计算方法作业3(1)

《计算方法》上机指导书

实验1 MATLAB 基本命令

1．掌握MATLAB 的程序设计

实验内容：对以下问题，编写M 文件。

(1) 生成一个5×5矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。 (2) 编程求∑=20

1!n n 。

(3) 一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在

第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹有多高？

2．掌握MATLAB 的绘图命令

实验内容：对于自变量x 的取值属于[0，3π]，在同一图形窗口画出如下图形。 （1）1sin()cos()y x x =⋅；

（2）21

2sin()cos()3

y x x =-；

实验2 插值方法与数值积分

1. 研究人口数据的插值与预测

实验内容：下表给出了从1940年到1990年的美国人口，用插值方法推测1930年、1965年、2010年人口的近似值。

美国人口数据

1930年美国的人口大约是123,203千人，你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度如何？

2．最小二乘法拟合经验公式

实验内容：某类疾病发病率为y ‰和年龄段x (每五年为一段，例如0~5岁为第一段，6~10岁为第二段……)之间有形如bx ae y =的经验关系，观测得到的数据表如下

（1）用最小二乘法确定模型bx ae y =中的参数a 和b 。 （2）利用MATLAB 画出离散数据及拟合函数bx ae y =图形。

3.复化求积公式

实验内容：对于定积分⎰

+=1

02

4dx x x

I 。

（1）分别取利用复化梯形公式计算，并与真值比较。再画出计算误差与n 之间的曲线。 （2）取[0，1]上的9个点，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算，并比较精度。

实验3 非线性方程与线性方程组

1．矩阵的范数与条件数 实验内容：已知矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛------=1111111111111111A 求1A ，2A ，∞A 和)(2A cond 。

2．研究高斯消去法的数值稳定性 实验内容：设方程组b Ax =，其中

（1）⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣⎡--⨯=-11212592.1121130.6291

.513

14

.59103.015

1A ，⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=2178.4617.591b （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----=2010

1515269999

0999999999.2310

710

2A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15

00019000000000.582b 分别对以上两个方程组

（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的？ （2）用列主元消去法求得L 和U 及解向量421,R x x ∈；

（3）用不选主元的高斯消去法求得L 和U 及解向量421~,~

R x x ∈； （4）观察小主元并分析对计算结果的影响。

3. 求解非线性方程，比较不同方法的计算量

实验内容：比较求0210=-+x e x 的根到三位小数所需的计算量： （1）在区间［0,1］内用二分法；

（2）用迭代法10/)2(1k x k e x -=+，初值00=x ； （3）用牛顿迭代法，取初值00=x 。

《计算方法》上机实验报告

姓名： 陶成川 学号： U201410820 班级： 机械09

一、 问题

1．矩阵的范数与条件数 实验内容：已知矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛------=1111111111111111A 求1A ，2A ，∞A 和)(2A cond 。

2．研究高斯消去法的数值稳定性 实验内容：设方程组b Ax =，其中

（1）⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣⎡--⨯=-11212592.1121130.6291

.513

14

.59103.015

1A ，⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=2178.4617.591b （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----=2010

1515269999

0999999999.2310

710

2A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15

00019000000000.582b 分别对以上两个方程组

（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的？ （2）用列主元消去法求得L 和U 及解向量421,R x x ∈；

（3）用不选主元的高斯消去法求得L 和U 及解向量421~,~R x x ∈； （4）观察小主元并分析对计算结果的影响。

3. 求解非线性方程，比较不同方法的计算量

实验内容：比较求0210=-+x e x 的根到三位小数所需的计算量： （1）在区间［0,1］内用二分法；

（2）用迭代法10/)2(1k x k e x -=+，初值00=x ； （3）用牛顿迭代法，取初值00=x 。

二、Matlab程序

1.

A=[1 1 1 1;

-1 1 -1 1;

-1 -1 1 1;

1 -1 -1 1];

a1=norm(A,1);

a2=norm(A);

a3=norm(A,inf);

B=inv(A);

a4=norm(B);

a5=a2*a4;

fprintf('||A||1 is %d\n',a1); fprintf('||A||2 is %f\n',a2); fprintf('||A|| is %d\n',a3); fprintf('cond2(A) is %f\n',a5);

2.

（1）A=[3e-16 59.41 3 1;

5.291 -

6.130 -1 2;

11.2 9 5 2;

1 2 1 1];

aA=cond(A,2)

B=[10 -7 0 1;

-3 2.099999999999999 6 2;

5 -1 5 -1;

0 1 0 2];

aB=cond(B,2)

(2)%构造函数

function x=gauss1(A,b)

A=[A';b]',

n=length(b);