破解数轴上的动点问题

以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动， 设运动时间为t秒．
B
A
(1）若点 P, Q 分别从 A, B 两点同时出发， 问当t为何值点P与点Q相距3个单位长度？
(2）若点。到点 M, N 其中一个点的距离是到另 一个点距离的2倍， 则称点。是［M, NJ的“好点”， 设点
C是点 A, B 的中点， 点 P, Q 分别从 A, B 两点同时出发， 点P向左运动到C点时返回到A点时停止，
动点Q一 直向右运动到A点后停止运动， 求当t为何值时， 点C为［P, Q］ 的“ 好点”？
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六、 常见题型 1 . 点的重合问题：通常是相遇与追击问题，通过点的运动状态可以判断出两个动点重合，重合则两个点表 示的数相等， 将两个动点用含t的式子表示出来， 并令两个式子相等．
【例题5】己知数轴上有 A, B, C 三点， 分别代表 － 30， 一1 O, 10， 两只电子蚂蚁甲， 乙分别从 A, C 两 点同时相向而行， 甲的速度为4个单位／秒， 乙的速度为6个单位／秒．
c 【例题 8 】如图：在数轴上 A 点表示数 α， B 点示数 b, 点表示数 C, b 是最小的正整数， 且 α 、 b 满足
α ｜ ＋3十 1 （c-9)2 =0.
�4
.B
c
(I）α＝
' b=
' c=
．，
(2）若将数轴折叠， 使得A点与C点重合， 则点B与数
表示的点重合；
(3）若点A、 点B和点C分别以每秒2个单位、 1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左
点且靠近于T点， 若 TM= 2AN， 求n的值．
c
.B O
�4
1111
c
.B O
�4
圄2
B O �4 雷3
lil T '
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4. 线段定值问题：题目中给出几条线段的关系，要求判断其是否为定值，先将所给线段都用两点间的距离 表示出来， 然后再将题目中所给的式子用线段表示出来， 化简之后可以将t消去， 所得值为常数， 因此可 以确定是定值．
（用含t的代数式表示）：动点Q对应的
数是
〈用含t的代数式表示〉．
(2）几秒后， 点。恰好为线段 PQ 中点？
(3）几秒后， 恰好有 OQ=2PO?
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3 、 线段长及线段的和、 差、 倍 、 比关系 问题
解题思路： 题目中通常会说点与点之间的距离， 即线段的长度， 条件中会给出两条线段的和、 差、 倍数 、
速；同时， 动点Q从点C出发， 以l单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动， 从点B运动到点。期间速度
变为原来的两倍， 之后也立刻恢复原速， 设运动的时间为t秒， 问：
(1）动点Q从点C运动至点A需要
秒；
(2) p 、 Q两点相遇时， 求出t的值及相遇点M所对应的数是多少？
j (3）求当t为何值时， A、 p两点在数轴上相距的长度是 c、 Q两者在数轴上相距的长度的 倍C吕P P 点运
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3. 列式：解决数轴上的动点问题的一个重要方法就是方程法， 可以根据题目中的线段之间的数量关系， 列
出方程并解方程 【例题3】如图， 己知数轴上点A表示的数为6, B 是数轴上在A左侧的一点， 且 A, B 两点间的距离为
10. 动点P从点A出发， 以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 动点Q从点B出发， 以每秒
二、 必备知识：
1 . 数轴上两点之间的距离如何表示？ 可用绝对值未表示， 即两点所表示的数差的绝对值． 女口，数轴上点 A, B 所表示的数是α，b,
则 AB=αI － bl或lb 一α｜． 2. 数轴上一 个动点 如何字母未表示？
用有理数的加法或减法即可解决， 就是起点所表示的数加上或减去动点运动的距离， 向正方向用力口， 负方向用减． 女口， 数轴上点A对应的数为 － 3， 点P从A出友， 以每秒2 个单位长度的速度向右运动， 设 运动的时间是t， 则点P所表示的数是一 3+2t. 3. 怎样求数轴上任意两点间的线段的中点？
运动， 假设t秒钟过后， A 、 B 、 C 三点中恰有 一点为另外两点的中点， 求t的值；
(4 ）若点 A 、 点 B 和点 C 分别以每秒 2 个单位、 1 个单位长度和 4 个单位长度的速度在数轴上同时向左
运动时， 小聪同学发现： 当点C在B点右侧时， m . BC+3AB 的值是个定值， 求此时m的值．
， 点Q表示的数
（用含t的代数式表示〉；
2. 列线：利用两点间距离的表示方法将线段用具体的数或式子表示出来 数轴上两点之间的距离三种表示方式： ①如果两个点所表示的数的大小己知， 直接用较大的数减去较小的数； ②如果两个点所表示的数的大小未知， 则用两个数的差的绝对值表示； ③动点的起始点和终止点之间的线段可以用动点所走的路程表示．
度？
(3）若点P从A出发以每秒5个单位长度在数轴上由A到B做匀速运动． 当P到达点B时，立即返回．仍
然以每秒5个单位长度的速度运动到点A即停止运动， 设运动时间为 t（单位：秒）， 求点P是AB 的中点
(1）甲， 乙在数轴上的哪个点相遇？ (2）多少秒后， 甲到 A, B, C 的距离和为 48 个单位？ (3）在甲到 A 、 B、 C 的距离和为 48 个单位时，若甲调头并保持速度不变， 则甲， 乙还能在数轴上相遇 吗？若能， 求出相遇点；若不能， 请说明理由．
告，画
且
‘ ←乙c 弓，－
-10 0
·10
备用图
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2. 中点问题： ①题目中明确说明其中一个点为另外两个点的中点， 如： A、 B、 C三点， 点A是点B、 C的中点， 直接利
用中点公式列方程 ②题目中说三个点有一个点是另外两个点的中点， 如： A、 B、 C三点， 有 一点是另外两个点的中点， 分三
种情况进行讨论， 然后利用中点公式列方程 【例题6】如图， 数轴原点为O, A 、 B是数轴上的两点， 点A对应的数是l， 点B对应的数是－ 4， 动点
四、 动作分解： 〈 一 〉动点问题的处理方法
“点 一 线 一 式 ” 三步
〈二〉动点问题的解题步骤
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1. 列点：将己知点用具体的数表示， 未知动点用含t的式子表示
①点的左右移动：数轴上的点向左移动用减法， 移动几个单位长度就减去几，
向右移动用力口法， 移动几个单位长度就加上几．
②点的表示：通常用含t的式子表示数轴上的动点， 可以根据动点的位置、 速度和移动的方向将点表
3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． 若点P、 Q同时出发， 求：
(1）当点P运动多少秒时， 点P与点Q相遇？
(2）当点P运动多少秒时， 点P与点Q间的距离为8个单位长度？
←Q_ f
�← P L.
0
,6;
五、 常用工具
1. 中点公式：如图， 数轴上A点表示的数为α， B点表示的数为 b, c 点表示的数为c， 且B为A、 C中
时间为缸， 当点P与点Q重合时， P, Q 两点停止运动．
①当t为何值时， 20P-OQ=4;
②当点P经过点。时，动点M从点。出发，以4cm/s的速度也向右运动． 当点M追上点Q后立即返回，
以4cm/s的速度向点P运动， 遇到点P后再立即返回， 以4cm/s的速度向点Q运动， 如此往返． 当点P
与点Q重合时， P, Q 两点停止运动． 此时点M也停止运动． 在此过程中， 点M行驶的总路程是多少？
或比例关系， 先将题目中的线段用两点间的距离表示出来， 然后根据具体的关系列方程， 当动点之间的位
置无法确定时， 通常用绝对值来表示线段长度．
(I）线段之长问题〈线段之和问题、 线段之比 问题、 线段倍数 问题、 线段相等 问题〉 【例题7】己知数轴上有三点A、B、C， 其位置如图l所示， 数轴上点B表示的数为 －40, AB=l20, AC
破解数轴上的动点问题（附讲义）
一、 问题导读
数轴上的动点问题，是七年级非常重要的问题，也是困难题，学生遇上了它就一 个字一一 “ 幸 ” ． 但这 个知识点又不得不学， 因为这个知识比较综合， 也比较抽象， 是一类极为常见且重要的综合题， 对学生的 综合运用知识能力要求较高， 涉及到 “绝对值的几何意义、 数在数轴上的表示、 行程问题” 等， 更是学习 “ 数形结合 ” 思想的第 一 步： 动点问题
【例题2】如图， 数轴上点A表示的数是－4， 点B表示的数是8， 动点P从点A出发， 以每秒3个单位 长度的速度向点B运动， 到点B停止；动点Q从点B出发， 以每秒1个单位长度的速度向点A运动， 到 点A停止， 点Q运动的时间为 t （秒）．
A
pO
QB
(1）求线段 AB 的长度； (2）在运动过程中， 用含t的代数式表示 PQ 的长度．
示出来． 【例题l】如图，己知数轴上原点为0， 点B表示的数为－2, A在B的右边， 且A与B的距离是5， 动点
P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒4 个单位长
度的速度沿数轴向左匀速运动， 若点P、Q同时出发， 设运动时间为 t(t>O）秒．
。 B
A
写出数轴上点P表示的数
iQ 动的路程＝ 点运动的路程〉
d ←口
p 手’肌
0 40
B
O＂＂＇”、＇
Hale Waihona Puke Baidu
12
201
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3. 如图：点。为原点， A、 B为数轴上两点， A、 B两点间的距离为20， 且点A到点。的距离是点B到点
。的距离的3倍．
�4
。
．单
.B
(I) A 、 B对应的数分别是
、
．
(2）若点A、 B分别以4个单位／秒和3个单位／秒的速度同时相向而行， 则几秒后A、 B相距l个单位长
=2AB.
(I）图l中点C在数轴上对应的数是
，．
(2）如图2， 动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动， 同时动点R从点A向左运动， 己知点P的速度
是点R的速度的3 倍， 点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度／秒， 点P在点Q左侧运动时， 经过
5秒， 点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等， 求动点Q的速度； (3）如图3， 若T点是A点右侧一点， 点T在数轴上所表示的数为 n, TB 的中点为 M, N 为凹的4等分
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七、 实战演练 1 . 如图， 直线l上有 AB 两点， AB=l8cm， 点。是线段 AB 上的一点， OA=20B
�4
0 B .l
(1) OA=
cm, OB ＝ 一一一一＿cm;
(2） 若点C是直线 AB 上一点， 且满足 AC=CO+CB， 求 co 的长；
(3）若动点 P, Q 分别从 A, B 同时出发， 向右运动， 点P的速度为3cm/s点Q的速度为lcm/s. 设运动
α十 b 两点所表示的数相力口的和除以2，如数轴上的点所表示的数是α，b，则线段 AB 的中点所表示的数是2· 三、 策略方法：
解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和国形的变化， 然后再根据运动过程 展开分类讨论画出囹形， 最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解．
而对于建立在数轴上的动点问题来说， 由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思 路． 一种是根据 “ 形” 的关系来分析寻找等量关系， 也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另 一种是从 “数” 的方面寻找等量关系， 就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程．
p 、 Q同时从A、 B出发， 分别以l个单位／秒和3个单位／秒的速度沿着数轴正方向运动， 设运动时间为t
秒。＞O).
• 二....� －－－ .‘ ..－－ －－－..－‘－－血 ...－， ..，.
二 ． ．
．
当F
-4 -3 -2 -1 01 l 2 3 4 5
x
(I) AB 两点间的距离是
；动点P对应的数是
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2. 如图， 将 一 条数轴在原点。和点B处各折一 下， 得到一 条 “ 折线数轴气图中点A表示－12， 点B表
示12， 点C表示20， 我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位， 动点P从点A出发， 以2 单位／秒 的速度沿着 “ 折线数轴 ” 的正方向运动， 从点。运动到点 B 期间速度变为原来的一 半， 之后立刻恢复原
于 点， 则 b ＝
2. 解绝对值方程：
①α｜ i=b， 则α ＝ 士b
②α｜ i= lbl ， 则α ＝ 士b
③Ix一αi+lx-bl=c （零点分段法〉
3. 分类讨论思想：
【例题4】己知在数轴上有 A, B 两点， 点B表示的数为最大的负整数， 点A在点B的右边， AB = 24. 若 有 一动点P从数轴上点A出发， 以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 动点Q从点B出发，