2018年高考文科数学(全国I卷)试题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干 净
后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

-、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 .已知集合 A 二{0,2} , B 二{・2,-1,0,1,2},则 A 「B
变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:
A . 3A
B 1A
C 4 4绝密★启用前
A . {0,2} B. {1,2} C. {0} D. { 2, 1,0,1,2}
、儿 1 i
2.设z ——
1 i
则|z|
A. 0
B. C. 1
3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍, 实现翻番
.为更好地了解该地区农村的经济收入
下%|其他收入
A.新农村建设后,
B.新农村建设后,
C.新农村建设后,
D.新农村建设后, 种植收入减少
其他收入增加了一倍以上 养殖收入增加了一倍
养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.已知椭圆
1的一个焦点为 (2,0),则C 的离心率为
2.2 D. 2^-2-
3
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为
则该圆柱的表面积为。

1 ,。

2 ,过直线。

1。

2的平面截该圆柱所得的截面是面积为
8的正方形,
A. 12点兀
6.设函数f(x)
B. 12 n
3
2
x (a 1)x ax.右
C, 8我兀
f(x)为奇函数，则曲线 D. 10 n
y f (x)在点(0,0)处的切线方程为
B. y x
C. y 2x
7.在 4ABC 中,
AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
B. -AB 3 AC
4 4
种植收入
养好收A
建设前经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
第三产业收入
2
8 .已知函数f(x) 2cos x
9 .某圆柱的高为2,底面周长为i6,其三视图如右图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,圆柱
A . 2折 B, 2^/5 C. 3 D. 2
BC 2 , AC i 与平面B 巳C i C 所成的角为30 ,则该长方体的体积为
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共 60分。

B. C. D. f(x)的最小正周期为 f (x)的最小正周期
为 f(x)的最小正周期为 f(x)的最小正
兀，最大值为 兀，最大
2n,最大值为3 表面上的点N 在左视图上的对应点为
B, B. 642
C. 8a
ii.已知角
的顶点为坐标原点，始边与
2 -
x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1,a) , B(2, b),且cos2 —,则 3
|a b| A.- 5
C.
2.5 5
D. i
i2.设函数 f(x) 2 i
,x< 0,
x 0,则满足
f(x i) f (2x)的x 的取值范围是
二、填空题: ，i]
B • (0，)
C. (i ，0)
D. (
,0)
本题共 4小题，每小题5分，共20分。

13 .已知函数f(x)
2
10g 2 (x a).若 f (3) 1 ,则 a
14 .若x , y 满足约束条件
x 2y x y y w
2 w 0,
1>0,贝U z
3x 2 y 的最大值为
2
15 .直线y x 1与圆x 2
y 2y
B 两点，则|AB|
i6. AABC 的内角 A, B ,
的面积为
2
C 的对边分别为 a, b, c.已知 bsinC csinB 4asinBsinC , b 2
2
c a 8,贝必ABC
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第
i7〜2i 题为必考题, 每个试题考生都必须
10.在长方体 ABCD A iB C i D i 中，AB
则在此圆柱侧面上，从
a
n
已知数列｛ a n｝满足& 1, na n i 2(n 1)a n.设b n
(1)求bi , b2, b3;
(2)判断数列｛b n｝是否为等比数列，并说明理由;
(3)求｛a n｝的通项公式.
18.(12 分)
如图，在平行四边形ABCM中，AB AC 3, ACM 90 .以AC为折痕将△ ACM折起，使点M到达点D 的位置，且AB DA .
(1)证明：平面ACD 平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP DQ 2 DA ,求三棱锥Q ABP的体积.
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据, 得到频数分布表如下：
日用水量[0, 0.1)
[0.1 ,
0.2)
[0.2,
0.3)
[0.3,
0.4)
[0.4,
0.5)
[0.5,
0.6)
[0.6,
0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量[0, 0.1) [0.1 , 0.2) [0.2, 0.3) [0.3, 0.4) [0.4, 0.5) [0.5, 0.6) 频数 1 5 13 10 16 5
在答题卡上作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图;
频率组即
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所
在区间中点的值作代表.)
20．（12 分）
0,2 1 -
0 0.1 0.2
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于
0.3 0.4 0.5
0.6
0.35m的概率；
设抛物线C: y2 2x，点A(2,0) , B( 2,0),过点A的直线l与C交于M , N两点.
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：ABM ABN.
21．(12 分)
已知函数f(x) ae x ln x 1.
(1)设x 2是f(x)的极值点，求a ,并求f(x)的单调区间;
(2)证明：当an 1时，f(x)>0.
e
(二)选考题：共10 分。

请考生在第22、23 题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]( 10 分)
在直角坐标系xOy中，曲线C i的方程为y k|x| 2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为2 2 cos 3 0 .
(1)求C2的直角坐标方程；
( 2)若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程.
23．[选修4－5：不等式选讲]( 10 分)
已知f (x) | x 1| | ax 1| .
( 1)当a 1时，求不等式 f (x) 1 的解集；
(2)若x (0,1)时不等式f(x) x成立，求a的取值范围
绝密★启用前
、选择题
2 .
3 .
7. A 8
. 9 .
二、填空题
13. 7 14.15
. 2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案
4
.
5. B
6. D
10
.
16
.
11. B 12. D
2,3
3
三、解答题
17.解：
(1 ) 由条件可得a n
2(n
n
1代入
得,
a
2
，所以，a2 4. 2代入
得,
a3 3a2,所以，a3 12.
从而b1 1 , b22, b3 4.
(2)｛b n｝是首项为1 ,公比为2的等比数列.
由条件可得a n 1 2a
—n ,即b n 1 20 ,又“ 1 ,
n
所以｛b n｝是首项为1 ,公比为2的等比数列.
(3)由（2）可得a n n 1 n 1 一2 ,所以a n n 2
n
18.解:
(1 ) 由已知可
得,
BAC 90 , BA AC.
又BA AD ,所以AB 平面ACD.
又AB 平面ABC ,
所以平面ACD 平面ABC .
（2）由已知可得，DC CM AB 3, DA 3收
一 2 __
又BP DQ -DA,所以3 BP 2 2.
作QE AC ,垂足为E , 则QE"11DC .
3
由已知及（1）可得DC 平面ABC ,所以QE 平面ABC , QE 1. 因此，三棱锥Q ABP 的体积为
V Q ABP 111 3 2 2sin45 1.
3 2
0 OJ 0.2 OJ 0.4 03 <).6 ||川水/，。

1
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50天日用水量小于0.35m 3
的频率为
0.2 X0.1 +1 X0」-2.6X0,1^2X0.05- 0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于
0.35 m 3的概率的估计值为 0.48 .
(3)该家庭未使用节水龙头 50天日用水量的平均数为
x 4(0.05 % -0.15X3+0,25X2+0.35X4 — 0.45乂9— 0.55*26+。

,65*5)= 0.48. 该家庭使用了节水龙
头后50天日用水量的平均数为
%=^(0.05 /1 -0.15/5 10,25\13-0.35^10^0.45/16- 0.55/ 5)= 0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水
(0.48 -0,35)，365二47.45 (m 3).
20.解：
(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x 2 ,可得M 的坐标为(2,2)或(2, 2). 1 1
所以直线BM 的方程为y —x 1或y - x 1.
2 2
(2)当|与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以 ABM ABN .
当l 与x 轴不垂直时，设|的方程为y k(x 2) (k 0) , M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2),则X
,y k(x 2), g 2
由 2
得 ky 2
2y 4k 0 ,可知 y 〔
y 2
y 2x
直线BM , BN 的斜率之和为
将x 122 , x 2近2及y 1 y 2, 丫佻的表达式代入①式分子，可得
k k
〜
、2y 1y 2 4k(y 1 y 2)
8 8c
x 2 y 1 x 1y 2 2(y 1 V2)
0. k
k
所以k BM k BN 0,可知BM, BN 的倾斜角互补，所以 ABM ABN . 综上， ABM ABN .
(1
)
0, x 2 0.
2
,y 〔y 2 k
k BM k BN,上 x 1 2 x 2 2
x 2y 1 x 1y 2 2( y 〔 y)
(x 1 2)(x 2 2)
(1) f(x)的定义域为(0, ), f (x) ae x
-.
x
当 0 x 2时，f (x) 0 ;当 x 2时，f (x) 0 . 所以f (x)在(0, 2)单调递减，在(2,)单调递增.
x
e
f (x) > 一 In x 1.
e
x
. e 1
1,则 g (x) - -.
e x
故当 x 0 时，g(x) > g(1) 0.
1
因此，当a> —时，f (x)> 0. e
22.解：
(1)由x cos , y sin 得C 2的直角坐标方程为 2
2
(x 1)2 y 2
4.
⑵由(1)知C 2是圆心为A( 1,0),半径为2的圆.
由题设知，&是过点B(0,2)且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为。

，y 轴左边的射线为I 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于 11与C 2只有一个公共点且12与C 2有两个公共点，或12与C 2 只有一个公共点且11与
C 2有两个公共点.
当11与C 2只有一个公共点时，
A 到11所在直线的距离为 2,所以2,故k f 或k 0.经检验，当 ・ k 2
1
3
4
k 0时，11与C 2没有公共点；当k f 时，11与C 2只有一个公共点，12与C 2有两个公共点.
3
当12与C 2只有一个公共点时，A 到12所在直线的距离为 2 ,所以1k
2 2|
2 ,故k 0或k -.经检验，当k 0 ,k 1 3
4
时，11与C 2没有公共点；当k —时，12与C 2没有公共点.
3
综上，所求G 的方程为y 4|x| 2 . 3
23.解：
2, x< 1, (1)当 a 1 时，f(x) |x 1| |x 1| ,即 f(x) 2x,
1 x 1,
2, x> 1.
1
故不等式f(x) 1的解集为{x|x 1
}.
2
(2)当x (0,1)时|x 1| |ax 1| x 成立等价于当x (0,1)时|ax 1| 1成立.
若 a< 0,则当 x (0, 1)时 |ax 1|> 1 ；
2 2 一
若a 0, |ax 1| 1的解集为0 x 一,所以—> 1 ,故0 a< 2.
a
a
综上， a 的取值范围为 (0,2] .
由题设知, f (2) 0 ,所以 a 1
2~~2 .
从而f (x) A e
x
In x 1 , f (x)
1
27
1
(2)当 a>1时, e
x
设 g (x) — ln x
e
当 0 x 1 时，g (x) 0 ;当x 1时，g (x) 0.所以x 1是g(x)的最小值点。