始投 资，问初始投资为多少？ 解：P=100（P/A 10，6）万元 =100×4.3553万元 =435.53万元
• 等额支付系列积累基金公式
A= F
i n (1+i) −1
• 式中i/[(1+i)n-1]为等额支付系列积累基金系 数，记为（A/F i,n)
等额支付系列积累基金公式
• 某公司5年后需一次性还一笔200万元的借款， 存款利率为10%，从现在起企业每年等额存入银 行多少偿债基金？ 解：A=200（A/F 10，5）万元 =200×0.1638万元 =32.75万元
� 方法一，计息期向支付期靠拢，求出支付期的有 效利率。 年有效利率 4
0.12 ⎞ ⎛ i = ⎜1 + ⎟ − 1 = 12.55% 4 ⎠ ⎝
P = 500 P 12.55,6 = 2024 •( A 元)
(
)
•3.4 常用的还本付息方式
•
在现代货币市场中，借款人与银行（债权人）事前约
定还款的方式和期限，惯用的方式有等额还款、等额还本、 每期付息到期一次还本和本息到期一次总付等四种方式。
• 等额支付系列资金恢复公式
i (1 + i ) n A=P n (1 + i ) − 1
• 式中i(1+i)n/[(1+i)n-1]为等额支付系列资金恢复系 数，记为（A/P i,n)