非线性耦合的复杂网络自适应同步_梁义

j=1 j¹i j=1 j¹i N N
（2）
设 s(t) Î Rn 是一个孤立结点的状态向量， 满足
ṡ (t) = f (s(t))
（12）
（3）
2
设 Lyapunov 函数为：
V = 1 å eiT ei + 1 å 1 DiT Di (i = 1 2 N ) （13） 2 i=1 2 i = 1 γi
h:Rn ® Rn 为一个耦合函数； 耦合强度； G = (gij) Î R N ´ N
n
n
下面证明上述自适应同步方案在非线性耦合的 情况下是同步的， 且 f 满足一定条件下， 其同步解是 局部或全局渐进稳定的。 h 满足假设 3， 结论 1 如果 f 满足假设 1， 那么 自适应同步方案同步， 且其同步解 s 局部渐进稳定。 证明 由式 （3） 、 （5） 、 （9） 和 （10） ， 得如下误差微 分方程： ė i (t) = ẋ i (t) - ṡ (t) = f ( xi) - f (s) +
i=1 N i=1 j=1 N
N
N
| | h(x ) - h(s)
2 j
2
-
将方程式 （1） 后加一控制器 ui (t) ， 即将网络上每 个结点都加上控制器， 得下面的方程：
ẋ i (t) = f ( xi (t)) + σ å gij h( x j (t)) + ui (t)
j=1 N
σ å gij h( x j) + Ki ei (i = 1 2 N )
j=1 N
是耦合矩阵， 其元素定义为： 如果从结点 j 到结点 i
(i ¹ j) 存在链接， 那么 gij = 1 ； 否则，gij = 0 。另外， 假
设 G 满足耗散条件：
gii = - å gij = - å g ji (i = 1 2 N )
点。证明了动力系统满足给定条件下， 该同步方案同步， 且同步解是局部和全局渐进稳定的。两个计算机仿 真实例分别展示了在无标度网络和最近邻耦合网络上的同步误差变化趋势， 验证了同步方案的有效性。 关键词： 复杂网络； 自适应同步； 非线性耦合 文章编号： 1002-8331 （2012） 10-0025-04 文献标识码： A 中图分类号： TP391.9
̇ T D + DiT D ̇ i) = V̇ = 1 å (ė iT ei + eiT ė i) + 1 å 1 ( D 2 i=1 2 i = 1 γi i i ̇ i = å eiT[ f ( xi) - f (s) + eiT ė i + å 1 DiT D å γ i=1 i=1 i i=1
ˉ = (σl|gij|) N ´ N 为一对称矩阵， 其中 G e = ( e1 e 2
2 2
（10）
ˉ + (α - d ) I N 是 e N )T 。显然可以令 d 取适当值使 G
2
自适应因子 Ki = diag(ki1, ki2, kin)(i = 1,2, N ) 自适应规则如下： ìk̇ i1 = - γi ei21 ï ïk̇ i2 = - γi ei22 í ï ïk̇ = - γ e 2 i in î in
其中常数因子 γi > 0(i = 1 2 N ) 。由式 （9） 、 3.2
其中 xi (t) = ( xi1(t) xi2 (t) xin (t)) Î R 为第 i 个状态
T
n
渐进稳定性证明
向量；f:R ® R 是一个非线性光滑函数； σ 是网络
d å eiT ei £ (α - d )å eiT ei +
ˉ + (α - d ) I N ]e （14） σl å å| gij | ei e j = e T[G
i=1 j=1 2 2
i=1 N N
i=1
（9）
其中 i = 1 2 N。
ui (t) = Ki ei (i = 1 2 N )
N N
当 tlim xi (t) - s(t) = 0 (i = 1 2 N ) ®¥ 称复杂网络 （1） 实现同步。记
ei (t) = xi (t) - s(t)
（4） （5）
其中 Di = (ki1 + d ki2 + d kin + d )T ， d 为一待定常数。 对 V 微分， 并利用式 （11） 、 （12） 及假设 1 和假 设 3， 得：
( x - y)T[ f ( x) - f ( y)] £ ω( x - y)T ( x - y)
N
N
N
N
N
（6）
假设 2 设存在一非负常数 ω 和任意的 x y Î Rn ， （7）
假设 3 设存在一非负常数 l 和任意的 x y Î Rn ， 使得
eiT[ f ( xi) - f (s)] + σ å å gij eiT (h( x j) å i=1 i=1 j=1 h(s)) - d å eiT ei = å eiT (t)Jf (s)ei (t) +
σ å gij (h( x j) - h(s) + ki ei] - å (eiT ki ei + deiT ei) =
j=1 i=1 N N
为同步误差向量。 下面给出相关的假设， 以便后面的结论证明。 假设 1 设 Jf (s) 为 f 在 s 点的 Jacobian 矩阵， 且 即存在一非负常数 α ， 使得 Jf (s) 2 是有界的， Jf (s) 2 £ α 使得
1
引言
1998 年， Watts 和 Strogatz 在 Nature 杂志上发表
[1]
地， 人们都是选择网络的每条边的耦合强度为恒定 值， 但这种假设是不现实的。因为网络的耦合强度 总是随着环境的变化而不断变化， 这些网络有无线 传感网络、 机器人控制网络和生态网络等。因此， 研 究耦合强度随时间变化的自适应同步显得尤为必要， 一些研究人员提出了不同的自适应同步方法[17-21]。上 述的方法各有特点， 但都是考虑耦合函数为线性的 情况。本文提出了一种新的自适应同步方案， 其自 适应规则形式简单、 设置灵活、 实用； 耦合函数为采 用非线性耦合。
梁
义， 王兴元： 非线性耦合的复杂网络自适应同步
2012， 48 （10）
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h 满足假设 3， 结论 2 如果 f 满足假设 2， 那么
其中 xi = ( xi1 xi2 xi3)T ， 当 a = 10 ，r = 28 ， 系 b=8 3 ， 统呈现混沌。 仿真实例一： 使用 Barabási-Albert 模型， N0=5， 构 建结点数为 100 的无标度网络。令 h( xi) = ( xi21 cos( xi2)
一个负定矩阵。 由 Lyapunov 稳定性定理有：
t®¥
lim ei = tlim xi (t) - s(t) = 0 (i = 1 2 N )（15） ®¥
2 2
（11）
即当 f 满足假设 1， 且 h 满足假设 3 时， 自适应同步 方案同步， 且其同步解局部渐进稳定。 下面给出第二个结论。
[10-16]
2
基础知识
考虑由 N 个相同结点构成的复杂网络， 其中每
。一般
基金项目： 国家自然科学基金 （No.60573172， No.60973152） ； 高等学校博士学科点专项科研基金 （No.20070141014） ； 辽宁省自然 科学基金 （No.20082165） 。 作者简介： 梁义 （1966—） ， 男， 博士生， 副教授， 主要研究领域为复杂网络， 非线性控制； 王兴元 （1964—） ， 男， 博士， 教授， 博士生导师。 收稿日期： 2011-07-13 修回日期： 2011-12-12 CNKI 出版日期： 2012-01-05 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2012.10.007 /kcms/detail/11.2127.TP.20120105.1705.017.html
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Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
个结点是一个 n 维动力系统[10]：
ẋ i (t) = f ( xi (t)) + σ å gij h( x j (t)) (i = 1,2, N )（1）
j=1 N
i=1 i=1 N N
N
N
N
h( x) - h( y) 2 £ l x - y 2
3 自适应同步方案及稳定性证明 3.1 自适应同步方案
（8）
σ å å g e (h( x j) - h(s)) - d å eiT ei £
i=1 j=1 N T ij i i=1
N
N
N
α å eiT ei + σl å å gij eiT
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用
2012， 48 （10）
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非线性耦合的复杂网络自适应同步
2 梁 义 1， ， 王兴元 1 2 LIANG Yi1， , WANG Xingyuan1
1.大连理工大学 电子信息与电气工程学部， 辽宁 大连 116024 2.伊犁师范学院 电子与信息工程学院， 新疆 伊宁 835000 1.Faculty of Electronic Information and Electrical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024, China 2.Department of Electronics and Information Engineering, Yili Normal College, Yining, Xinjiang 835000, China LIANG Yi, WANG Xingyuan. Adaptive synchronization in complex networks through nonlinearly coupling. Computer Engineering and Applications, 2012, 48 （10） ： 25-28. Abstract： In this paper, one adaptive synchronization scheme in complex networks is presented through nonlinearly coupling, whose adaptive law is simple and practical, and application scope is broader. The asymptotic stability of the synchronization is proven for the adaptive synchronization scheme by using Lyapunov stability theory. Two numerical simulations show the effectiveness of the scheme in a scale-free network and a nearest-neighbor coupled network. Key words： complex networks; adaptive synchronization; nonlinearly coupling 摘 要： 提出了一种通过非线性耦合的复杂网络自适应同步方案， 方案具有自适应律简单和应用范围广等特