9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法

连续系统的振动 / 假设模态法
梁的稳态响应：
y
P0 sin t
3
y(x,t) i (x)qi (t)
0
Ma
i 1
x
3
ix
qi (t) sin
i 1
l
外力写成分布力形式：
l/2
l/2
p( x, t )
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动 • 集中质量法 • 假设模态法 • 模态综合法 • 有限元法
连续系统的振动 / 集中质量法
• 连续系统的精确解仅适用于简单构件形状和边界条件 • 当构件形状复杂或边界条件复杂时可以采用近似解法
集中质量法 假设模态法 有限元法 集中质量法是将连续系统的质量集中到有限个点或截面上 假设模态法是用有限个函数的线性组合来构造连续系统的解 有限元法兼有以上两种方法的特点 • 各种近似解法的共同特点：用有限自由度的系统对无限自 由度的系统进行近似
若取前 n 个有限项作为近似解，则有： n y(x,t) i (x)qi (t) i 1
i (x) ：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原 因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但
不一定满足动力学方程的试函数族
qi (t) ：与假设模态所对应的广义坐标
连续系统的振动 / 假设模态法 y
l S(qTΦT )(Φq)dx 1 qT Mq
2 0 t
20
2
M l SΦTΦdx Rnn 质量阵 0
l
mij m ji 0 Si (x) j (x)dx
质量阵为对称阵
连续系统的振动 / 假设模态法
y
以均质梁的横向振动为例
x
0
假定模态函数 i (x) 已经确定
质量阵： M M0 M1
对称阵
l
mij mji 0 Si (x) j (x)dx mi (xa ) j (xa )
连续系统的振动 / 假设模态法
y
梁的近似解：
k1
x
n
0
y(x,t) i (x)qi (t) Φq i 1
xb
k2
势能：V 1 2
EI
Sl 4
2 39.4784
EI
Sl 4
正则化特征向量：
ψ (1)
0.5742
2
Sl
0

0.0048
ψ(2)
0
2
Sl
1 0
3 68.9944
EI
Sl 4
ψ (3)
0.5199
2
Sl
0

0.7746

T qi

V qi
Qi
或
M l SΦTΦdx Rnn 0
K l EIΦTΦdx Rnn 0
d dt

qLi

L qi
Qi
拉氏函数
L T V
Qi ：对应于广义坐标 qi 的广义力
设沿梁作用有分布力 p (x, t)
n
K0
l EIΦTΦdx Rnn
0
连续系统的振动 / 假设模态法
3 0 2
M

Sl
2

0
1
0

2 0 3
K

4EI
2l 3
1 0
0 16
0
0

0 0 81
特征值问题： (K 2M)ψ 0
固有频率：
1 5.6825
l
梁的近似解可写为：
n
y(x,t) i (x)qi (t) Φq
i 1
Φ [1, 2, , n ] R1n
q [q1, q2 , , qn ]T Rn1
势能：V 1 2
l 0
EI


2
y(x, x2
t
)

2
dx

1 2
l EI (qTΦT )(Φq)dx 1 qT Kq
50
EI
Sl 4
采用假设模态法，求：
假设模态取为：
i
(
x)

sin
ix
l
,
(i 1,2, )
（1）梁的前三阶固有频率 （2）梁的稳态横向强迫振动
连续系统的振动 / 假设模态法
解：
y
P0 sin t
若对第三阶固有频率的精 0
Ma
度要求不高，取 n＝3
x
l/2
l/2
模态函数阵：
Φ [1(x),
2 (x),
3
(
x)]

[s
in
x
l
,
sin 2x ,
l
sin 3x ]
l
质量阵：
3 0 2
M

SlΒιβλιοθήκη Baidu
2

0
1
0

2 0 3
刚度阵：
K

4EI
2l 3
1 0
0 16
0
0

0 0 81
M0
l SΦTΦdx Rnn
0
M1 m[Φ(xa )]T [Φ(xa )] Rnn
单自由度系统
近似解 误差
1
9.870 EI 9.867 EI
l 2 S
l 2 S
0.03% 9.859 EI l 2 S
0.1%
9.798 EI l 2 S
0.7%
2
39.48 EI 39.19 EI
l 2 S
l 2 S
0.73%
38.18 EI l 2 S
3.3%
6.3%
3
88.83 EI l 2 S
83.21 EI l 2 S
（1）随着自由度数目的增加，计算精度提高；（2）基频精度较高； （3）频率阶数增高，误差增大
注：在采用集中质量法时，计算精度与边界条件有关，例如将同一模型用于 悬臂梁系统，计算精度明显下降
教学内容
• 一维波动方程 • 梁的弯曲振动 • 集中质量法 • 假设模态法 • 模态综合法 • 有限元法
i1
l 0
p(x,
t)i
(
x)dx
qi
n
按照广义力的定义： W (t) Qiqi
i 1
比较，得：
l
Qi (t) 0 p(x,t)i (x)dx
矩阵形式： Q(t) [Q1(t), Q2 (t), , Qn (t)]T Rn1
L T V
连续系统的振动 / 假设模态法
M l SΦTΦdx Rnn 0
x
质量阵
如果梁上有集中质量 m ，系统的动能：
T 1
2
l
S
y( x, t )
2
dx

1
m
y( xa
,t)
2
0 t
2 t

1 2
qT (M0

M1)q
M0
l SΦTΦdx Rnn
0
M1 m[Φ(xa )]T [Φ(xa )] Rnn
分析方法进行分析
连续系统的振动 / 集中质量法
• 集中质量法
以等截面梁为例
长度 l 抗弯刚度 EI 材料密度 横截面积度 S
梁质量： m Sl
l
m/4
m/4
m/4
l/4
l/4
l/4 l/4
将梁均分为四段 并将每段的质量平均分到该段的两端
支座处的集中质量不影响梁的弯曲
连续梁可用三个集中质量代替：
连续系统的振动 / 假设模态法
• 假设模态法 • 动力学方程
• 瑞利法
• 里兹法
利用有限个已知的模态函数来确定系统的运动规律
在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的
解写作全部模态函数的线性组合：

y(x,t) i (x)qi (t) i1
i (x) ：模态函数 qi (t) ：模态坐标
l 0
EI


2
y(x, x2
t
)

2
dx
xc l
1 qT Kq 2
K l EIΦTΦdx Rnn 刚度阵 0
如果梁上有卷簧 k1 和弹簧 k2， 系统的势能：
V

1 2 1 2
l 0
qT
EI (K0

2
y(x, x2
t
)

2
dx
l
kij k ji 0 EIi(x)j(x)dx k1i(xb )j (xb ) k2i (xc ) j (xc )
连续系统的振动 / 假设模态法
例：等截面简支梁
y
P0 sin t
Ma
梁中部有一集中质量 Ma， 0
x
大小等于梁的质量
l/2
l/2
集中质量上有外力 P0 sin t
K1 K2 )q

1 2
k1

y(xb ,t) 2 x K0

1 2
k2
y2
(
xc
,
t)
l EIΦTΦdx
0
R nn
刚度阵： K K0 K1 K2 对称阵 K1 k1ΦT (xb )Φ(xb ) Rnn
K2 k2ΦT (xc )Φ(xc ) Rnn
m1

m2

m3

m 4
1 0 0
质量矩阵：
M

m 4
0
1
0
0 0 1
连续系统的振动 / 集中质量法
1 0 0
质量矩阵：
M

m 4
0
1
0
0 0 1
l
三个质点之间的梁段具有相同 的弹性性质
m/4
m/4
m/4
由材料力学，得柔度影响系数：
l/4
l/4
l/4 l/4
0
2
K l EIΦTΦdx Rnn 0
kij k ji
l 0
EIi(
x)
j(
x)dx
刚度阵 刚度阵为对称阵
连续系统的振动 / 假设模态法
T 1 qT Mq V 1 qT Kq
2
2
有激励存在的拉格朗日方程：
d dt

qTi
当梁有虚位移 y iqi 时，分布力的虚功：
i 1
W (t)
l
p(x,t)ydx
0
l

0 p(x,t)
n iqi dx
i 1


n i 1

l 0
p(x,
t)i
(
x)dx
qi
连续系统的振动 / 假设模态法
T 1 qT Mq V 1 qT Kq
T 1 qT Mq V 1 qT Kq
2
2
有激励存在的拉格朗日方程：
M l SΦTΦdx Rnn 0
K l EIΦTΦdx Rnn 0
d dt

qTi

T qi

V qi
Qi
或
d dt

qLi

也可将连续梁离散为两自由度 或单自由度系统
在求得质量矩阵和柔度矩阵后 ，可以计算出相应的系统固有 频率
l
m/4
m/4
m/4
l/4
l/4
m/3
l/4 l/4 m/3
l/3
l/3
l/3
m/2
l/2
l/2
连续系统的振动 / 集中质量法
连续梁
固有频 率
精确解
三自由度系统 两自由度系统
近似解 误差 近似解 误差
以均质梁的横向振动为例
0
x
假定模态函数 i (x) 已经确定
梁的近似解可写为：
n
y(x,t) i (x)qi (t) Φq i 1
Φ [1, 2, , n ] R1n
l
q [q1, q2 , , qn ]T Rn1
动能：
1 T
l S y(x,t) 2 dx 1
L T V
弹性体的受迫振动转换成了 n 自由度系统的强迫振动问题
连续系统的振动 / 假设模态法
梁的近似解：
y
n
y(x,t) i (x)qi (t) Φq
0
i1
动能： T 1
l S y(x,t) 2 dx
2 0 t
m xa
l
1 qT Mq 2
L qi
Qi
广义力：
l
Qi (t) 0 p(x,t)i (x)dx
Q(t) [Q1(t), Q2 (t), , Qn (t)]T Rn1
d 拉格朗日方程的矩阵形式：
dt
Tq
T q

V q

Q
T、V、Q 代入拉格朗日方程： Mq Kq Q(t)
连续系统的振动 / 集中质量法
• 集中质量法
• 工程系统的物理参数常常分布不均匀 • 惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体 • 惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧，它们的质量
可以不计或折合到集中质量上 • 物理参数分布均匀的系统，也可近似地分解为有限个集中质量
• 集中质量的数量取决于所要求的计算精度 • 连续系统离散为有限自由度系统后，可以采用多自由度系统的
2
2
有激励存在的拉格朗日方程：
M l SΦTΦdx Rnn 0
K l EIΦTΦdx Rnn 0
d dt

qTi

T qi

V qi
Qi
或
d dt

qLi

L qi
Qi
分布力的虚功：
n
W (t)
f11
f33

9l 3 768 EI
16l 3
f22 768 EI
f12

f21
f 23

f32

11l 3 768 EI
7l 3
f13 f31 768 EI
柔度矩阵：
F

l3 768EI
9 11
11 16
7 11
7 11 9
可以求解系统 固有频率
连续系统的振动 / 集中质量法