一类时间分数阶偏微分方程的同伦分析Sumudu变换解法

杨博慧，张新东
表明该方法具有较好的准确性和简便性。
关键词
时间分数阶偏微分方程，Sumudu变换，同伦分析
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
其中 m − 1 < α ≤ m, m ∈ N , t > 0 。 定义 2.4 [26]：对 Caputo 分数阶导数的 Sumudu 变换 f ( t ) 定义如下：
k −α = Dtα f ( t ) f ( t ) − ∑ k = 0 u −α + k f ( ) 0 + , u n −1
m 。 那么就说 f ( t ) 属于空间 µ , µ ∈ ，若 f ( m ) ∈ Cµ , m ∈ N ，我们就说 f ( t ) 属于空间 Cµ
定义 2.3 [25]：函数 f ( t ) 的左 Caputoபைடு நூலகம்导数定义如下：
J m −α D m f ( t ) , Dtα f ( t ) = t 1 m −α −1 ( m ) f (τ ) dτ . Γ ( m − α ) ∫0 ( t − τ )
( )
其中
n − 1 < α ≤ n.
定义 2.5 [27]：Jihuan He 的分数阶导数定义如下：
∂α f ( t ) 1 ∂n = α ∂t Γ ( n − α ) ∂t n
∫0 (τ − t )
t
n −α −1
f 0 (τ ) − f (τ ) dτ , n − 1 < α ≤ n.
th th th
Received: Jun. 29 , 2017; accepted: Jul. 14 , 2017; published: Jul. 19 , 2017
Abstract
In this article we have applied homotopy analysis Sumudu transform method (HASTM) to solve a class of time Fractional partial differential equations (ACFPDEs) with time fractional derivative in Caputo sense. Finally, the accuracy and simplicity of the method are illustrated by the calculation of specific examples.
Keywords
Time Fractional Partial Differential Equation, Sumudu Transform, Homotopy Analysis
一类时间分数阶偏微分方程的同伦分析 Sumudu变换解法
杨博慧，张新东*
新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐
收稿日期：2017年6月29日；录用日期：2017年7月14日；发布日期：2017年7月19日
0 ∞
定义 2.8 [28]：Mittag-Leffler 函数是指数函数的推广，定义为：
= Eα ( t ) = Eα , β ( t ) tj ∑ j = 0 Γ (α j + 1) , α > 0, t ∈ ,
∞
tj ∑ j = 0 Γ (α j + β ) , α , β > 0, t ∈ ,
2. 预备知识
本节简要描述了利用分数阶微积分的理论来获得解决方案的思想，从而为本文所涉及问题的解决方 案提供理论基础。 本节描述了 Caputo 导数、 Riemann-Liouville 分数阶积分、 Sumudu 变换以及 Mittag-Leffle 函数的的基本定义，并且对一些分数阶导数的扩展也做了简要地介绍。 定义 2.1 [22] [23]：函数 f ( t ) ∈ Cµ , µ ≥ −1 ，其中 α ≥ 0 ，对其左边进行 α 阶 Riemann-Liouville 积分操 作的定义如下：
= f ( 0, t ) ε= ε1 ( t ) , 0 ( t ) , f (1, t )
(1)
对方程(1)的两边做 Sumudu 变换，我们得到
∂ ∂2 α ω χ D f x t x f x t x t f ( x, t ) + λ ( x ) f ( x, t ) − K ( x, t ) = , , , 0, + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 t ∂x ∂t
摘
*
要
本文主要研究同伦分析Sumudu变换方法在求解一类Caputo时间分数阶偏微分方程中的应用。数值算例
通讯作者。
文章引用 : 杨博慧 , 张新东 . 一类时间分数阶偏微分方程的同伦分析 Sumudu 变换解法 [J]. 理论数学, 2017, 7(4): 322-333. https:///10.12677/pm.2017.74042
Homotopy Analysis Sumudu Transform Method for Solving a Class of Time Fractional Partial Differential Equations
Bohui Yang, Xindong Zhang*
College of Mathematics Sciences, Xinjiang Normal University, Urumqi Xinjiang
Pure Mathematics 理论数学, 2017, 7(4), 322-333 Published Online July 2017 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2017.74042
= = G (u ) f ( t )
−t ∫0 f ( ut ) e dt, u ∈ ( −τ 1,τ 2 ) , ∞
定义 2.7 [26]：当 f ( t ) = t α 时，Sumudu 变换的定义如下：
[1] = 1,
α −t Γ (α + 1) uα , R (α ) > 0. ∫ ( ut ) e dt = t = α
再对方程(2)的两边使用定义 2.4，我们得到
−α + k ( u −α f f ( x, t ) − ∑k =0 u n −1
(2)
∂f ( x, t ) + ω ( x ) + χ ( x, t ) ∂x
( x,0 ) ∂ 2 f ( x, t ) +λ
∂t 2
J α= f (t )
(t − τ ) Γ (α ) ∫0
t
1
α −1
f (τ ) dτ , α > 0, t > 0,
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且
J 0 f (t ) = f (t ).
定义 2.2 [24]： 对于函数 f 若存在一个实数 p ( > µ ) ， 使得 f 其中 f1 ( t ) ∈ ( t ) = t p f1 ( t ) ， (t ), t > 0 ， [0, ∞ ) ，
= ϕ ( x, t;0 ) f= 0 ( x , t ) , ϕ ( x , t ;1) f ( x, t ) ,
(5)
其中 是一个非零辅助参数， H ( x, t ) ≠ 0 是辅助函数， f 0 ( x, t ) 是未知函数 f ( x, t ) 的初始猜测。辅助参数 (6)
其中 q ∈ [0,1] 是一个嵌入参数， ϕ ( x, t; q ) 是一个与 x, t 和 q 有关的实函数。构造如下同伦
qH ( x, t ) N (1 − q ) ϕ ( x, t; q ) − f 0 ( x, t ) = ϕ ( x, t; q ) ,
的选择对同伦分析 Sumudu 变换方法具有很重要的意义。观察方程(5)，当 q = 0 或 q = 1 时[26]
定义 2.6 [26]：在 90 年代早期，Watugala 介绍了一种初始的积分变换。函数集
t j τj = A f ( t ) | ∃M ,τ 1 ,τ 2 > 0, f ( t ) < Me , if t ∈ ( −1) × [0, ∞ )
上的 Sumudu 变换定义如下：
∞
Mittag-Leffler 函数的一些特殊例子如下： 1、 E1 ( t ) = et ， 2、 Eα ,1 ( t ) = Eα ( t ) 。
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3. 同伦分析 Sumudu 变换方法的基本思想
本节考虑以下方程[29]：
Dtα f ( x, t ) + ω ( x )
∂ ∂2 f ( x, t ) + χ ( x, t ) 2 f ( x, t ) + λ ( x ) f ( x , t ) K ( x , t ) , n − 1 < α ≤ n, = ∂x ∂t
k)
0 ( x ) f ( x, t ) − K ( x, t ) =

(3)
定义如下非线性算子：
N = ϕ ( x, t; q ) u −α ϕ ( x, t; q ) − ∑u −α + k f (
k =0 n −1 k)
( x,0 )
(4)
∂ ∂2 + ω ( x ) ϕ ( x, t; q ) + χ ( x, t ) 2 ϕ ( x, t; q ) + λ ( x )ϕ ( x, t; q ) − K ( x, t ) , ∂x ∂t