第五章 量子跃迁

H m n
* m
(r
)
H
n
(r)d
微扰矩阵元
玻尔条件
mn
m
n
• （3）式是一阶微分方程组，未知元为 am (t), m 1,2,3,
•
是薛定谔方程在能量表象中的表示。
原则上可由初始条件 an (0) nk [t 0
时体系处在
k
(r ,
t
)
态，这时
(r ,0)
an
(0)n
(r ,0)
(m k )的出现，反映了能级跃迁过程中的能量守恒，
因为只有 m k 0 wkm 0
• 可以证明 wkm wmk
即同一原子同样二个能级之间的激发或跃迁的几率一样
三、光的吸收与发射
•
上一节介绍了在周期性微扰下原子受激发射与吸收的
跃迁几率的计算，但一般情况下，原子以自发发射为主，
• •
处其由t在中量 子0 m展时力(r开，学,t)系体原的数系理几处知a率m在，，t(一t即)系0从时列?，k可(r体能其,t系态)物处理1在意(rm定,义(t)r态是,t)什m的k么((rr跃？,,tt迁))几；，率
为：
Wkm am (t) 2
• 关键是如何求出展开系数 am (t) 要严格求解薛定谔方程
Hˆ 0
Hˆ
Hˆ0
Hˆ (t)
波函数 k (rLeabharlann Baidu) (r,t)
(r ,
t)
满足
Schrodinger方程
i
(r , t)
Hˆ
(r ,
t)
（1）
t
(r , t )
?
• 把 (r , t) 按本征函数系{ k (r ,t) }展开
(r ,t) am (t)m (r ,t)
m
（2）
C．当微扰频率
不
~
原子能级间频率
± mk
二项都忽略，对应原子既不激发，也不跃迁。
总之，只有当外界微扰频率 与原子能级间频率 mk
相当时，原子才会激发（吸收）或跃迁（发射）。
（玻尔条件）
这样
am (t)
Fmk
ei(mk )t 1
(
)
mk
_号对应吸收 +号对应受激发射
Wk m
am (t) 2
的几率。
1、 爱因斯坦的光吸收与发射理论
（1 ） 光子辐射与吸收的三种过程、三种系数 三种过程：
吸收
自发辐射
受激辐射
三种系数：
a 自发辐射系数 Amk :----原子在单位时间自发从
m 跃迁到 k ，并发射光子 mk的几率。
b．受激辐射系数 Bmk -----在频率从mk mk d
范围、强度为
Fmk
e 1 i(mk )t
(
)
mk
2
4 Fmk
2 sin
2
1 2
(
mk
)t
2 (mk )2
•
当t足够长，利用 lim sin 2 xt (x)
得跃迁几率：
t x 2 t
与
(ax)
1 (x)
a
，
Wk m
2t
Fmk
2 ( m
k
)
单位时间跃迁几率
wk m
Wk m t
2
Fmk 2 ( m k )
]，求解（3）可得
n
am (t), m 1,2,3,
实际上无法精确求解，因为（1）方程个数无限多；（2）每
个方程又含无限多个H m n 只能近似求解，注意到在方程式 的右边已含一级微量H m n，则在考虑一级近似时 用 an (t) 的
零级近似 nk 代替 an (t)
得
i
d dt
am
(t )
m 跃迁到 k
通常是很困难的。只能采用含时微扰方法求解。
2．计算跃迁几率的含时微扰方法
将（2）式代入（1）式得
i
n
n
dan (t) dt
n
an (t) H n
上式推导过程中运用了
i
n
(r ,
t
)
t
H
0
n
(r , t)
将
* m
d
左乘上式得
i
d dt
am (t)
n
H m nan (t)eimnt
（3）
其中
及
H
Hmmkk
am (t)
Wkm
二、跃迁几率
• 这一节给出了在两种具体含时微扰情况下：
常微扰 即0→t时间内， Hˆ (t)=C；
周期性微扰 Hˆ (t) Aˆ cost
我们只介绍周期性微扰 （光照射原子就属于这种微扰）
为便于下面计算，将上式写成指数形式：
k
(r )
H (t) Fˆ (eit eit ), 与 k 是未微扰前的哈密顿算符
Fˆ
Hˆ 0
Aˆ / 2
的本征态与能量
Hˆ
0
k
(r )
k
k
(r )
跃迁几率公式为 Wkm am (t) 2
1
am (t) i
t
H
mk
(t
)eimkt
dt
0
先求
H
mk
(t
)
m H (t) k
Fmk (eit eit )
am (t)
1 i
t 0
Fmk
(eit
eit )eimktdt
Fmk
量子跃迁
• § 5.6—5.9，共计4节，介绍与时间有关的微扰理论，
即微扰哈密顿算符 Hˆ (t)与时间有关。这里含时微扰主要
用于讨论原子能级的跃迁几率问题。光谱分析中有两个重
要观测量—谱线频率与谱线强度，前者取决于能级跃迁的 初末态能量之差，后者则与跃迁几率成比例，因此跃迁几
率在光谱分析中是很重要的物理量。
H eimnt nk mn
H m k eimkt
n
• 最后得
1
am (t) i
t
H
mk
(t
)e
i
mk
t
dt
0
所以，从
k
跃迁到
的跃迁几率为
m
（4）
Wkm am (t) 2
（5）
这就是用含时微扰方法计算跃迁几率的一般公式。关键是求
Hˆ (t) 的矩阵元H m k (t)。可见，已知
H 0 本征函数、本征值
那么自发发射的跃迁几率如何计算？这涉及到原子与光子
的相互作用问题，处理光子要考虑相对论效应，严格求解
要用量子电动力学。本节介绍爱因斯坦的关于光的吸收与
发射的半唯象理论，借助物体与辐射场平衡时的热力学关
系，建立起自发辐射(或自发发射)与受激辐射（或受激发
射）、吸收的关系，从而由受激辐射的几率求出自发辐射
ei(mk )t (
1
mk
ei(mk )t 1 )
mk
• 现结合物理具体情况要作进一步简化
A. 当微扰频率 ~原子能级间频率 mk
第一项忽略
∵
mk
m
k
∴
m k
对应光吸收，原子向高能级激发跃迁
• B．当微扰频率 ~原子能级间频率 mk ，
第二项忽略
∵
mk
m
k
∴
m k
对应原子光发射（受激发射），原子向低能级跃迁
一、与时间有关的微扰理论
1、计算跃迁几率的量子力学描述
当t≦0时
粒子处于本征态
k
(r )
本征能量 k
满足
Hˆ
0
k
(r )
k
k
(r )
• 定态波函数为
k
(r ,
t)
k
(r )e
i
k
t
满足 Schrodinger 方程
i
t
k
(r ,
t
)
Hˆ
0
k
(r ,
t
)
当t≧0时, 加一个含时微扰 Hˆ (t)