空间直线和平面总结_知识结构图+例题

空间直线和平面

［知识串讲］

空间直线和平面： （一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化：

线线∥

线面∥

面面∥

公理

4

(a//b,b//c a//c)

线面平行判定 αβ

αγβγ

//,// ==⇒⎫⎬⎭

a b a b

面面平行判定1

a b a b a //,//⊄⊂⇒⎫

⎬⎭ααα

面面平行性质

a b a b A a b ⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭

⎪ααββαβ

,//,//// 线面平行性质

a a

b a b

////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪

⎭

⎪ 面面平行性质1

αβαβ

////a a ⊂⇒⎫

⎬

⎭

面面平行性质

αγβγαβ

//////⎫⎬

⎭⇒

A b

α a

β a

b

α

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥

三垂线定理、逆定理

PA AO PO

a

a OA a PO

a PO a AO

⊥

⊂

⊥⇒⊥

⊥⇒⊥

α

α

α

,为

在内射影

则

线面垂直判定1面面垂直判定

a b

a b O

l a l b

l

,

,

⊂

=

⊥⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

α

α

a

a

⊥

⊂

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

线面垂直定义

l

a

l a

⊥

⊂

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

面面垂直性质，推论2

αβ

αβ

β

α

⊥

=

⊂⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

b

a a b

a

,

αγ

βγ

αβ

γ

⊥

⊥

=

⇒⊥

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

a

a

面面垂直定义

αβαβ

αβ

=--

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

l l

，且二面角

成直二面角

3. 平行与垂直关系的转化：

线线∥线面⊥面面∥

线面垂直判定2面面平行判定2

线面垂直性质2面面平行性质3

a b

a

b

//

⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

a

b

a b

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

α

//

a

a

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

//

αβ

α

β

//

a

a

⊥

⊥

⎫

⎬

⎭

a

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5. 唯一性结论：

（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”

即：（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。

3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

【典型例题】

例. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CM 所成角的余弦值为（ ）

52.

D 5

3.

C 2

10.

B 2

3

.

A

分析：如图，取AB 中点E ，CC 1中点F 连结B 1E 、B 1F 、EF 则B 1E//AM ，B 1F//NC ∴∠EB 1F 为AM 与CN 所成的角

又棱长为1

∴=

==B E B F EF 11525262，，

∴∠=+-⋅=

cos EB F B E B F EF B E B F 1121221122

5 ∴选D