第十二章相关与回归分析
第12章-多重线性回归分析
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)
Y
（Y Y） （Y Y）
（Y Y）
Y X
Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)
血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86
第十二章 线性回归分析
回归是回归分析中最基本、最简单的一种，
回归方程
一、直线回归方程的一般表达式为
ˆ a bX Y
(12 1)
ˆ Y 为各X处Y的总体均数的估计。
回归方程的应用
一、线性回归的主要用途 1．研究因素间的依存关系 自变量和应变 量之间是否存在线性关系，即研究一个或多个 自变量对应变量的作用，或者应变量依赖自变 量变化而变化的规律。
否存在实际意义。 3．两变量间存在直线关系时，不一定
表明彼此之间就存在因果关系。
4．建立回归方程后，须对回归系数
进行假设检验。
5. 使用回归方程进行估计与预测时，
一般只适用于原来的观测范围，即自变量
的取值范围，不能随意将范围扩大。
6. 在线性回归分析时，要注意远离
群体的极端值对回归效果的影响。
表12-1 12只大白鼠的进食量（g）与体重增加量(g)测量结果
序号 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计
X 进食量(g)
(2) 305.7 188.6 277.2 364.8 285.3 244.7 255.9 149.8 268.9 247.6 168.8 200.6 2957.9 (Σ X)
目前，“回归”已成为表示变量 之间某种数量依存关系的统计学术语， 并且衍生出“回归方程”“回归系数”
等统计学概念。如研究糖尿病人血糖
与其胰岛素水平的关系，研究儿童年 龄与体重的关系等。
两相关变量的散点图
一、直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。
特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系，
不同于一般数学上的X 和Y的函数 关系。
为了直观地说明两相关变量的线性 依存关系，用表12-1第（2）、（3）
12章多重线性回归与相关
一、自变量筛选的标准与原则
2.残差均方缩小与调整决定系数增大 MS残=SS残/（n-p-1） MS残缩小的准则可以看做是在SS残缩小准则的基础上 增加了（n-p-1）-1因子，该因子随模型中自变量个数 p的增加而增加，体现了对模型中自变量个数增加而 施加的“惩罚”。 调整决定系数Ra2越大越好，与MS残等价。
包含汽车流量、气温、气湿与风速这四个自变量的回
归方程可解释交通点空气NO浓度变异性的78.74%
2.复相关系数R (multiple correlation coefficient)
定义为确定系数的算术平方根，
R SS回 SS总
表示变量Y与k个自变量的线性相关的密切程度。 对本例R=0.8837，表示交通点空气NO浓度与汽车流量、
表12-5 空气中NO浓度与各自变量的相关系数与偏相关系数
自变量 车流X1 相关系数 0.80800 偏相关系数 0.6920 偏相关系数P值 0.0005
气温X2
气湿X3 风速X4
0.1724
0.2754 -0.67957
0.47670
-0.00218 -0.59275
0.0289
0.9925 0.0046
第十二章
第一节 第二节 第三节 第四节
多重线性回归与相关
多重线性回归的概念与统计描述 多重线性回归的假设检验 复相关系数与偏相关系数 自变量筛选
一、整体回归效应的假设检验(方差分析)
表12-2 检验回归方程整体意义的方差分析表
变异来源 回归模型
残差 总变异
SS
0.0639 6 0.0172 7 0.0812 3
风速
(X4) 2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
(完整版)第十二章相关和回归分析练习试题
第十二章相关与回归分析一、填空1.如果两变量的相关系数为0，说明这两变量之间_____________。
2.相关关系按方向不同，可分为__________和__________。
3.相关关系按相关变量的多少，分为______和复相关。
4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。
自变量是作为（变化根据）的变量，因变量是随（自变量）的变化而发生相应变化的变量。
5．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，因变量则一般是（随机性）变量。
6．变量间的相关程度，可以用不知Y与X有关系时预测Y的全部误差E1，减去知道Y与X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例来度量，这就是（削减误差比例）。
7．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个假定：（1）实际观察值Y围绕每个估计值cY是服从（）；（2）分布中围绕每个可能的cY值的（）是相同的。
7.已知：工资（元）倚劳动生产率（千元）的回归方程为xyc8010+=，因此，当劳动生产率每增长1千元，工资就平均增加 80 元。
8．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（回归方程），并据以进行估计和预测。
这种分析方法，通常又称为（回归分析）。
9．积差系数r是（协方差）与X和Y的标准差的乘积之比。
二、单项选择1．欲以图形显示两变量X和Y的关系，最好创建（D ）。
A 直方图 B 圆形图 C 柱形图 D 散点图2．在相关分析中，对两个变量的要求是（ A ）。
A 都是随机变量B 都不是随机变量C 其中一个是随机变量，一个是常数D 都是常数3. 相关关系的种类按其涉及变量多少可分为( )。
A. 正相关和负相关B. 单相关和复相关C. 线性相关和非线性相关D. 不相关、不完全相关、完全相关4．关于相关系数，下面不正确的描述是（ B ）。
第十二章 分层回归分析--Hierarchy Regression
分层回归其实是对两个或多个回归模型进行比较。
我们可以根据两个模型所解释的变异量的差异来比较所建立的两个模型。
一个模型解释了越多的变异，则它对数据的拟合就越好。
假如在其他条件相等的情况下，一个模型比另一个模型解释了更多的变异，则这个模型是一个更好的模型。
两个模型所解释的变异量之间的差异可以用统计显著性来估计和检验。
模型比较可以用来评估个体预测变量。
检验一个预测变量是否显著的方法是比较两个模型，其中第一个模型不包括这个预测变量，而第二个模型包括该变量。
假如该预测变量解释了显著的额外变异，那第二个模型就显著地解释了比第一个模型更多的变异。
这种观点简单而有力。
但是，要理解这种分析，你必须理解该预测变量所解释的独特变异和总体变异之间的差异。
一个预测变量所解释的总体变异是该预测变量和结果变量之间相关的平方。
它包括该预测变量和结果变量之间的所有关系。
预测变量的独特变异是指在控制了其他变量以后，预测变量对结果变量的影响。
这样，预测变量的独特变异依赖于其他预测变量。
在标准多重回归分析中，可以对独特变异进行检验，每个预测变量的回归系数大小依赖于模型中的其他预测变量。
在标准多重回归分析中，回归系数用来检验每个预测变量所解释的独特变异。
这个独特变异就是偏相关的平方（Squared semi-partial correlation）-sr2（偏确定系数）。
它表示了结果变量中由特定预测变量所单独解释的变异。
正如我们看到的，它依赖于模型中的其他变量。
假如预测变量之间存在重叠，那么它们共有的变异就会削弱独特变异。
预测变量的独特效应指的是去除重叠效应后该预测变量与结果变量的相关。
这样，某个预测变量的特定效应就依赖于模型中的其他预测变量。
标准多重回归的局限性在于不能将重叠（共同）变异归因于模型中的任何一个预测变量。
这就意味着模型中所有预测变量的偏决定系数之和要小于整个模型的决定系数（R2）。
总决定系数包括偏决定系数之和与共同变异。
第十二章 回归分析
回归分析
如果我们将存在相关的两个变量，一个作为自变 量，另一个作为因变量，并把两者之间不十分稳 定的、准确的关系，用数学方程式来表达，则可 利用该方程由自变量的值来估计、预测因变量的 估计值，这一过程称为回归分析。 相关表示两个变量之间的双向相互关系，回归表 示一个变量随另一个变量做不同程度变化的单向 关系。
• 线性回归的基本假设
– – – – 线性关系 正态分布 独立性假设 误差等分散性假设
• 回归方程的建立
– 步骤：1）作散点图；2）设直线方程；3）选定具体方 法，计算表达式中的a和b；4）将a和b代入表达式，得 到回归方程。 – 方法：1）平均数法；2）最小二乘法。 • 最小二乘法：在配置回归线时，回归系数b的确定原则是 使散布图上各点距回归线上相应点的纵向距离平方和为最 小，这种求b的方法即最小二乘法。
• 回归分析与相关分析的关系
– 理解： • 同属相关分析； • 对称设计与不对称设计。 – 回归系数与相关系数的关系 • 相关系数是两个回归系数的几何平均数。
第二节 一元线性回归方程的检验
• 估计误差的标准差
某一X值相对应的诸Y 值，是以Y的平均数YX 为中 ˆ 心呈正态分布的。而与某一X值相对应的回归值 Y 就是与该X值相对应的那些诸Y值的平均数YX的估 ˆ 计值。由 Y 估计YX 会有一定的误差。误差大小 与X值相对应的诸Y值分布范围有关，范围大，误 差大，估计的准确性、可靠性小，范围小，误差小， 估计的准确性、可靠性大。 ˆ 我们需要一个用来描述由Y 估计YX 时误差大小的 指标，即估计误差的标准差。平均数与标准差未知， 样本的无偏估计量为：
a YX Y bYX X
• 列回归方程式（见教材）
第十二章回归分析
-141-第十二章 回归分析前面我们讲过曲线拟合问题。
曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数据拟合得最好。
通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
从计算的角度看，问题似乎已经完全解决了，还有进一步研究的必要吗?从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。
另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。
简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分析。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：（i ）建立因变量y 与自变量m x x x ,,,21 之间的回归模型（经验公式）； （ii ）对回归模型的可信度进行检验；（iii ）判断每个自变量),,2,1(m i x i =对y 的影响是否显著；（iv ）诊断回归模型是否适合这组数据；（v ）利用回归模型对y 进行预报或控制。
§1 多元线性回归回归分析中最简单的形式是x y 10ββ+=，y x ,均为标量，10,ββ为回归系数，称一元线性回归。
它的一个自然推广是x 为多元变量，形如m m x x y βββ+++= 110 (1)2≥m ，或者更一般地)()(110x f x f y m m βββ+++= （2）其中),,(1m x x x =，),,1(m j f j =是已知函数。
这里y 对回归系数),,,(10m ββββ =是线性的，称为多元线性回归。
不难看出，对自变量x 作变量代换，就可将（2）化为（1）的形式，所以下面以（1）为多元线性回归的标准型。
1.1 模型在回归分析中自变量),,,(21m x x x x =是影响因变量y 的主要因素，是人们能控制或能观察的，而y 还受到随机因素的干扰，可以合理地假设这种干扰服从零均值的正态分布，于是模型记作⎩⎨⎧++++=),0(~2110σεεβββN x x y m m （3） 其中σ未知。
第十二章相关与回归分析
第十二章 相关与回归分析四、名词解释1．消减误差比例变量间的相关程度，可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的误差0E ，减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的误差1E ，再将其化为比例来度量。
将削减误差比例记为PRE 。
2． 确定性关系当一个变量值确定后，另一个变量值夜完全确定了。
确定性关系往往表现成函数形式。
3．非确定性关系在非确定性关系中，给定了一个变量值，另一个变量值还可以在一定范围内变化。
4．因果关系变量之间的关系满足三个条件，才能断定是因果关系。
1）连个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化；2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的；3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。
5．单相关和复相关单相关只涉及到两个变量，所以又称为二元相关。
三个或三个以上的变量之间的相关关系则称为复相关，又称多元相关。
6．正相关与负相关正相关与负相关：正相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值也增加；负相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。
7．散点图散点图：将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来，以直观地观察X 与Y 的相互关系，即得相关图，又称散点图。
8．皮尔逊相关系数r皮尔逊相关系数是协方差与两个随机变量X 、Y 的标准差乘积的比率。
9．同序对在观察X 序列时，如果看到i j X X <，在Y 中看到的是i j Y Y <，则称这一配对是同序对。
10．异序对在观察X 序列时，如果看到i j X X <，在Y 中看到的是i j Y >Y ，则称这一配对是异序对。
11．同分对如果在X 序列中，我们观察到i j X =X （此时Y 序列中无i j Y =Y ），则这个配对仅是X 方向而非Y 方向的同分对；如果在Y 序列中，我们观察到i jY =Y （此时X 序列中无i j X =X ），则这个配对仅是Y 方向而非X 方向的同分对；我们观察到i j X =X ，也观察到i j Y =Y ，则称这个配对为X 与Y 同分对。
第十二章相关与回归分析
第十二章相关与回归分析四、名词解释1 •消减误差比例变量间的相关程度，可以用不知Y与X有关系时预测Y的误差E0，减去知道Y与X有关系时预测Y的误差E i，再将其化为比例来度量。
将削减误差比例记为PRE。
2 •确定性关系当一个变量值确定后，另一个变量值夜完全确定了。
确定性关系往往表现成函数形式。
3 •非确定性关系在非确定性关系中，给定了一个变量值，另一个变量值还可以在一定范围内变化。
4 •因果关系变量之间的关系满足三个条件，才能断定是因果关系。
1）连个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化；2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的； 3 ）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。
5 .单相关和复相关单相关只涉及到两个变量，所以又称为二元相关。
三个或三个以上的变量之间的相关关系则称为复相关，又称多兀相关。
6 •正相关与负相关正相关与负相关：正相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值也增加；负相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。
7 .散点图散点图：将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来，以直观地观察X与Y的相互关系，即得相关图，又称散点图。
8 .皮尔逊相关系数r皮尔逊相关系数是协方差与两个随机变量X、Y的标准差乘积的比率。
9 .同序对在观察X序列时，如果看到X i X j ,在Y中看到的是Y i : Y j，则称这一配对是同序对。
10. 异序对在观察X序列时，如果看到X i X j，在Y中看到的是Y i>Y j，则称这一配对是异序对。
11. 同分对女口果在X序列中，我们观察到X i=X j （此时Y序列中无Y i二Y j）,则这个配对仅是X 方向而非Y方向的同分对；如果在Y序列中，我们观察到Y j二Y j （此时X序列中无X i=X j）, 则这个配对仅是Y方向而非X方向的同分对；我们观察到X i=X j，也观察到Y i二Y j，则称这个配对为X与Y同分对。
第十二章 回 归 分 析
求截距： ya b a y bx x aYX y bYX x a XY y bXY x
回归系数的几种算法：
1、原始数据计算：
bYX
XY ( X )( Y ) / n (由X估计Y ) 2 2 X ( X ) / n
XY ( X )( Y ) / n b XY (由Y估计X ) 2 2 Y (Y ) / n
b XY
XY n X Y (由Y估计X ) 2 (n - 1)S Y
2
2
X ( X ) / n 其中： S x n 1
4、用两个标准差及相关 系数计算 （ ）、用两个样本的标准 差及相关系数计算 1
y b yx r （由X估计Y） x x b xy r （由Y估计X） y
x
也就是说，回归线上的某一点就是与某一X值相对 ˆ 应的诸Y值的代表 y 这时，X与 y 的对应关系就可 ˆ 以用一条直线来表示 即当两个变量间存在线性相关关系时，常常希望建 立二者间的定量关系表达式，这便是两个变量间的 ˆ y 一元线性回归方程。 假定x是自变量，y是因变量，y对x的一元线性回归 方程的表达式为：ˆ =a+bx （其中a为常数，b称为y y 对x的回归系数。 对给定的n对数据（Xi Yi) ,i=1,2,3,……n，根据这些 ˆ 数据去估计a 和 b，于是y也是一个估计值，就用 y 来 表示区别。 因此字母头上加个“^”表示回归值，表 示真实值的一种预测，实际的观测值与回归值是存 在偏差的
相关关系
(correlation)
1.
2.
3.
4.
变量间关系不能用函数关系 精确表达 一个变量的取值不能由另一 个变量唯一确定，即当一个 或若干个变量X取一定值时， 与之相对应的另一个变量Y的 值虽然不确定，但却按某种 规律在一定范围内变化。 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在直线周围
卫生统计学 直线相关与回归
第十二章 直线相关与回归A 型选择题1、若计算得一相关系数r=0.94,则（ ）A 、x 与y 之间一定存在因果关系B 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为正值C 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为负值D 、求得回归截距a>0E 、求得回归截距a ≠02、对样本相关系数作统计检验（H 0：ρ=0），结果0.05()v r r >，统计结论是（）。
A. 肯定两变量为直线关系B 、认为两变量有线性相关C 、两变量不相关B. 两变量无线性相关E 、两变量有曲线相关3、若1210.05()20.01(),v v r r r r >>，则可认为（ ）。
A. 第一组资料两变量关系密切B. 第二组资料两变量关系密切C 、难说哪一组资料中两变量关系更密切D 、两组资料中两变量关系密切程度不一样E 、以上答案均不对4、相关分析可以用于（ ）有无关系的研究A 、性别与体重B 、肺活量与胸围C 、职业与血型D 、国籍与智商E 、儿童的性别与体重5、相关系数的假设检验结果P<α,则在α水平上可认为相应的两个变量间（）A 、有直线相关关系B 、有曲线相关关系C 、有确定的直线函数关系D 、有确定的曲线函数关系E 、不存在相关关系6、根据样本算得一相关系数r ，经t 检验，P ＜0.01说明（ ）A 、两变量有高度相关B 、r 来自高度相关的相关总体C 、r 来自总体相关系数ρ的总体D 、r 来自ρ≠0的总体E 、r 来自ρ＞0的总体7、相关系数显著检验的无效假设为（ ）A 、r 有高度的相关性B 、r 来自ρ≠0的总体C 、r 来自ρ＝0的总体D 、r 与总体相关系数ρ差数为0E 、r 来自ρ＞0的总体8、计算线性相关系数要求（ ）A ．反应变量Y 呈正态分布，而自变量X 可以不满足正态分布的要求B ．自变量X 呈正态分布，而反应变量Y 可以不满足正态分布的要求C ．自变量X 和反应变量Y 都应满足正态分布的要求D ．两变量可以是任何类型的变量E ．反应变量Y 要求是定量变量，X 可以是任何类型的变量9、对简单相关系数r 进行检验，当检验统计量t r >t 0.05(ν)时，可以认为两变量x与Y 间（ ）A ．有一定关系B ．有正相关关系C ．无相关关系D ．有直线关系E ．有负相关关系10、相关系数反映了两变量间的（ ）A 、依存关系B 、函数关系C 、比例关系D 、相关关系E 、因果关系11、)2(,2/05.0-<n r r 时，则在05.0=α水准上可认为相应的两变量X 、Y 间（ ）。
12 简单回归分析
t Value 30.17 14.58
Pr > |t| <.0001 <.0001
以y为应变量、x1为自变量的回归分析结果： The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: y Analysis of Variance Sum of Mean DF Squares Square 1 432.56864 432.56864 48 67.00397 1.39592 49 499.57261 1.18149 23.97720 4.92755 R-Square Adj R-Sq 0.8659 0.8631
第十二章 简单回归分析 [教学要求] 了解： 总体回归线的 95%置信带与个体预测值 Y 的区间估计； 可线性化的非线性回归的基 本步骤。 熟悉：总体回归系数 β 的统计推断；残差与残差分析。 掌握：回归分析的基本思想与方法；回归的基本概念；回归系数检验的意义与方法；相关 与回归分析的区别与联系。 [重点难点] 第一节 简单线性回归 一、回归模型的前提假设：线性(linear)、独立(independent)、正态(normal)与等方差(equal variance)。 二、最小二乘原则：求解回归方程中参数估计量 a 和 b 值所遵循的策略：使回归残差平方 和达到最小；在最小二乘原则下所获得回归参数的估计量称为最小二乘估计。 三、总体回归系数 β 的统计推断 （一） 标准估计误差(standard error of estimate) 为回归方程所得估计值的标准 离差，
16. 5
16. 0
15. 5
15. 0
14. 5
14. 0
13. 5
13. 0 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 x 1. 0 1. 1 1. 2
第十二章直线相关与回归
第十二章直线相关与回归【A1型题】1.在y和x的回归分析中，若tb＜t0.05,υ可认为A. 两变量存在线性相关关系B. 两变量不存在任何关系C. 样本回归系数和总体回归系数(β＝0 ) 相等的可能性P＞95%D. 两变量无线性相关E. 以上都不是2. sy·x和sb分别表示A. y对的离散度和b的抽样误差B. y对x的离散度和b的离散度C. y的离散度和b的离散度D. y对的离散度和y的标准估计误差E. y的离散度和b的变异3.欲分析肺活量和身高之间的数量关系，拟用身高值预测肺活量值，则应采用A. 秩相关分析B. 相关分析C. 直线回归分析D. 多元回归分析E. 以上都不是4.若r＞r0.05(ν)，则A. P＞0.05B. P≤0.05C. P＞0.01D. P≥0.05E. P＜0.055.若对两个变量进行直线相关分析，r＝0.39，P＞0.05，则说明两个变量之间A. 有伴随关系B. 有数量关系C. 有因果关系D. 有相关关系E. 无相关关系6.对相关系数r进行假设检验，当r＞r0.05(ν)，则A. 两变量之间关系密切B. 两变量之间相关有统计学意义C. 两变量之间关系不密切D. 两变量之间相关无统计学意义E. 以上都不是7.对两个数值变量同时进行了相关和回归分析，r有统计学意义（P<0.05），则A. b有高度的统计学意义B. b无统计学意义C. b有统计学意义D. 不能肯定b有无统计学意义E. 以上都不是8.某研究者测定60个中学生的身高，询问了他们每天的睡眠时间，并计算了等级相关系数，检验其统计学意义，查表时，n应为A. 2B. 1C. 58D. 60E. 599.某研究者测定了睡眠时间和焦虑症状评分，若想研究两者之间的相关性，应计算的指标是A. rB. tC. b2D. uE. b10.某医师拟制作标准曲线，用光密度值来推测食品中亚硝酸盐的含量，应选用的统计方法是A. u检验B. 回归分析C. 相关分析D. χ2检验E. q检验11.在直线回归分析中，回归系数b的绝对值越大A. 所绘散点越靠近回归线B. 所绘散点越远离回归线C. 回归线在y轴上的截距越大D. 回归线对x轴越平坦E. 回归线对x轴越陡【B型题】A.B.C.D. SbE. Sy12.直线回归分析中，反映扣除x的影响后y的变异程度的指标是13.直线回归分析中，反映在y的总变异中由于x与y的直线关系而使y变异减小的部分，也就是在总平方和中可以用x解释的部分即14.直线回归分析中，反映当x为某定数时个体y值变异程度的指标是15.直线回归分析中，反映x对y的线性影响之外的一切因素对y的变异的作用是【X型题】16. 对某样本的相关系数r和0的差别进行假设检验，结果为tr＜t0.05，ν，因此A. 两变量存在直线相关的可能性小于5%B. 如果样本来自ρ＝0的总体，得出该r值的概率大于5%C. 如果样本来自ρ＝0的总体，得出该r值的概率小于5%D. 两变量的差别无显著性E. r≠0是抽样误差所致17.在作直线回归分析时，选定自变量x的原则一般为A. 两变量间无因果关系，以变异较小者为xB. 两变量间无因果关系，以变异较大者为xC. 两变量间有因果关系，以"因"为xD. 两变量间有因果关系，以"果"为xE. x是可以精确测量和严格控制的变量18.相关系数r的数值A. 可以为负值B. 可以为正值C. 可等于1D. 可大于1E. 可等于-1【名词解释】19. 回归系数20. 截距21. 相关系数22. 等级相关23. 直线回归【简答题】24. 直线回归与相关分析的区别与联系是什么25. 进行直线相关与回归分析时应注意哪些问题26. 什么是剩余标准差？其作用如何27. 为何应该对样本相关系数和样本回归系数都应该进行假设检验28. 直线回归方程可应用在哪些方面29. 用什么方法来确定一条回归直线【应用题】30. 现有12名糖尿病患者血糖和胰岛素的测量数据列于下表中，试对其进行直线相关与回归分析表 12名糖尿病患者血糖(mmol/L)和胰岛素(mU/L)的测量数据编号123456789101112胰岛素17141912916182124171710血糖9.511.610.811.412.49.810.18.67.911.210.612.831. 某课题组测量了16名18～22岁男大学生的肺活量与身高，结果如下表，请进行直线相关与回归分析编号身高(m)x肺活量(L)y编号身高(m)x肺活量(L)y11.7424.65091.7084.02221.7184.278101.6984.07731.7144.420111.7144.31841.7124.379 121.6744.03951.7204.365131.6833.85061.7044.222141.6703.62571.7093.973151.6793.87 481.7294.290161.6923.91132 .某省卫生防病中心对10个城市进行肺癌死亡回顾调查，并对大气中苯并(a)芘进行监测，结果如下表，试检验两者有无相关城市编号12345678910肺癌标化死亡率(1/10万)5.6018.5016.2311.4013.808.1318.0012.1015.309.70苯并(a)芘(μg/100m3)0.051.171.050.100.750.500.651.200.950.65参考答案【A1型题】26.1. D2. A3. C4. E5. E6. B7. C8. D9. A10. B11. E【B型题】12.12. C13. B14. E15. A【X型题】16.16. BE17. CE18. ABCE【应用题】30.相关系数＝-0.9037，P＜0.05回归方程为＝15.448-0.302x ，P＜0.0531.相关系数＝0.874，P＜0.05回归方程为＝-15.392＋11.464x ，P＜0.0532.rs＝0.676，P＜0.05???? ?? ??-7-。
第十二章 回归分析预测法
全面分析影响预测对象的相关因素， 全面分析影响预测对象的相关因素，确定自变量 1、首先对所有影响因素进行分析 2、比较相关因素，找出最主要的影响因素 比较相关因素， 选择回归预测模型， 选择回归预测模型，确定模型参数 实际预测 检验预测模型和预测结果的可靠性程度
三、随机误差项的影响因素
人们的随机行为 回归模型中 省略的变量
回归分析预测法 从各种经济现象之间的相关关系出发， 从各种经济现象之间的相关关系出发， 通过对与预测对象有联系的现象变动趋势的 分析， 分析，推算预测对象未来状态数量表现的一 种预测法。 种预测法。
回归分析预测法的基本步骤 （一）根据预测的目的，选择确定自变量和 根据预测的目的， 因变量 (二)收集历史统计资料 分析.计算并建立回归 (二)收集历史统计资料,分析.计算并建立回归 收集历史统计资料,分析 预测模型 （三）进行相关分析 （四）检验回归预测模型 计算预测误差 检验回归预测模型,计算预测误差 回归预测模型 （五）计算并确定预测值
回归模型 定义：
回归分析是对具有相关关系的变量之间的 数量变化规律进行测定， 数量变化规律进行测定，研究某一随机变量 因变量）与其他一个或几个普通变量（ （因变量）与其他一个或几个普通变量（自变 之间的数量变动关系， 量）之间的数量变动关系，并据此对因变量进 行估计和预测的分析方法。 行估计和预测的分析方法。由回归分析求出的 关系式， 关系式，称为回归模型
P( − t α < t < t α ) = 1 − α
2 2
即
P( −t α <
2
ɵ βi − βi sβɵ
i
i
< tα ) = 1− α
2
ɵ ɵ P ( βi − t α × sβɵ < βi < βi + t α × sβɵ ) = 1 − α
第十二章_线性回归分析
变量的筛选问题
回归方程中到底引入多少解释变量x
变量的筛选策略
向前筛选策略（Forward）；
向后筛选策略（Backward）；
逐步筛选策略（Stepwise）。
向前筛选策略（Forward）
解释变量x不断进入回归方程的过程； 首先，选择与y具有最高线性相关系数的 变量进入方程，进行回归方程的各种检 验； 然后，在剩余变量中寻找与当前解释变 量偏相关系数最高且通过检验的变量进 入方程； 该过程一直重复，直到用尽所有的自变 量。
最小二乘估计
(图示)
y
(xn , yn)
(x2 , y2)
ˆ ˆ ˆ y b0 + b1 x
(x1 , y1)
｝
(xi , yi)
ei = yi-yi ＾
x
ˆ 和 ˆ 的计算公式) b 0 b1 (
ˆ和 ˆ 根据最小二乘法的要求，可得求解b 0 b1的公 式如下
根据变量的取值来预测或控制另一个特 定变量的取值，并给出这种预测或控制 的精确程度；
回归分析的一般步骤
步骤1 步骤 2 步骤 3 步骤 4
确定回归 确定 对 方程中的 利用 回归模型 回归方程 解释变量 回归方程 建立 进行各种 和 进行预测 回归方程 检验 被解释变量
重点内容
1
确定解释变量和被解释变量
一个单位时，y 的平均变动值；
估计的回归方程
(estimated regression equation)
总体回归参数 b 0 b1 和 是未知的，必须利用样本数 据去估计；
ˆ ˆ 用样本统计量 b 0 和 b1代替回归方程中的未知参 数b 0和 b1 ，就得到了估计的回归方程； 一元线性回归中估计的回归方程为：
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第十二章 相关与回归分析第一节 变量之间的相关关系相关程度与方向·因果关系与对称关系 第二节 定类变量的相关双变量交互分类（列联表）·削减误差比例（PRE ）·λ系数与τ系数 第三节 定序变量的相关分析同序对、异序对和同分对·Gamma 系数·肯德尔等级相关系数（τa 系数、τb 与τc 系数）·萨默斯系数（d 系数）·斯皮尔曼等级相关（ρ相关）·肯德尔和谐系数第四节 定距变量的相关分析相关表和相关图·积差系数的导出和计算·积差系数的性质 第五节 回归分析线性回归·积差系数的PRE 性质·相关指数R第六节 曲线相关与回归可线性化的非线性函数·实例分析（二次曲线指数曲线）一、填空1．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，因变量则一般是（ ）变量。
2．变量间的相关程度，可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的全部误差E 1，减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的联系误差E 2，再将其化为比例来度量，这就是（ ）。
3．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个假定：（1）实际观察值Y 围绕每个估计值c Y 是服从（ ）；（2）分布中围绕每个可能的c Y 值的（ ）是相同的。
4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。
自变量是作为（ ）的变量，因变量是随（ ）的变化而发生相应变化的变量。
5．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（ ），并据以进行估计和预测。
这种分析方法，通常又称为（ ）。
6．积差系数r 是（ ）与X 和Y 的标准差的乘积之比。
二、单项选择1．当x 按一定数额增加时，y 也近似地按一定数额随之增加，那么可以说x 与y 之间 存在（ ）关系。
A 直线正相关B 直线负相关C 曲线正相关D 曲线负相关2．评价直线相关关系的密切程度，当r在0.5～0.8之间时，表示（）。
A 无相关B 低度相关C 中等相关D 高度相关3．相关分析和回归分析相辅相成，又各有特点，下面正确的描述有（）。
A在相关分析中，相关的两变量都不是随机的；B在回归分析中，自变量是随机的，因变量不是随机的；C在回归分析中，因变量和自变量都是随机的；D在相关分析中，相关的两变量都是随机的。
4．关于相关系数，下面不正确的描述是（）。
≤r1时，表示两变量不完全相关；A当0≤B当r=0时，表示两变量间无相关；C两变量之间的相关关系是单相关；D如果自变量增长引起因变量的相应增长，就形成正相关关系。
5．欲以图形显示两变量X和Y的关系，最好创建（）。
A 直方图B 圆形图C 柱形图D 散点图6．两变量X和Y的相关系数为0.8，则其回归直线的判定系数为（）。
A 0.50B 0.80C 0.64D 0.907．在完成了构造与评价一个回归模型后，我们可以（）。
A 估计未来所需样本的容量B 计算相关系数和判定系数C 以给定的因变量的值估计自变量的值D 以给定的自变量的值估计因变量的值8．两变量的线性相关系数为0，表明两变量之间（）。
A 完全相关B 无关系C 不完全相关D 不存在线性相关9．身高和体重之间的关系是（）。
A 函数关系B 无关系C 共变关系D 严格的依存关系10．在相关分析中，对两个变量的要求是（）。
A 都是随机变量B 都不是随机变量C 其中一个是随机变量，一个是常数D 都是常数11．在回归分析中，两个变量（）。
A 都是随机变量B 都不是随机变量C 自变量是随机变量D 因变量是随机变量12．一元线性回归模型和多元线性回归模型的区别在于只有一个（）。
A 因变量B 自变量C 相关系数D 判定系数13．以下指标恒为正的是（）。
A 相关系数rB 截距aC 斜率bD 复相关系数14．下列关系中，属于正相关关系得是（）。
A 身高与体重B 产品与单位成本C 正常商品的价格和需求量D 商品的零售额和流通费率三、多项选择1．关于积差系数，下面正确的说法是（）。
A 积差系数是线性相关系数B 积差系数具有PRE性质C 在积差系数的计算公式中，变量X和Y是对等关系D 在积差系数的计算公式中，变量X和Y都是随机的2．关于皮尔逊相关系数，下面正确的说法是（）。
A 皮尔逊相关系数是线性相关系数B 积差系数能够解释两变量间的因果关系C r公式中的两个变量都是随机的D r的取值在1和0之间E 皮尔逊相关系数具有PRE性质，但这要通过r2加以反映3．简单线性回归分析的特点是（）。
A 两个变量之间不是对等关系B 回归系数有正负号C 两个变量都是随机的D 利用一个回归方程，两个变量可以互相推算E 有可能求出两个回归方程4．反映某一线性回归方程y=a+bx好坏的指标有（）。
A 相关系数B 判定系数C b的大小D 估计标准误E a的大小5．模拟回归方程进行分析适用于（）。
A 变量之间存在一定程度的相关系数B 不存在任何关系的几个变量之间C 变量之间存在线性相关D 变量之间存在曲线相关E 时间序列变量和时间之间6．判定系数r2=80%和含义如下（）。
A 自变量和因变量之间的相关关系的密切程度B 因变量y的总变化中有80%可以由回归直线来解释和说明C 总偏差中有80%可以由回归偏差来解释D 相关系数一定为0.64E 判定系数和相关系数无关7．回归分析和相关分析的关系是（）。
A 回归分析可用于估计和预测B 相关分析是研究变量之间的相互依存关系的密切程度C 回归分析中自变量和因变量可以互相推导并进行预测D 相关分析需区分自变量和因变量E 相关分析是回归分析的基础8．以下指标恒为正的是（）。
A 相关系数B 判定系数C 复相关系数D 偏相关系数E 回归方程的斜率9．一元线性回归分析中的回归系数b可以表示为（）。
A 两个变量之间相关关系的密切程度B 两个变量之间相关关系的方向C 当自变量增减一个单位时，因变量平均增减的量D 当因变量增减一个单位时，自变量平均增减的量E 回归模型的拟合优度10．关于回归系数b，下面正确的说法是（）。
A b也可以反映X和Y之间的关系强度。
；B回归系数不解释两变量间的因果关系；C b公式中的两个变量都是随机的；D b的取值在1和-1之间；E b也有正负之分。
四、名词解释1．消减误差比例2．确定性关系3．非确定性关系4．因果关系5．单相关和复相关6．正相关与负相关7．散点图8．皮尔逊相关系数r9．同序对10．异序对11．同分对五、判断题1．由于削减误差比例的概念不涉及变量的测量层次，因此它的优点很明显，用它来定义相关程度可适用于变量的各测量层次。
（）2．不管相关关系表现形式如何，当r＝1时，变量X和变量Y都是完全相关。
（）3．不管相关关系表现形式如何，当r＝0时，变量X和变量Y都是完全不相关。
（）4．通过列联表研究定类变量之间的关联性，这实际上是通过相对频数条件分布的比较进行的。
而如果两变量间是相关的话，必然存在着Y的相对频数条件分布相同，且和它的相对频数边际分布相同。
（）5．如果众数频数集中在条件频数分布列联表的同一行中， 系数便会等于0，从而无法显示两变量之间的相关性。
（）6．从分析层次上讲，相关分析更深刻一些。
因为相关分析具有推理的性质，而回归分析从本质上讲只是对客观事物的一种描述，知其然而不知其所以然。
（）六、计算题1．对某市市民按老中青进行喜欢民族音乐情况的调查，样本容量为200人，调查结果示于下表，试把该频数列联表：①转化为相对频数的联合分布列联表②转化为相对频数的条件分布列联表；③指出对于民族音乐的态度与被调查者的年岁有无关系，并说明理由。
2．已知十名学生身高和体重资料如下表，（1）根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；（2）根据下述资料求出两变量之间的回归方程（设身高为自变量，体重为因变量）。
３．某市有12所大专院校，现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价，结果如下，试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。
４．以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果，请计算婚姻美满与文化程度之Gamma５．以下为两位评判员对10名参赛人名次的打分。
试用斯皮尔曼等级相关系数来描述两评判员打分的接近程度。
６．某原始资料为：要求：（1）求回归方程；（2）这是正相关还是负相关；（3）求估计标准误差；（4）用积差法求相关系数。
７．根据下述假设资料求回归方程。
2）在95.46％把握下，当X＝45时，写出Y的预测区间。
910．下面是对50名被调查者的英语成绩和法语成绩的抽样调查：求Gamma系数。
11．青年歌手大奖赛评委会对10名决赛选手的演唱水平（X）和综合素质（Y）进行打分，评价结果如下表（表中已先将选手按演唱水平作了次序排列）所示，试计算选手的演唱水平和综合素质间的斯皮尔曼等级相关系数。
（10分）七、问答题1．简述积差系数的特性。
2．简述回归分析和相关分析之间的密切联系。
参考答案一、填空1．随机性 2．削减误差比例 3． 4．变化根据 自变量 5． 回归方程 回归分析 6． 协方差二、单项选择1．A 2．C 3．D 4．B 5．D 6．C 7．D 8．D 9．C 10．A 11．D 12．B 13．D 14． A三、多项选择1．ABCD 2．ACE 3．ABE 4．ABD 5．ACDE 6．ABC 7．ABE 8．BC 9．BC 10．AE四、名词解释1．消减误差比例变量间的相关程度，可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的误差0E ，减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的误差1E ，再将其化为比例来度量。
将削减误差比例记为PRE 。
2. 确定性关系当一个变量值确定后，另一个变量值夜完全确定了。
确定性关系往往表现成函数形式。
3．非确定性关系在非确定性关系中，给定了一个变量值，另一个变量值还可以在一定范围内变化。
4．因果关系变量之间的关系满足三个条件，才能断定是因果关系。
1）连个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化；2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的；3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。
5．单相关和复相关单相关只涉及到两个变量，所以又称为二元相关。
三个或三个以上的变量之间的相关关系则称为复相关，又称多元相关。
6．正相关与负相关正相关与负相关：正相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值也增加；负相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。
7．散点图 散点图：将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来，以直观地观察X 与Y 的相互关系，即得相关图，又称散点图。