高中不等式的基本知识点和练习题含答案

不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)

(5)倒数法则：b

a a

b b a 1

10,<⇒

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n

且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆，则不等式的解的各种情况

如下表：

2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202

3

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()

()

0()()0;0()0

()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨

≠⎩ 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

()f x

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

2

a b

+≤

1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 变形： 有:a+

b ≥ab 2；ab ≤2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号

.

3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;

如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4

2

S .

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，

正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1

(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（

2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的

2211

a b a b

+≥≥≥+∈

222

a b c ab bc ca ++≥++a b c ==0,0a b m >>>b b m a a m

+<+