高中数学向量专题复习(知识点+典型例题+大量习题附解析)精编材料值得拥有pdf版

叫共线向量）
记为 a∥b ，规定 0 与任意向量共线
长度相等方向相同的向量
记为 a b ，相等一定平行，平行不 一定相等
长度相等方向相反的向量
a b ， AB BA
判断下列命题是否正确：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 例1
在 ABCD 中，AB a ，AD b ，AN 3NC ，M
为 BC 的中点，则 MN _____．
例 6 解析： AN 3 AC 3 (a b) ， AM AB BM AB 1 AD a 1 b ，
4
4
2
2
所以 MN AN AM 1 a 1 b ． 44
答案： 1 a 1 b 44
4 | 39
[平面向量]
向量共线定理：向量 a (a 0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a ．
应用：解决三点共线问题． 重要结论：
图形
条件 结论
A，B，C 三点共线，A 与 B ABC 中，D 为 BC 边上
不重合，P 是直线外一点 的中点
PC PA (1 )PB
AD 1 (AB AC) 2
答案：A
ABC 中， AM 1 AC ， AD mAB 2 AC ，则
2
9
m ______．
例8
解析： AD AB (1 )AM AB 1 (1 )AC mAB 2 AC ，
2
9
则 1 (1 ) 2 ，解得 5 ，则 m 5 ．
2
9
9
9
答案： 5 9
设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB，的中
G 为 ABC 的重心 GA GB GC 0
已知向量 a ， b ，且 AB a 2b ， BC 5a 6b ， CD 7a 2b ，则一定共线的
三点是（ ）
例 7 A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析： AD AB BC CD 3a 6b 3AB ，所以 AD∥AB ，A，B，D 共线．
2．向量的线性运算 运算
加法
几何表示
意义
a b AB BC AC 三角形法则
类比“位移之和” 首尾相连，首位连
a b AB AD AC 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线
减法
a b AB AC CB
共起点，后指前
长度变为| | 倍
0 ，方向相同
数乘
0 ，方向相反
[平面向量]
平面向量
平面 向量
平面向量的概念 与线性运算
平面向量基本定理 及坐标表示
平面向量的数量积
向量概念及表示 向量的线性运算 平面向量基本定理 正交分解及坐标表示
坐标运算 数量积的定义 数量积的性质
1 | 39
[平面向量]
一、平面向量的概念与线性运算
1．向量概念及表示 定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． 表示：
3 | 39
[平面向量]
如图：正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF （ ）
A． 0 例3
B． BE
CA DE ，故 BA CD EF CD DE EF CF ．
答案：D 根如图所示，已知正六边形 ABCDEF，O 是它的中心，若
BA = a ， BC = b ，试用 a ， b 将向量 OE ， BF ， BD ，
有向线段
小字母上加箭头
起点到终点，大字母加箭头
向量的长度（模）： a 或 AB 的模记作| a | 或 | AB | ．
几种特殊向量： 特殊向量
定义
备注
零向量 长度为 0 的向量
记作 0 ，方向任意
单位向量 平行向量 相等向量 相反向量
长度等于 1 个单位的向量
a 即为单位向量 |a|
方向相同或相反的非零向量（也
0 ，a 0
例如： AB+BC CD AD ， AB+BC CA 0 ， BC BA AC ， DE DF FE ． 向量不等式：|| a | | b || | a b | | a | | b | （等号在向量 a ， b 共线时取得）． 例如：| a | 3 ， | b | 5 ，则 | a b | 的最大值为 8，当且仅当 a ， b 同向时取到；最小值为 2， 当且仅当 a ， b 反向时取到．
点，则 EB FC （ ）
例 9 A．AD
B．1 AD 2
C．BC
D．1 BC 2
解析： EB FC (BE CF) 1 (BA BC CA CB) 1 (AB AC) AD .
2
2
答案：A
5 | 39
[平面向量]
已知 ABC 和点Ｍ满足 MA MB MC 0 ，若存在实数 m 使得
FD 表示出来.
例4
解析： OE BO a b ； BF BA AF BA BO 2a b ；
BD BC CD BC BO a 2b ； FD AC BC BA b a ．
答案： a b ， 2a b ， a 2b ， b a
若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足| OB OC || OB OC 2OA| ，则 ABC 的形状为_______． 解析： OB OC 2OA (OB OA) (OC OA) AB AC ， 例5 OB OC CB AB AC ，带入可得| AB AC || AB AC | ，用平行四边形法则 考虑，等号两边为平行四边形的两条对角线的长，可知四边形为矩形，所以 ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形
解析：（1） AB 和 BA 互为相反向量，它们长度相等，方向相反，命题正确； （2）平行向量方向相同或相反，命题正确． 答案：（1）正确 （2）正确 根据下列各题中的条件，分别判断四边形 ABCD 的形状． 例2 （1） AD BC ；
2 | 39
[平面向量]
（2） AB DC 且| AB || AD | ． 解析：（1） AD BC 说明 AD 和 BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形； （2） AB DC 说明 AB 和 DC 相等且平行，为平行四边形，| AB || AD | 说明两临 边相等，为菱形． 答案：（1）平行四边形 （2）菱形